Teoría de la medida geométrica

Estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos mediante la teoría de la medida.

En matemáticas , la teoría de la medida geométrica ( GMT ) es el estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos (normalmente en el espacio euclidiano ) a través de la teoría de la medida . Permite a los matemáticos ampliar las herramientas de la geometría diferencial a una clase mucho más amplia de superficies que no son necesariamente lisas .

Historia

La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (llamado así por Joseph Plateau ), que plantea la pregunta de si para cada curva suave y cerrada existe una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite sea igual a la curva dada. Tales superficies imitan las películas de jabón . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El problema había permanecido abierto desde que fue planteado en 1760 por Lagrange . Fue resuelto independientemente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas . En 1960 Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de corrientes con la que pudieron resolver el problema de Plateau orientable analíticamente sin restricciones topológicas, dando así origen a la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor y Fred Almgren demostraron las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón y grupos de burbujas de jabón más generales.

Nociones importantes

Los siguientes objetos son centrales en la teoría de la medida geométrica:

• Medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff
• Conjuntos rectificables (o medidas de Radon ), que son conjuntos con la menor regularidad posible requerida para admitir espacios tangentes aproximados .
• Caracterización de la rectificabilidad mediante la existencia de tangentes aproximadas, densidades, proyecciones, etc.
• Proyecciones ortogonales, conjuntos de Kakeya , conjuntos de Besicovitch
• Rectificabilidad uniforme
• Rectificabilidad y rectificabilidad uniforme de (subconjuntos de) espacios métricos , por ejemplo, variedades subriemannianas, grupos de Carnot, grupos de Heisenberg, etc.
• Conexiones con integrales singulares, transformada de Fourier, medidas de Frostman, medidas armónicas, etc.
• Corrientes , una generalización del concepto de variedades orientadas , posiblemente con límite .
• Cadenas planas, una generalización alternativa del concepto de variedades , posiblemente con borde .
• Conjuntos de Caccioppoli (también conocidos como conjuntos de perímetro localmente finito), una generalización del concepto de variedades en las que se aplica el teorema de divergencia .
• Problemas de minimización de tipo meseta a partir del cálculo de variaciones

Los siguientes teoremas y conceptos también son centrales:

• La fórmula del área , que generaliza el concepto de cambio de variables en la integración.
• La fórmula de coarea , que generaliza y adapta el teorema de Fubini a la teoría de la medida geométrica.
• La desigualdad isoperimétrica , que establece que la circunferencia más pequeña posible para un área dada es la de un círculo redondo .
• Convergencia plana , que generaliza el concepto de convergencia de variedades.

Ejemplos

La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n -dimensionales de los cuerpos convexos K y L ,

${\displaystyle \mathrm {vol} {\big (}(1-\lambda )K+\lambda L{\big )}^{1/n}\geq (1-\lambda )\mathrm {vol} (K)^{1/n}+\lambda \,\mathrm {vol} (L)^{1/n},}$

se puede demostrar en una sola página y produce rápidamente la desigualdad isoperimétrica clásica. La desigualdad de Brunn- Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; el desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitieron que se establecieran conexiones entre la geometría y el análisis, hasta el punto de que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como la desigualdad de Prékopa-Leindler la geometría parece casi completamente ausente.

Véase también

• Conjunto de Caccioppoli
• Fórmula de Coarea
• Corrientes
• Herbert Federer
• Curva de Osgood

Referencias

• Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Corrientes normales e integrales", Anales de Matemáticas , II, 72 (4): 458–520, doi :10.2307/1970227, JSTOR  1970227, MR  0123260, Zbl  0187.31301. El primer artículo de Federer y Fleming que ilustra su enfoque de la teoría de perímetros basada en la teoría de corrientes .
• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , serie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, Sr.  0257325
• Federer, H. (1978), "Conferencias de coloquio sobre teoría de la medida geométrica", Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0
• Fomenko, Anatoly T. (1990), Principios variacionales en topología (Teoría de superficies mínimas multidimensionales) , Matemáticas y sus aplicaciones (Libro 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
• Gardner, Richard J. (2002), "La desigualdad de Brunn-Minkowski", Bull. Amer. Math. Soc. (NS) , 39 (3): 355–405 (electrónico), doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 , ISSN  0273-0979, MR  1898210
• Mattila, Pertti (1999), Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos , Londres: Cambridge University Press, pág. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
• Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (cuarta edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9, Sr.  2455580
• Taylor, Jean E. (1976), "La estructura de las singularidades en superficies mínimas similares a burbujas de jabón y películas de jabón", Annals of Mathematics , Segunda serie, 103 (3): 489–539, doi :10.2307/1970949, JSTOR  1970949, MR  0428181.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• La página GMT de Peter Mörters
• Página GMT de Toby O'Neil con referencias