Dimensión de embalaje

Dimensión de un subconjunto de un espacio métrico

En matemáticas , la dimensión de embalaje es uno de varios conceptos que se pueden utilizar para definir la dimensión de un subconjunto de un espacio métrico . La dimensión del empaque es, en cierto sentido , dual a la dimensión de Hausdorff , ya que la dimensión del empaque se construye "empaquetando" pequeñas bolas abiertas dentro del subconjunto dado, mientras que la dimensión de Hausdorff se construye cubriendo el subconjunto dado con esas pequeñas bolas abiertas. La dimensión del embalaje fue introducida por C. Tricot Jr. en 1982.

Definiciones

Sea ( X ,  d ) un espacio métrico con un subconjunto S  ⊆  X y sea s  ≥ 0 un número real. La premedida de embalaje s -dimensional de S se define como

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.}$

Desafortunadamente, esto es sólo una medida previa y no una medida verdadera en subconjuntos de X , como puede verse al considerar subconjuntos densos y contables . Sin embargo, la medida previa conduce a una medida de buena fe : la medida de embalaje s -dimensional de S se define como

${\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},}$

es decir, la medida de embalaje de S es el mínimo de las medidas previas de embalaje de cubiertas contables de S.

Una vez hecho esto, la dimensión del embalaje dim _P ( S ) de S se define de manera análoga a la dimensión de Hausdorff:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}}$

Un ejemplo

El siguiente ejemplo es la situación más simple en la que las dimensiones de Hausdorff y del embalaje pueden diferir.

Fijar una secuencia tal que y . Defina inductivamente una secuencia anidada de subconjuntos compactos de la línea real de la siguiente manera: Sea . Para cada componente conexo de (que necesariamente será un intervalo de longitud ), elimine el intervalo medio de longitud , obteniendo dos intervalos de longitud , que se tomarán como componentes conexos de . A continuación, defina . Entonces es topológicamente un conjunto de Cantor (es decir, un espacio perfecto compacto totalmente desconectado). Por ejemplo, será el conjunto habitual de Cantor de tercios medios si . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ ${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$ ${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$

Es posible demostrar que las dimensiones de Hausdorff y de embalaje del conjunto están dadas respectivamente por: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

Se deduce fácilmente que, dados los números , se puede elegir una secuencia como la anterior, de modo que el conjunto de Cantor (topológico) asociado tenga dimensión de Hausdorff y dimensión de empaquetamiento . ${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Generalizaciones

Se pueden considerar funciones de dimensión más generales que "diámetro a s ": para cualquier función h  : [0, +∞) → [0, +∞], sea la premedida de empaquetamiento de S con función de dimensión h la que viene dada por

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}}$

y definir la medida de embalaje de S con función de dimensión h por

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

Se dice que la función h es una función de dimensión exacta ( de embalaje ) para S si P ^h ( S ) es finita y estrictamente positiva.

Propiedades

• Si S es un subconjunto del espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ con su métrica habitual, entonces la dimensión de embalaje de S es igual a la dimensión de la caja superior modificada de S :
  $${\displaystyle \dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).}$$
  Este resultado es interesante porque muestra cómo una dimensión derivada de una medida (dimensión de embalaje) concuerda con una derivada sin utilizar una medida (la dimensión de caja modificada).

Sin embargo, tenga en cuenta que la dimensión del embalaje no es igual a la dimensión de la caja. Por ejemplo, el conjunto de racionales Q tiene dimensión de caja uno y dimensión de embalaje cero.

Ver también

• Dimensión de Hausdorff
• Dimensión de Minkowski-Bouligand

Referencias

• Tricot, Claude Jr. (1982). "Dos definiciones de dimensión fraccionaria". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 91 (1): 57–74. doi :10.1017/S0305004100059119. S2CID  122740665. Señor 633256