medida de Hausdorff

Medición fractal

En matemáticas , la medida de Hausdorff es una generalización de las nociones tradicionales de área y volumen a dimensiones no enteras, específicamente a los fractales y sus dimensiones de Hausdorff . Es un tipo de medida exterior , llamada así por Felix Hausdorff , que asigna un número en [0,∞] a cada conjunto en o, más generalmente, en cualquier espacio métrico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La medida de Hausdorff de dimensión cero es el número de puntos del conjunto (si el conjunto es finito) o ∞ si el conjunto es infinito. Asimismo, la medida de Hausdorff unidimensional de una curva simple en es igual a la longitud de la curva, y la medida de Hausdorff bidimensional de un subconjunto de Lebesgue-mensurable es proporcional al área del conjunto. Así, el concepto de medida de Hausdorff generaliza la medida de Lebesgue y sus nociones de conteo, longitud y área. También generaliza el volumen. De hecho, existen medidas de Hausdorff d -dimensionales para cualquier d  ≥ 0, que no es necesariamente un número entero. Estas medidas son fundamentales en la teoría de las medidas geométricas . Aparecen naturalmente en el análisis armónico o en la teoría potencial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Definición

Sea un espacio métrico . Para cualquier subconjunto , denotemos su diámetro, es decir ${\displaystyle (X,\rho )}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.}$

Sea cualquier subconjunto de y un número real. Definir ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

donde el mínimo está sobre todas las coberturas contables de conjuntos que satisfacen . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}<\delta }$

Tenga en cuenta que es monótono y no aumenta, ya que cuanto más grande es, más colecciones de conjuntos se permiten, por lo que el mínimo no es más grande. Por tanto, existe pero puede ser infinito. Dejar ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

Se puede ver que es una medida exterior (más precisamente, es una medida exterior métrica ). Según el teorema de extensión de Carathéodory , su restricción al campo σ de conjuntos medibles de Carathéodory es una medida. Se llama medida de Hausdorff dimensional . Debido a la propiedad de medida exterior métrica , todos los subconjuntos de Borel son medibles. ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{d}}$

En la definición anterior los conjuntos de la cobertura son arbitrarios. Sin embargo, podemos exigir que los conjuntos de cobertura sean abiertos o cerrados, o incluso convexos en espacios normados , lo que producirá los mismos números y, por tanto, la misma medida. Al restringir los juegos de cobertura a bolas se pueden cambiar las medidas pero no cambia la dimensión de los juegos medidos. ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades de las medidas de Hausdorff

Tenga en cuenta que si d es un entero positivo, la medida de Hausdorff d -dimensional es un cambio de escala de la medida de Lebesgue d -dimensional habitual , que está normalizada de modo que la medida de Lebesgue del cubo unitario [0,1] ^d es 1. En De hecho, para cualquier conjunto de Borel E , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

donde α _d es el volumen de la unidad d -bola ; se puede expresar usando la función gamma de Euler

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.}$

Esto es

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)}$,

¿ Dónde está el volumen de la unidad de diámetro d -bola? ${\displaystyle \beta _{d}}$

Observación . Algunos autores adoptan una definición de medida de Hausdorff ligeramente diferente a la aquí elegida, con la diferencia de que el valor definido anteriormente se multiplica por el factor , de modo que la medida d -dimensional de Hausdorff coincide exactamente con la medida de Lebesgue en el caso del espacio euclidiano. ${\displaystyle H^{d}(E)}$ ${\displaystyle \beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}}$

Relación con la dimensión de Hausdorff

Resulta que puede tener un valor finito distinto de cero para como máximo uno . Es decir, la medida de Hausdorff es cero para cualquier valor por encima de una determinada dimensión e infinito por debajo de una determinada dimensión, análoga a la idea de que el área de una línea es cero y la longitud de una forma 2D es en cierto sentido infinita. Esto lleva a una de varias posibles definiciones equivalentes de la dimensión de Hausdorff: ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},}$

donde tomamos y . ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$ ${\displaystyle \sup \emptyset =0}$

Tenga en cuenta que no está garantizado que la medida de Hausdorff deba ser finita y distinta de cero para algún d y, de hecho, la medida en la dimensión de Hausdorff aún puede ser cero; en este caso, la dimensión de Hausdorff todavía actúa como un punto de cambio entre medidas de cero e infinito.

Generalizaciones

En la teoría de medidas geométricas y campos relacionados, el contenido de Minkowski se utiliza a menudo para medir el tamaño de un subconjunto de un espacio de medidas métricas. Para dominios adecuados en el espacio euclidiano, las dos nociones de tamaño coinciden, hasta normalizaciones generales que dependen de las convenciones. Más precisamente, se dice que un subconjunto de es rectificable si es la imagen de un conjunto acotado bajo una función de Lipschitz . Si , entonces el contenido de Minkowski -dimensional de un subconjunto cerrado rectificable de es igual a veces la medida de Hausdorff -dimensional (Federer 1969, Teorema 3.2.29). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$ ${\displaystyle m}$

En geometría fractal , algunos fractales con dimensión de Hausdorff tienen medida de Hausdorff de dimensión cero o infinita . Por ejemplo, casi con seguridad la imagen del movimiento browniano plano tiene dimensión de Hausdorff 2 y su medida de Hausdorff bidimensional es cero. Para "medir" el "tamaño" de tales conjuntos, se puede considerar la siguiente variación de la noción de medida de Hausdorff: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

En la definición de la medida se reemplaza con ¿ dónde está cualquier función de conjunto creciente monótono que satisfaga? ${\displaystyle (\operatorname {diam} U_{i})^{d}}$ ${\displaystyle \phi (U_{i}),}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Esta es la medida de Hausdorff con función de calibre o medida de Hausdorff. Un conjunto dimensional puede satisfacer , pero con una adecuada. Ejemplos de funciones de calibre incluyen ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H^{d}(S)=0,}$ ${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

El primero da casi seguramente una medida positiva y finita al camino browniano en cuándo , y el segundo en cuándo . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$

Ver también

• Dimensión de Hausdorff
• Teoría de la medida geométrica
• Teoría de la medida
• medida exterior

Referencias

• Evans, Lorenzo C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones , CRC Press.
• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi :10.1007/BF01457179, S2CID  122001234.
• Morgan, Frank (1988), Teoría de la medida geométrica , Academic Press.
• Rogers, CA (1998), Medidas de Hausdorff , Biblioteca Matemática de Cambridge (3.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89, doi : 10.4064/fm-28-1-81-89.

enlaces externos

• Dimensión de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas
• Medida de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas