Dimensiones del embalaje

Dimensión de un subconjunto de un espacio métrico

En matemáticas , la dimensión de empaquetamiento es uno de los conceptos que se pueden utilizar para definir la dimensión de un subconjunto de un espacio métrico . La dimensión de empaquetamiento es, en cierto sentido , dual a la dimensión de Hausdorff , ya que la dimensión de empaquetamiento se construye "empaquetando" pequeñas bolas abiertas dentro del subconjunto dado, mientras que la dimensión de Hausdorff se construye cubriendo el subconjunto dado con esas pequeñas bolas abiertas. La dimensión de empaquetamiento fue introducida por C. Tricot Jr. en 1982.

Definiciones

Sea ( X ,  d ) un espacio métrico con un subconjunto S  ⊆  X y sea s  ≥ 0 un número real. La premedida de empaquetamiento s -dimensional de S se define como

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.}$

Desafortunadamente, esto es solo una medida previa y no una medida verdadera en subconjuntos de X , como se puede ver al considerar subconjuntos densos y contables . Sin embargo, la medida previa conduce a una medida genuina : la medida de empaquetamiento s -dimensional de S se define como

${\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},}$

es decir, la medida de empaquetamiento de S es el ínfimo de las premedidas de empaquetamiento de las cubiertas contables de S.

Una vez hecho esto, la dimensión de empaquetamiento dim _P ( S ) de S se define análogamente a la dimensión de Hausdorff:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}}$

Un ejemplo

El siguiente ejemplo es la situación más simple en la que las dimensiones de Hausdorff y del embalaje pueden diferir.

Fijemos una sucesión tal que y . Definamos inductivamente una sucesión anidada de subconjuntos compactos de la recta real de la siguiente manera: Sea . Para cada componente conexo de (que necesariamente será un intervalo de longitud ), eliminemos el intervalo medio de longitud , obteniendo dos intervalos de longitud , que se tomarán como componentes conexos de . A continuación, definamos . Entonces es topológicamente un conjunto de Cantor (es decir, un espacio perfecto compacto totalmente desconectado). Por ejemplo, será el habitual conjunto de Cantor de tercios medios si . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ ${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$ ${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$

Es posible demostrar que las dimensiones de Hausdorff y de empaque del conjunto están dadas respectivamente por: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

De ello se deduce fácilmente que, dados los números , se puede elegir una secuencia como la anterior de modo que el conjunto de Cantor (topológico) asociado tenga dimensión de Hausdorff y dimensión de empaquetamiento . ${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Generalizaciones

Se pueden considerar funciones de dimensión más generales que "diámetro elevado a s ": para cualquier función h  : [0, +∞) → [0, +∞], sea la premedida de empaquetamiento de S con función de dimensión h dada por

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}}$

y definir la medida de empaquetamiento de S con función de dimensión h por

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

Se dice que la función h es una función de dimensión exacta ( de empaquetamiento ) para S si P ^h ( S ) es finito y estrictamente positivo.

Propiedades

• Si S es un subconjunto del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ con su métrica habitual, entonces la dimensión de empaquetamiento de S es igual a la dimensión de caja modificada superior de S : Este resultado es interesante porque muestra cómo una dimensión derivada de una medida (dimensión de empaquetamiento) concuerda con una derivada sin utilizar una medida (la dimensión de caja modificada). $${\displaystyle \dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).}$$

Sin embargo, tenga en cuenta que la dimensión de empaquetamiento no es igual a la dimensión de la caja. Por ejemplo, el conjunto de racionales Q tiene una dimensión de caja de uno y una dimensión de empaquetamiento de cero.

Véase también

• Dimensión de Hausdorff
• Dimensión de Minkowski-Bouligand

Referencias

• Tricot, Claude Jr. (1982). "Dos definiciones de dimensión fraccionaria". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 91 (1): 57–74. doi :10.1017/S0305004100059119. S2CID  122740665. Señor 633256