conjunto denso

Subconjunto cuyo cierre es todo el espacio.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , se dice que un subconjunto A de un espacio topológico X es denso en X si cada punto de X pertenece a A o está arbitrariamente "cerca" de un miembro de A ; por ejemplo, el racional Los números son un subconjunto denso de los números reales porque cada número real es un número racional o tiene un número racional arbitrariamente cercano a él (ver Aproximación diofántica ). Formalmente, es denso si el subconjunto cerrado más pequeño de lo que contiene es él mismo. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

ElLa densidad de un espacio topológicoes la mínimacardinalidadde un subconjunto denso de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Definición

Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es un ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$subconjunto denso de ${\displaystyle X}$si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. El subconjunto cerrado más pequeño de contener es él mismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
2. El cierre de in es igual a Es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. El interior del complemento de está vacío. Eso es, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. Cada punto en cualquiera pertenece o es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
5. Por cada vecindario de intersección , es decir, ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$interseca cada subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle X.}$

y si es una base de conjuntos abiertos para la topología, entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

7. Por cada barrio básico de intersecciones ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$interseca cada no vacío ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Densidad en espacios métricos

Una definición alternativa de conjunto denso en el caso de espacios métricos es la siguiente. Cuando la topología de está dada por una métrica , el cierre de in es la unión de y el conjunto de todos los límites de secuencias de elementos en (sus puntos límite ), ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

Entonces es denso en si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

Si es una secuencia de conjuntos abiertos densos en un espacio métrico completo, entonces también es densa en Este hecho es una de las formas equivalentes del teorema de categorías de Baire . ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Los números reales con la topología habitual tienen los números racionales como un subconjunto denso contable , lo que muestra que la cardinalidad de un subconjunto denso de un espacio topológico puede ser estrictamente menor que la cardinalidad del espacio mismo. Los números irracionales son otro subconjunto denso que muestra que un espacio topológico puede tener varios subconjuntos densos disjuntos (en particular, dos subconjuntos densos pueden ser complementarios entre sí), y ni siquiera necesitan ser de la misma cardinalidad. Quizás sea aún más sorprendente que tanto los racionales como los irracionales tengan interiores vacíos, lo que demuestra que los conjuntos densos no necesitan contener ningún conjunto abierto no vacío. La intersección de dos subconjuntos densos y abiertos de un espacio topológico es nuevamente densa y abierta. ^{[prueba 1]} El conjunto vacío es un subconjunto denso de sí mismo. Pero todo subconjunto denso de un espacio no vacío tampoco debe estarlo.

Según el teorema de aproximación de Weierstrass , cualquier función continua de valores complejos definida en un intervalo cerrado puede aproximarse uniformemente tanto como se desee mediante una función polinómica . En otras palabras, las funciones polinómicas son densas en el espacio de funciones continuas de valores complejos en el intervalo equipado con la norma suprema . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b],}$

Todo espacio métrico es denso en su realización .

Propiedades

Todo espacio topológico es un subconjunto denso de sí mismo. Para un conjunto equipado con topología discreta , todo el espacio es el único subconjunto denso. Cada subconjunto no vacío de un conjunto equipado con la topología trivial es denso, y cada topología para la cual cada subconjunto no vacío es denso debe ser trivial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La densidad es transitiva : dados tres subconjuntos y de un espacio topológico tal que es denso en y es denso en (en la topología subespacial respectiva ), entonces también es denso en ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C.}$

La imagen de un subconjunto denso bajo una función continua sobreyectiva es nuevamente densa. La densidad de un espacio topológico (la menor de las cardinalidades de sus subconjuntos densos) es una invariante topológica .

Un espacio topológico con un subconjunto denso conectado está necesariamente conectado en sí mismo.

Las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos: si dos funciones continuas en un espacio de Hausdorff concuerdan en un subconjunto denso de entonces concuerdan en todos ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para los espacios métricos existen espacios universales, en los que se pueden incrustar todos los espacios de densidad dada : un espacio métrico de densidad es isométrico a un subespacio del espacio de funciones continuas reales sobre el producto de copias del intervalo unitario . ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ ${\displaystyle \alpha }$

Nociones relacionadas

Un punto de un subconjunto de un espacio topológico se llama punto límite de (en ) si cada vecindad de también contiene un punto distinto de él mismo y un punto aislado de otro. Un subconjunto sin puntos aislados se dice que es denso en sí mismo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Un subconjunto de un espacio topológico se llama en ningún lugar denso (in ) si no hay ningún vecindario en el que sea denso. De manera equivalente, un subconjunto de un espacio topológico no es denso en ninguna parte si y sólo si el interior de su cierre está vacío. El interior del complemento de un conjunto nada denso siempre es denso. El complemento de un conjunto cerrado y denso en ninguna parte es un conjunto denso y abierto. Dado un espacio topológico, un subconjunto de que puede expresarse como la unión de muchos subconjuntos densos en ninguna parte se llama magro . Los números racionales, aunque densos en los números reales, son escasos como subconjunto de los reales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico con un subconjunto denso contable se llama separable . Un espacio topológico es un espacio de Baire si y sólo si la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es siempre densa. Un espacio topológico se llama resoluble si es la unión de dos subconjuntos densos disjuntos. De manera más general, un espacio topológico se llama κ-resoluble para un κ cardinal si contiene κ conjuntos densos disjuntos por pares.

La incorporación de un espacio topológico como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Se dice que un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos está densamente definido si su dominio es un subconjunto denso de y si su rango está contenido dentro de Ver también Extensión lineal continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Un espacio topológico es hiperconectado si y sólo si todo conjunto abierto no vacío es denso en Un espacio topológico es submáximo si y sólo si todo subconjunto denso es abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio métrico, entonces se dice que un subconjunto no vacío es denso si ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

Entonces se puede demostrar que es denso si y sólo si es ε-denso para cada ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Ver también

• Teorema de Blumberg  : cualquier función real sobre R admite una restricción continua sobre un subconjunto denso de R
• Orden denso  : orden parcial donde cada dos elementos distintos comparables tienen otro elemento entre ellos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Denso (teoría de la red)

Referencias

1. Steen, Los Ángeles; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X
2. Kleiber, Martín; Pervin, William J. (1969). "Un teorema generalizado de Banach-Mazur". Toro. Austral. Matemáticas. Soc . 1 (2): 169-173. doi : 10.1017/S0004972700041411 .

pruebas

1. Supongamos que y son un subconjunto abierto denso de un espacio topológico. Si entonces la conclusión de que el conjunto abierto es denso es inmediata, supongamos lo contrario. Sea un subconjunto abierto no vacío de por lo que queda por demostrar que tampoco está vacío. Porque es denso y es un subconjunto abierto no vacío de su intersección no está vacío. De manera similar, debido a que es un subconjunto abierto no vacío de y es denso en su intersección, no está vacío. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap (A\cap B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A\cap B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias generales

• Nicolás Bourbaki (1989) [1971]. Topología general, capítulos 1 a 4 . Elementos de las Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, señor  0507446
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.