Fórmula del área (teoría de la medida geométrica)

Fórmula del área a partir de la teoría de la medida geométrica

En la teoría de la medida geométrica, la fórmula del área relaciona la medida de Hausdorff de la imagen de una función de Lipschitz , teniendo en cuenta la multiplicidad, con la integral del jacobiano de la función. Es uno de los resultados fundamentales del campo que tiene conexiones, por ejemplo, con la rectificabilidad y el teorema de Sard .

Definición: Dados y , la función de multiplicidad , es el número (posiblemente infinito) de puntos en la preimagen . La función de multiplicidad también se denomina indicatriz de Banach. Nótese que . Aquí, denota la medida de Hausdorff n -dimensional , y denotará la medida de Lebesgue n -dimensional . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N(f,A,y),\,y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap A}$ ${\displaystyle N(f,A,y)={\mathcal {H}}^{0}(f^{-1}(y)\cap A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{n}}$

Teorema: Si es Lipschitz y , entonces para cualquier medible , donde es el jacobiano de . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle n\leq m}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{A}{J}(Df(x))\,d{\mathcal {L}}^{n}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}N(f,A,y)\,d{\mathcal {H}}^{n}(y)\,,}$$ $${\displaystyle {J}(Df(x))={\sqrt {\det(Df(x)^{t}Df(x))}}}$$ ${\displaystyle Df(x)}$

La mensurabilidad de la función de multiplicidad forma parte de la afirmación. El jacobiano está definido casi en todas partes por el teorema de diferenciabilidad de Rademacher .

El teorema fue demostrado por primera vez por Herbert Federer (Federer 1969).

Fuentes

• Ambrosio, Luigi ; Fusco, Nicola ; Pallara, Diego (2000). Funciones de variación acotada y problemas de discontinuidad libre . Oxford Mathematical Monographs. Nueva York: The Clarendon Press . ISBN 0-19-850245-1.MR 1857292.  Zbl 0957.49001  .
• Evans, Lawrence C. ; Gariepy, Ronald F. (2015). Teoría de la medida y propiedades finas de funciones . Textbooks in Mathematics (Edición revisada de la edición original de 1992). Boca Raton, FL: CRC Press . doi :10.1201/b18333. ISBN 978-1-4822-4238-6.MR 3409135.Zbl 1310.28001  . ​
• Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 153. Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7.MR  0257325.Zbl 0176.00801  .​
• Simon, Leon (1983). Lecciones sobre teoría de la medida geométrica (PDF) . Actas del Centro de Análisis Matemático, Universidad Nacional de Australia. Vol. 3. Canberra: Universidad Nacional de Australia, Centro de Análisis Matemático. ISBN 0-86784-429-9. Sr.  0756417. Zbl  0546.49019.

Enlaces externos

• "Fórmula del área", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]