Dimensión de Minkowski-Bouligand

Método para determinar la dimensión fractal.

Estimación de la dimensión de conteo de cajas de la costa de Gran Bretaña

En geometría fractal , la dimensión de Minkowski-Bouligand , también conocida como dimensión de Minkowski o dimensión de conteo de cajas , es una forma de determinar la dimensión fractal de un conjunto en un espacio euclidiano , o más generalmente en un espacio métrico . Lleva el nombre del matemático polaco Hermann Minkowski y del matemático francés Georges Bouligand . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Para calcular esta dimensión de un fractal , imagina este fractal sobre una cuadrícula espaciada uniformemente y cuenta cuántas cajas se necesitan para cubrir el conjunto. La dimensión de conteo de cajas se calcula viendo cómo cambia este número a medida que hacemos la cuadrícula más fina aplicando un algoritmo de conteo de cajas . ${\displaystyle S}$

Supongamos que es el número de cajas de longitud de lado necesarias para cubrir el conjunto. Entonces la dimensión del conteo de cajas se define como ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.}$

En términos generales, esto significa que la dimensión es el exponente tal que , que es lo que uno esperaría en el caso trivial donde hay un espacio suave (una variedad ) de dimensión entera . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N(1/n)\approx Cn^{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Si el límite anterior no existe, aún se pueden tomar el límite superior y el límite inferior , que definen respectivamente la dimensión de la caja superior y la dimensión de la caja inferior . La dimensión de la caja superior a veces se denomina dimensión de entropía , dimensión de Kolmogorov , capacidad de Kolmogorov , capacidad límite o dimensión de Minkowski superior , mientras que la dimensión de la caja inferior también se llama dimensión de Minkowski inferior .

Las dimensiones de la caja superior e inferior están fuertemente relacionadas con la dimensión más popular de Hausdorff . Sólo en aplicaciones muy especiales es importante distinguir entre los tres (ver más abajo). Otra medida más de la dimensión fractal es la dimensión de correlación .

Definiciones alternativas

Ejemplos de embalaje de bolas, recubrimiento de bolas y recubrimiento de cajas.

Es posible definir las dimensiones de la caja mediante bolas, ya sea con el número de cobertura o con el número de embalaje. El número de cobertura es el número mínimo de bolas abiertas de radio necesarias para cubrir el fractal, o en otras palabras, tal que su unión contenga el fractal. También podemos considerar el número de cobertura intrínseco , que se define de la misma manera pero con el requisito adicional de que los centros de las bolas abiertas se encuentren en el conjunto S. El número de empaquetamiento es el número máximo de bolas abiertas disjuntas de radio que se pueden situar de modo que sus centros estén en el fractal. Si bien , y no son exactamente idénticos, están estrechamente relacionados entre sí y dan lugar a definiciones idénticas de las dimensiones de la caja superior e inferior. Esto es fácil de demostrar una vez que se prueban las siguientes desigualdades: ${\displaystyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}}$

${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$

Estos, a su vez, se derivan por definición o con poco esfuerzo de la desigualdad triangular .

La ventaja de utilizar bolas en lugar de cuadrados es que esta definición se generaliza a cualquier espacio métrico . En otras palabras, la definición de caja es extrínseca  : se supone que el espacio fractal S está contenido en un espacio euclidiano y se definen cajas de acuerdo con la geometría externa del espacio contenedor. Sin embargo, la dimensión de S debe ser intrínseca , independiente del entorno en el que se coloca S , y la definición de bola puede formularse de manera intrínseca. Se define una bola interna como todos los puntos de S dentro de una cierta distancia de un centro elegido, y se cuentan dichas bolas para obtener la dimensión. (Más precisamente, la definición _{de cobertura} N es extrínseca, pero las otras dos son intrínsecas).

La ventaja de utilizar cajas es que en muchos casos N ( ε ) puede calcularse fácilmente y de forma explícita, y que para las cajas los números de cubierta y embalaje (definidos de forma equivalente) son iguales.

Los logaritmos de los números de empaquetamiento y cobertura a veces se denominan números de entropía y son algo análogos a los conceptos de entropía termodinámica y entropía teórica de la información , en el sentido de que miden la cantidad de "desorden" en el espacio métrico o fractal a escala ε. y también medir cuántos bits o dígitos se necesitarían para especificar un punto del espacio con precisión ε .

Otra definición equivalente (extrínseca) para la dimensión de conteo de cajas viene dada por la fórmula

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$

donde para cada r  > 0, el conjunto se define como el r -vecindario de S , es decir, el conjunto de todos los puntos que están a una distancia menor que r de S (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio r centrado en un punto en  S ). ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle S_{r}}$

Propiedades

Ambas dimensiones de la caja son finitamente aditivas, es decir, si { _{A 1 , ..., An} } _es una colección finita de conjuntos, entonces

${\displaystyle \dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.}$

Sin embargo, no son contablemente aditivos, es decir, esta igualdad no se cumple para una secuencia infinita de conjuntos. Por ejemplo, la dimensión de caja de un solo punto es 0, pero la dimensión de caja de la colección de números racionales en el intervalo [0, 1] tiene dimensión 1. En comparación, la medida de Hausdorff es contablemente aditiva.

Una propiedad interesante de la dimensión del cuadro superior que no se comparte ni con la dimensión del cuadro inferior ni con la dimensión de Hausdorff es la conexión con la suma de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos en un espacio euclidiano, entonces A + B se forma tomando todos los pares de puntos a ,  b donde a es de A y b es de B y sumando a  +  b . Uno tiene

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$

Relaciones con la dimensión de Hausdorff

La dimensión de conteo de cajas es una de varias definiciones de dimensión que se pueden aplicar a los fractales. Para muchos fractales que se comportan bien, todas estas dimensiones son iguales; en particular, estas dimensiones coinciden siempre que el fractal satisface la condición de conjunto abierto (OSC). ^[1] Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión del cuadro inferior y la dimensión del cuadro superior del conjunto de Cantor son todas iguales a log(2)/log(3). Sin embargo, las definiciones no son equivalentes.

Las dimensiones de la caja y la dimensión de Hausdorff están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$

En general, ambas desigualdades pueden ser estrictas . La dimensión del cuadro superior puede ser mayor que la dimensión del cuadro inferior si el fractal tiene un comportamiento diferente en diferentes escalas. Por ejemplo, examine el conjunto de números en el intervalo [0, 1] que satisface la condición

para cualquier n , todos los dígitos entre el 2 ^{2 n} -ésimo dígito y el (2 ^{2 n +1}  − 1) -ésimo dígito son cero.

Los dígitos en los "intervalos de lugares impares", es decir, entre los dígitos 2 ^{2 n +1} y 2 ^{2 n +2}  − 1 no están restringidos y pueden tomar cualquier valor. Este fractal tiene una dimensión de cuadro superior 2/3 y una dimensión de cuadro inferior 1/3, un hecho que puede verificarse fácilmente calculando N ( ε ) para y observando que sus valores se comportan de manera diferente para n par e impar. ${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

Otro ejemplo: el conjunto de números racionales , un conjunto contable con , tiene porque su cierre, , tiene dimensión 1. De hecho, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}=0}$ ${\displaystyle \dim _{\text{box}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

Estos ejemplos muestran que agregar un conjunto contable puede cambiar la dimensión del cuadro, lo que demuestra una especie de inestabilidad de esta dimensión.

Ver también

• Dimensión de correlación
• Dimensión de embalaje
• Exponente de incertidumbre
• Conjetura de Weyl-Berry
• Lacunaridad

Referencias

1. Carro, Stan (2010). Mathematica en acción: resolución de problemas mediante visualización y computación . Springer-Verlag . pag. 214.ISBN​ 0-387-75477-6.

• Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas . Chichester: John Wiley. págs. 38–47. ISBN 0-471-92287-0. Zbl  0689.28003.
• Weisstein, Eric W. "Dimensión Minkowski-Bouligand". MundoMatemático .

enlaces externos

• FrakOut!: una aplicación OSS para calcular la dimensión fractal de una forma utilizando el método de conteo de cajas (no coloca las cajas automáticamente).
• FracLac: guía de usuario en línea y software ImageJ y complemento de conteo de cajas FracLac; Software gratuito y de código abierto fácil de usar para el análisis de imágenes digitales en biología.