Felix Hausdorff ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; [1] 8 de noviembre de 1868 - 26 de enero de 1942 [2] ) fue un matemático alemán , seudónimo de Paul Mongré ( à mon gré (fr.) = "según mi gusto"), [3] considerado uno de los fundadores de la topología moderna y que contribuyó significativamente a la teoría de conjuntos , la teoría descriptiva de conjuntos , la teoría de la medida , y análisis funcional .
La vida se volvió difícil para Hausdorff y su familia después de la Kristallnacht de 1938. Al año siguiente inició esfuerzos para emigrar a los Estados Unidos, pero no pudo hacer arreglos para recibir una beca de investigación. El 26 de enero de 1942, Felix Hausdorff, junto con su esposa y su cuñada, se suicidó tomando una sobredosis de veronal , antes de cumplir las órdenes alemanas de trasladarse al campo de Endenich, y allí sufrir las probables consecuencias. sobre el que no se hacía ilusiones.
El padre de Hausdorff, el comerciante judío Louis Hausdorff (1843-1896), se mudó con su joven familia a Leipzig en el otoño de 1870 y, con el tiempo, trabajó en varias empresas, incluida una fábrica de artículos de lino y algodón. Era un hombre educado y se había convertido en Morenu a la edad de 14 años. Escribió varios tratados, incluido un largo trabajo sobre las traducciones arameas de la Biblia desde la perspectiva de la ley talmúdica .
La madre de Hausdorff, Hedwig (1848-1902), a quien también se hace referencia en varios documentos como Johanna, provenía de la familia judía Tietz. De otra rama de esta familia provino Hermann Tietz , fundador de los primeros grandes almacenes y más tarde copropietario de la cadena de grandes almacenes llamada "Hermann Tietz". Durante el período de la dictadura nazi el nombre fue "arianizado" a Hertie .
De 1878 a 1887, Felix Hausdorff asistió a la Escuela Nicolai de Leipzig, una instalación que tenía fama de ser un semillero de educación humanística. Fue un excelente estudiante, líder de clase durante muchos años y, a menudo, recitaba poemas escritos por él mismo en latín o alemán en las celebraciones escolares.
En sus últimos años de escuela secundaria, elegir una materia principal de estudio no fue fácil para Hausdorff. Magda Dierkesmann, que fue a menudo invitada en la casa de Hausdorff en los años 1926-1932, informó en 1967 que:
Su polifacético talento musical era tan grande que sólo la insistencia de su padre le hizo desistir de su plan de estudiar música y convertirse en compositor.
Decidió estudiar ciencias naturales y en su promoción de 1887 fue el único que obtuvo la nota más alta posible.
De 1887 a 1891, Hausdorff estudió matemáticas y astronomía , principalmente en su ciudad natal de Leipzig, interrumpido por un semestre en Friburgo (verano de 1888) y Berlín (invierno de 1888/1889). Los testimonios supervivientes de otros estudiantes lo describen como un joven extremadamente versátil e interesado que, además de las conferencias de matemáticas y astronomía, asistió a conferencias de física , química y geografía , así como a conferencias de filosofía e historia de la filosofía , así como a temas de lengua , literatura y ciencias sociales . En Leipzig asistió a conferencias sobre historia de la música del musicólogo Oscar Paul . Su temprano amor por la música duró toda la vida; En casa de Hausdorff celebró impresionantes veladas musicales con el propietario al piano, según declaraciones de varios participantes. Incluso cuando era estudiante en Leipzig, fue un admirador y conocedor de la música de Richard Wagner .
En los últimos semestres de sus estudios, Hausdorff estuvo cerca de Heinrich Bruns (1848-1919). Bruns fue profesor de astronomía y director del observatorio de la Universidad de Leipzig. Bajo su supervisión, Hausdorff se graduó en 1891 con un trabajo sobre la teoría de la refracción astronómica de la luz en la atmósfera. Siguieron dos publicaciones sobre el mismo tema, y en 1895 también siguió su Habilitación con una tesis sobre la absorbancia de la luz en la atmósfera. Estos primeros trabajos astronómicos de Hausdorff, a pesar de su excelente formulación matemática, al final tuvieron poca importancia para la comunidad científica. Por un lado, más tarde se demostró que la idea subyacente de Bruns no era viable (había una necesidad de observaciones de refracción cerca del horizonte astronómico y, como demostraría Julius Bauschinger, esto no se podía obtener con la precisión requerida). Y además, el progreso en la medición directa de datos atmosféricos (procedentes de ascensos de globos meteorológicos ) ha hecho innecesaria la minuciosa precisión de estos datos procedentes de observaciones de refracción. En el tiempo transcurrido entre la defensa de su doctorado y su habilitación, Hausdorff completó su requisito militar de un año y trabajó durante dos años como computadora humana en el observatorio de Leipzig.
Después de su habilitación, Hausdorff se convirtió en profesor en la Universidad de Leipzig, donde comenzó a enseñar extensamente en una variedad de áreas matemáticas. Además de enseñar e investigar en matemáticas, también desarrolló sus inclinaciones literarias y filosóficas. Hombre de intereses variados, a menudo se asoció con varios escritores, artistas y editores famosos como Hermann Conradi, Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger y Frank Wedekind . Los años de 1897 a 1904 marcan el punto culminante de su creatividad literaria y filosófica, tiempo durante el cual se publicaron 18 de sus 22 obras seudónimas, entre ellas un libro de poesía, una obra de teatro, un libro epistemológico y un volumen de aforismos .
En 1899, Hausdorff se casó con Charlotte Goldschmidt, hija del médico judío Siegismund Goldschmidt. Su madrastra fue la famosa sufragista y maestra de preescolar Henriette Goldschmidt . La única hija de Hausdorff, su hija Lenore (Nora), nació en 1900; sobrevivió a la era del nacionalsocialismo y disfrutó de una larga vida, muriendo en Bonn en 1991.
En diciembre de 1901, Hausdorff fue nombrado profesor asociado adjunto en la Universidad de Leipzig. Un hecho que se repite a menudo : que Hausdorff recibió una llamada de Gotinga y la rechazó, no se puede verificar y probablemente sea erróneo. Después de considerar la candidatura de Hausdorff a Leipzig, el decano Kirchner se vio obligado a añadir al voto muy positivo de sus colegas escrito por Heinrich Bruns lo siguiente:
La facultad, sin embargo, se considera obligada a informar al Real Ministerio que la solicitud mencionada, examinada el 2 de noviembre de este año en reunión de facultad, no fue aceptada por todos, pero sí por 22 votos contra 7. La minoría fue opuesto, porque el Dr. Hausdorff es de la fe mosaica. [4]
Esta cita subraya el evidente antisemitismo presente, que experimentó un fuerte repunte en todo el Reich alemán después de la crisis bursátil de 1873 . Leipzig era un foco de sentimiento antisemita, especialmente entre el alumnado, lo que bien puede ser la razón por la que Hausdorff no se sentía cómodo en Leipzig. Otro factor que contribuyó también puede haber sido el estrés debido a la postura jerárquica de los profesores de Leipzig.
Después de su habilitación, Hausdorff escribió otros trabajos sobre óptica , geometría no euclidiana y sistemas numéricos hipercomplejos , así como dos artículos sobre teoría de la probabilidad . Sin embargo, su principal área de trabajo pronto fue la teoría de conjuntos, especialmente la teoría de conjuntos ordenados . Inicialmente, Hausdorff comenzó a estudiar la obra de Georg Cantor sólo por interés filosófico , alrededor de 1897, pero ya en 1901 Hausdorff comenzó a dar conferencias sobre teoría de conjuntos. La suya fue una de las primeras conferencias sobre teoría de conjuntos; Sólo las conferencias de Ernst Zermelo en el Göttingen College durante el invierno de 1900/1901 fueron anteriores. Ese mismo año, publicó su primer artículo sobre tipos de orden en el que examinó una generalización de los buenos ordenamientos llamados tipos de orden graduados, donde un orden lineal se califica si no hay dos de sus segmentos que compartan el mismo tipo de orden . Generalizó el teorema de Cantor-Bernstein , que decía que el conjunto de tipos de orden contables tiene la cardinalidad del continuo y demostró que el conjunto de todos los tipos graduados de una cardinalidad idempotente m tiene una cardinalidad de 2 m . [5]
Para el semestre de verano de 1910, Hausdorff fue nombrado profesor de la Universidad de Bonn . Allí comenzó una serie de conferencias sobre teoría de conjuntos, que revisó y amplió sustancialmente durante el semestre de verano de 1912.
En el verano de 1912 también comenzó a trabajar en su obra maestra, el libro Fundamentos de la teoría de conjuntos . Se completó en Greifswald , donde Hausdorff había sido nombrado profesor titular durante el semestre de verano en 1913, y fue relevado en abril de 1914.
La Universidad de Greifswald era la más pequeña de las universidades prusianas. El instituto de matemáticas también era pequeño; Durante el verano de 1916 y el invierno de 1916/17, Hausdorff fue el único matemático en Greifswald. Esto significaba que estaba casi totalmente ocupado impartiendo cursos básicos. Por tanto, supuso una mejora sustancial para su carrera académica cuando Hausdorff fue destinado a Bonn en 1921. Allí tuvo libertad para enseñar sobre una gama más amplia de temas y, a menudo, dio conferencias sobre sus últimas investigaciones. Dio una conferencia particularmente notable sobre teoría de la probabilidad (NL Hausdorff: Cápsula 21: Fasz 64) en el semestre de verano de 1923, en la que basó la teoría de la probabilidad en la teoría axiomática de la teoría de la medida, diez años antes de "Basic" de AN Kolmogorov. conceptos de teoría de la probabilidad" (reimpreso íntegramente en las obras completas, Volumen V). En Bonn, Hausdorff era amigo y colega de Eduard Study y más tarde de Otto Toeplitz , ambos destacados matemáticos.
Después de la toma del poder por el Partido Nacionalsocialista , el antisemitismo se convirtió en doctrina estatal. Al principio, Hausdorff no se preocupó por la " Ley para la restauración de la función pública profesional ", adoptada en 1933, porque ya era funcionario alemán desde antes de 1914. Sin embargo, no se salvó del todo, ya que una de sus conferencias fue interrumpida. por funcionarios estudiantiles nacionalsocialistas. En el semestre de invierno de 1934/1935 tuvo lugar una sesión de trabajo de la Unión Nacionalsocialista de Estudiantes Alemanes (NSDStB) en la Universidad de Bonn, que eligió como tema para el semestre "Raza y etnia". Hausdorff canceló su curso de Cálculo III del semestre de invierno de 1934/1935 el 20 de noviembre, y se supone que la elección del tema estuvo relacionada con la cancelación de la clase de Hausdorff, ya que en su larga carrera como profesor universitario siempre había impartido sus cursos hasta su fin.
El 31 de marzo de 1935, después de algunas idas y venidas, finalmente se concedió a Hausdorff el estatus de emérito. No hubo palabras de agradecimiento por sus 40 años de exitoso trabajo en el sistema de educación superior alemán.
Su legado académico muestra que Hausdorff todavía estaba trabajando matemáticamente durante estos tiempos cada vez más difíciles y continuó siguiendo los desarrollos de interés actuales. Escribió, además de la edición ampliada de su obra sobre teoría de conjuntos, siete obras sobre topología y teoría descriptiva de conjuntos. Estos se publicaron en revistas polacas: una en Studia Mathematica y las otras en Fundamenta Mathematicae . En ese momento contaba con el apoyo de Erich Bessel-Hagen , un amigo leal de la familia Hausdorff que obtenía libros y revistas de la biblioteca académica, a la que a Hausdorff ya no se le permitía entrar.
Se sabe mucho sobre las humillaciones a las que fueron expuestos especialmente Hausdorff y su familia después de la Kristallnacht de 1938. Hay muchas fuentes, incluidas las cartas de Bessel-Hagen. [6]
En 1939, Hausdorff pidió en vano al matemático Richard Courant una beca de investigación para poder emigrar a Estados Unidos. A mediados de 1941, los judíos de Bonn comenzaron a ser deportados al "Monasterio de la Adoración Eterna" en Endenich , Bonn , del que habían sido expulsadas las monjas. Los transportes a campos de exterminio en el este se produjeron más tarde. Después de que en enero de 1942 se ordenara a Hausdorff, su esposa y la hermana de su esposa, Edith Pappenheim (que vivía con ellos), que se trasladaran al campo de Endenich, los tres se suicidaron el 26 de enero de 1942 al tomar una sobredosis de veronal . [7] Su lugar de descanso final se encuentra en el cementerio Poppelsdorf en Bonn. En el tiempo transcurrido entre su internamiento en campos temporales y su suicidio, entregó su Nachlass escrito a mano al egiptólogo y presbítero Hans Bonnet, quien salvó a la mayor cantidad posible de ellos, incluso a pesar de la destrucción de su casa por una bomba.
Es posible que algunos de sus compañeros judíos se hicieran ilusiones sobre el campo de Endenich, pero no Hausdorff. En la finca de Bessel-Hagen, E. Neuenschwander descubrió la carta de despedida que Hausdorff escribió a su abogado Hans Wollstein, que también era judío. [8] [9] Aquí está el principio y el final de la carta:
Querido amigo Wollstein!
Si recibe estas líneas, nosotros (tres) hemos resuelto el problema de otra manera, de la misma manera que usted ha tratado constantemente de disuadirnos. El sentimiento de seguridad que usted nos había pronosticado una vez superadas las dificultades de la mudanza, todavía se nos escapa; al contrario, ¡puede que Endenich ni siquiera sea el final!
Lo ocurrido en los últimos meses contra los judíos suscita un temor justificado de que no nos dejen vivir para ver una situación más llevadera.
Después de agradecer a sus amigos y, con gran serenidad, expresar sus últimos deseos con respecto a su funeral y su testamento, Hausdorff escribe:
Lamento que te causemos aún más esfuerzo más allá de la muerte, y estoy convencido de que estás haciendo lo que puedes ( que quizás no sea mucho). ¡Perdónanos nuestra deserción! Deseamos que usted y todos nuestros amigos vivan tiempos mejores.
Eres verdaderamente devoto
Felix Hausdorff
Lamentablemente, este deseo no se cumplió. El abogado de Hausdorff, Wollstein, fue asesinado en Auschwitz .
La biblioteca de Hausdorff fue vendida por su yerno y único heredero, Arthur König. Las partes del Nachlass de Hausdorff que Hans Bonnet pudo salvar se encuentran ahora en la universidad y en la biblioteca estatal de Bonn. El Nachlass está catalogado. [10]
El volumen de aforismos de Hausdorff, publicado en 1897, fue su primer trabajo publicado bajo el seudónimo de Paul Mongré. Se titula Sant' Ilario: Pensamientos desde el paisaje de Zaratustra . El subtítulo juega en primer lugar con el hecho de que Hausdorff había completado su libro durante una estancia de recuperación en la costa de Liguria en Génova y que en esta misma zona Friedrich Nietzsche escribió las dos primeras partes de Así habló Zaratustra ; también alude a su cercanía espiritual con Nietzsche. En un artículo sobre Sant' Ilario en el semanario Die Zukunft , Hausdorff reconoció in expressis verbis su deuda con Nietzsche.
Hausdorff no intentaba copiar ni siquiera superar a Nietzsche. "No hay rastro de la imitación de Nietzsche", dice una reseña contemporánea. Sigue a Nietzsche en un intento de liberar el pensamiento individual, de tomarse la libertad de cuestionar estándares obsoletos. Hausdorff mantuvo una distancia crítica con las últimas obras de Nietzsche. En su ensayo sobre el libro La voluntad de poder , recopilado a partir de notas dejadas en el Archivo Nietzsche, dice:
En Nietzsche brilla un fanático. Su moralidad de crianza, erigida sobre nuestros actuales fundamentos biológicos y fisiológicos del conocimiento: podría ser un escándalo histórico mundial contra el cual la Inquisición y los juicios por brujería se desvanecen en aberraciones inofensivas.
Su criterio crítico lo tomó del propio Nietzsche,
Del amable, modesto y comprensivo Nietzsche y del espíritu libre del frío, escéptico y libre de dogmas Nietzsche...
En 1898, también bajo el seudónimo de Paul Mongré, Hausdorff publicó un experimento epistemológico titulado Caos en la selección cósmica . La crítica de la metafísica propuesta en este libro tuvo su punto de partida en la confrontación de Hausdorff con la idea de Nietzsche del eterno retorno. En definitiva, se trata de destruir cualquier tipo de metafísica. Del mundo mismo, del núcleo trascendente del mundo —como dice Hausdorff— no sabemos ni podemos saber nada. Debemos asumir "el mundo mismo" como indeterminado e indeterminable, como mero caos. El mundo de nuestra experiencia, nuestro cosmos, es el resultado de las selecciones que hemos hecho y que siempre haremos instintivamente según nuestra capacidad de comprensión. Visto desde ese caos, todos los demás marcos, otros cosmos, son concebibles. Es decir, del mundo de nuestro cosmos no se pueden sacar conclusiones sobre el mundo trascendente.
En 1904, en la revista The New Rundschau apareció la obra de Hausdorff, la obra en un acto El médico en su honor . Es una burda sátira sobre el duelo y sobre los conceptos tradicionales de honor y nobleza del cuerpo de oficiales prusianos, que en la sociedad burguesa en desarrollo eran cada vez más anacrónicos. El médico en su honor fue la obra literaria más popular de Hausdorff. En 1914-1918 hubo numerosas representaciones en más de treinta ciudades. Más tarde, Hausdorff escribió un epílogo de la obra, pero no se representó en ese momento. Sólo en 2006 este epílogo tuvo su estreno en la reunión anual de la Sociedad Alemana de Matemáticas en Bonn.
Además de las obras mencionadas anteriormente, Hausdorff también escribió numerosos ensayos que aparecieron en algunas de las principales revistas literarias de la época. También escribió un libro de poemas, Éxtasis (1900). Algunos de sus poemas fueron musicalizados por el compositor austriaco Joseph Marx .
La entrada de Hausdorff en un estudio exhaustivo de conjuntos ordenados fue motivada en parte por el problema del continuo de Cantor: ¿dónde debería colocarse el número cardinal en la secuencia ? En una carta a Hilbert del 29 de septiembre de 1904, habla de este problema: "Me ha atormentado casi como una monomanía ". [11] Hausdorff vio una nueva estrategia para atacar el problema en el set . Cantor lo había sospechado , pero sólo había podido demostrarlo . Si bien es el "número" de posibles pedidos de un conjunto contable , ahora surgió como el "número" de todos los posibles pedidos de tal cantidad. Por lo tanto, era natural estudiar sistemas que son más específicos que los órdenes, pero más generales que los bien ordenados. Hausdorff hizo precisamente eso en su primer volumen de 1901, con la publicación de estudios teóricos de "conjuntos graduados". Sin embargo, sabemos por los resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen que esta estrategia para resolver el problema del continuo es tan ineficaz como la estrategia de Cantor, cuyo objetivo era generalizar el principio de Cantor-Bendixson de conjuntos cerrados a conjuntos generales incontables.
En 1904, Hausdorff publicó la recursión que lleva su nombre, que establece que para cada ordinal no límite tenemos
Esta fórmula fue, junto con una noción posterior llamada cofinalidad introducida por Hausdorff, la base de todos los resultados posteriores de la exponenciación de Aleph . El excelente conocimiento de Hausdorff sobre fórmulas de recurrencia de este tipo también le permitió descubrir un error en la conferencia de Julius König en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 en Heidelberg . Allí, König había argumentado que el continuo no puede estar bien ordenado, por lo que su cardinalidad no es un Aleph en absoluto, y por ello causó un gran revuelo. El hecho de que fuera Hausdorff quien aclarara el error tiene un significado especial, ya que una impresión falsa de los acontecimientos de Heidelberg duró más de 50 años. [12]
En los años 1906-1909, Hausdorff realizó su trabajo innovador y fundamental sobre conjuntos ordenados. De fundamental importancia para toda la teoría es el concepto de cofinalidad , que introdujo Hausdorff. Un ordinal se llama regular si es cofinal con cualquier ordinal más pequeño; de lo contrario se llama singular. La pregunta de Hausdorff sobre si existen números regulares que indexen un ordinal límite fue el punto de partida de la teoría de los cardinales inaccesibles. Hausdorff ya había advertido que tales cifras, si existen, deben ser de "tamaños exorbitantes". [13]
El siguiente teorema de Hausdorff también es de fundamental importancia: para cada conjunto denso ilimitado y ordenado hay dos números iniciales regulares determinados de forma única , de modo que es cofinal con y coinicial con (donde * denota el orden inverso). Este teorema proporciona, por ejemplo, una técnica para caracterizar elementos y huecos en conjuntos ordenados.
Si se trata de un conjunto predeterminado de caracteres (caracteres de elementos y espacios), surge la pregunta de si existen conjuntos ordenados cuyo conjunto de caracteres sea exactamente . Se puede encontrar fácilmente una condición necesaria para , pero Hausdorff también pudo demostrar que esta condición es suficiente. Para ello se necesita una rica reserva de conjuntos ordenados, que Hausdorff también pudo crear con su teoría de los productos y potencias generales. [14] En este depósito se pueden encontrar estructuras interesantes como los tipos normales de Hausdorff, en relación con los cuales Hausdorff formuló por primera vez la hipótesis del continuo generalizado . Los conjuntos de Hausdorff formaron el punto de partida para el estudio de la importante teoría modelo de estructura saturada . [15]
Los productos generales y los poderes de las cardinalidades de Hausdorff lo llevaron a estudiar el concepto de conjunto parcialmente ordenado. La pregunta de si algún subconjunto ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un subconjunto ordenado máximo fue respondida positivamente por Hausdorff utilizando el teorema del bien ordenamiento. Este es el principio maximal de Hausdorff , que se deriva del teorema del buen orden o del axioma de elección y, como resultó, también es equivalente al axioma de elección. [dieciséis]
En un escrito de 1908, Arthur Moritz Schoenflies encontró en su informe sobre la teoría de conjuntos que la teoría más nueva de conjuntos ordenados (es decir, la que ocurrió después de las ampliaciones de Cantor) se debía casi exclusivamente a Hausdorff. [17]
Según nociones anteriores, la teoría de conjuntos incluía no sólo la teoría general de conjuntos y la teoría de conjuntos de puntos, sino también la teoría de las dimensiones y de la medida. El libro de texto de Hausdorff fue el primero en presentar toda la teoría de conjuntos en este sentido amplio, sistemáticamente y con pruebas completas. Hausdorff era consciente de la facilidad con la que la mente humana puede equivocarse buscando al mismo tiempo el rigor y la verdad, por eso en el prefacio de su obra promete:
… ser lo más económico posible con el privilegio humano del error.
Este libro fue mucho más allá de su magistral descripción de conceptos ya conocidos. También contenía una serie de importantes aportaciones originales del autor.
Los primeros capítulos tratan de los conceptos básicos de la teoría general de conjuntos. Al principio, Hausdorff proporciona un álgebra de conjuntos detallada con algunos conceptos nuevos pioneros (cadena de diferencias, anillos de conjuntos y campos de conjuntos, y sistemas). Los párrafos introductorios sobre conjuntos y sus conexiones incluían, por ejemplo, la noción moderna de funciones en la teoría de conjuntos. Los capítulos 3 a 5 discuten la teoría clásica de los números cardinales, tipos de orden y ordinales, y en el sexto capítulo "Relaciones entre conjuntos ordenados y bien ordenados" Hausdorff presenta, entre otras cosas, los resultados más importantes de su propia investigación sobre conjuntos ordenados. .
En los capítulos sobre "conjuntos de puntos", los capítulos topológicos, Hausdorff desarrolló por primera vez, basándose en los axiomas de vecindad conocidos, una teoría sistemática de los espacios topológicos, donde además añadió el axioma de separación que más tarde lleva su nombre. Esta teoría surge de una síntesis integral de enfoques anteriores de otros matemáticos y las propias reflexiones de Hausdorff sobre el problema del espacio. Los conceptos y teoremas de la teoría clásica de conjuntos de puntos se transfieren, en la medida de lo posible, al caso general y, por lo tanto, pasan a formar parte de la topología general o de teoría de conjuntos recién creada. Pero Hausdorff no sólo realizó este "trabajo de traducción", sino que también desarrolló métodos básicos de construcción de topología, como la formación de núcleos (núcleo abierto, núcleo autodenso ) y la formación de capas ( cierre ), y analiza la importancia fundamental del concepto. de un conjunto abierto (llamado "área" por él) y del concepto de compacidad introducido por Fréchet. También fundó y desarrolló la teoría del conjunto conexo, particularmente mediante la introducción de los términos "componente" y "cuasi-componente".
Con el primer axioma de contabilidad de Hausdorff, y finalmente el segundo, los espacios considerados se especializaron gradualmente más. Una gran clase de espacios que satisfacen el primer axioma contable son los espacios métricos . Fueron introducidas en 1906 por Fréchet con el nombre de "clases (E)". El término "espacio métrico" proviene de Hausdorff. En Principios , desarrolló la teoría de los espacios métricos y la enriqueció sistemáticamente mediante una serie de nuevos conceptos: métrica de Hausdorff , completa , acotación total , -conectividad, conjuntos reducibles. La obra de Fréchet no es particularmente famosa; sólo a través de los Principios de Hausdorff los espacios métricos se convirtieron en conocimiento común para los matemáticos.
El capítulo sobre ilustraciones y el capítulo final de Principios sobre la teoría de la medida y la integración se enriquecen con la generalidad del material y la originalidad de la presentación. La mención que hizo Hausdorff de la importancia de la teoría de la medida para la probabilidad tuvo un gran efecto histórico, a pesar de su lacónica brevedad. Se encuentra en este capítulo la primera prueba correcta de la ley fuerte de los grandes números de Émile Borel . Finalmente, el apéndice contiene el resultado más espectacular de todo el libro, a saber, el teorema de Hausdorff de que no se puede definir un volumen para todos los subconjuntos acotados de for . La prueba se basa en la descomposición paradójica de bolas de Hausdorff , cuya producción requiere el axioma de elección. [18]
Durante el siglo XX, se convirtió en el estándar construir teorías matemáticas sobre la teoría de conjuntos axiomática. La creación de teorías generalizadas fundamentadas axiomáticamente, como la topología general, sirvió, entre otras cosas, para señalar el núcleo estructural común para varios casos o regiones específicos y luego establecer una teoría abstracta que contenía todas estas partes como casos especiales. Esto supuso un gran éxito en forma de simplificación y armonización y, en última instancia, trajo consigo una economía de pensamiento. El propio Hausdorff destacó este aspecto en los Principios . En el capítulo topológico, los conceptos básicos son metodológicamente un esfuerzo pionero y allanaron el camino para el desarrollo de las matemáticas modernas.
Los principios de la teoría de conjuntos aparecieron en abril de 1914, en vísperas de la Primera Guerra Mundial, que afectó dramáticamente la vida científica en Europa. En estas circunstancias, los efectos del libro de Hausdorff sobre el pensamiento matemático no se verían hasta cinco o seis años después de su aparición. Después de la guerra, una nueva generación de jóvenes investigadores se propuso ampliar las abundantes sugerencias incluidas en este trabajo. Sin duda, la topología fue el principal foco de atención. La revista Fundamenta Mathematicae , fundada en Polonia en 1920, jugó un papel especial en la recepción de las ideas de Hausdorff. Fue una de las primeras revistas matemáticas con especial énfasis en la teoría de conjuntos, la topología, la teoría de funciones reales, la teoría de la medida y la integración, el análisis funcional, la lógica y los fundamentos de las matemáticas. En todo este espectro, se puso especial atención en la topología. Los Principios de Hausdorff fueron citados en el primer volumen de Fundamenta Mathematicae y, a través del recuento de citas, su influencia continuó a un ritmo notable. De las 558 obras (no incluidas las tres obras del propio Hausdorff), que aparecieron en los primeros veinte volúmenes de Fundamenta Mathematicae de 1920 a 1933, 88 citan Principios . También hay que tener en cuenta el hecho de que, a medida que las ideas de Hausdorff se volvieron cada vez más comunes, también se utilizaron en una serie de obras que no las citaban explícitamente.
La escuela topológica rusa, fundada por Paul Alexandroff y Paul Urysohn , se basó en gran medida en los Principios de Hausdorff . Esto se muestra en la correspondencia que se conserva en Nachlass de Hausdorff con Urysohn, y especialmente en Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes de Alexandroff y Urysohn , [19] una obra del tamaño de un libro, en la que Urysohn desarrolló la teoría de las dimensiones y sus Principios se cita no menos de 60 veces. .
Después de la Segunda Guerra Mundial hubo una fuerte demanda del libro de Hausdorff, y hubo tres reimpresiones en Chelsea en 1949, 1965 y 1978.
En 1916, Alexandroff y Hausdorff resolvieron de forma independiente [20] el problema del continuo para los conjuntos de Borel: cada conjunto de Borel en un espacio métrico separable completo es contable o tiene la cardinalidad del continuo. Este resultado generaliza el teorema de Cantor-Bendixson de que tal afirmación es válida para los conjuntos cerrados de . Para conjuntos lineales William Henry Young había demostrado el resultado en 1903, [21] para conjuntos Hausdorff obtuvo un resultado correspondiente en 1914 en Principios . El teorema de Alexandroff y Hausdorff supuso un fuerte impulso para un mayor desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos. [22]
Entre las publicaciones de Hausdorff en su época en Greifswald destaca la obra Dimensión y medida exterior de 1919. En este trabajo se introdujeron los conceptos que hoy se conocen como medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff . Ha seguido siendo de gran actualidad y en años posteriores ha sido una de las obras matemáticas más citadas de la década de 1910 a 1920.
El concepto de dimensión de Hausdorff es útil para la caracterización y comparación de "cantidades muy rugosas". Los conceptos de dimensión y medida exterior han experimentado aplicaciones y desarrollos posteriores en muchas áreas, como en la teoría de sistemas dinámicos, la teoría de medidas geométricas, la teoría de conjuntos autosemejantes y fractales, la teoría de procesos estocásticos, el análisis armónico y la teoría potencial. y teoría de números. [23]
Un importante trabajo analítico de Hausdorff se produjo en su segunda estancia en Bonn. En Métodos de suma y secuencias de momentos I en 1921, desarrolló toda una clase de métodos de suma para series divergentes, que hoy se denominan métodos de Hausdorff. En la clásica Serie Divergente de Hardy , se dedica un capítulo completo al método Hausdorff. Los métodos clásicos de Hölder y Cesàro resultaron ser casos especiales del método Hausdorff. Cada método de Hausdorff está dado por una secuencia de momentos; En este contexto, Hausdorff dio una solución elegante al problema del momento para un intervalo finito, sin pasar por la teoría de las fracciones continuas. En su artículo Problemas de momentos para un intervalo finito de 1923, trató problemas de momentos más especiales, como aquellos con ciertas restricciones para generar densidad , por ejemplo . Los criterios de solubilidad y decidibilidad de los problemas de momentos ocuparon a Hausdorff durante muchos años, como atestiguan cientos de páginas de notas escritas a mano en su Nachlass . [24]
Una contribución significativa al campo emergente del análisis funcional en la década de 1920 fue la extensión de Hausdorff del teorema de Riesz-Fischer a espacios en su obra de 1923 Una extensión del teorema de Parseval en series de Fourier . Demostró las desigualdades que ahora llevan su nombre y el de WH Young. Las desigualdades Hausdorff-Young se convirtieron en el punto de partida de importantes novedades. [25]
El libro de Hausdorff Teoría de conjuntos apareció en 1927. Fue declarado como una segunda edición de Principios , pero en realidad era un libro completamente nuevo. Dado que la escala se redujo significativamente debido a su aparición en la biblioteca didáctica de Goschen, se eliminaron gran parte de la teoría de conjuntos y medidas ordenados y de la teoría de la integración. En su prefacio, Hausdorff escribe: "Quizás incluso más que estas eliminaciones el lector será el que más lamentará que, para ahorrar espacio en la teoría de conjuntos de puntos, haya abandonado el punto de vista topológico a través del cual la primera edición aparentemente ha ganado muchos amigos. y centrado en la teoría más simple de los espacios métricos".
De hecho, esto fue un arrepentimiento explícito de algunos críticos de la obra. Como una especie de compensación, Hausdorff mostró por primera vez el estado entonces vigente de la teoría descriptiva de conjuntos. Este hecho aseguró al libro una recepción casi tan intensa como Principios , especialmente en Fundamenta Mathematicae. Como libro de texto fue muy popular. En 1935 se publicó una edición ampliada, que Dover reimprimió en 1944. En 1957 apareció una traducción al inglés con reimpresiones en 1962 y 1967.
También hubo una edición rusa (1937), aunque sólo fue parcialmente una traducción fiel y en parte una reelaboración de Alexandroff y Kolmogorov . En esta traducción el punto de vista topológico volvió a pasar a primer plano. En 1928 , Hans Hahn escribió una reseña de la teoría de conjuntos , quien tal vez tenía en mente el peligro del antisemitismo alemán cuando cerró su discusión con la siguiente frase:
Una descripción ejemplar en todos los aspectos de un área difícil y espinosa, un trabajo a la altura de aquellos que han llevado la fama de la ciencia alemana a todo el mundo y del que todos los matemáticos alemanes pueden estar orgullosos. [26]
En 1938, el último trabajo de Hausdorff, Extensión de un mapa continuo, mostró que una función continua de un subconjunto cerrado de un espacio métrico se puede extender a todos (aunque es posible que sea necesario ampliar la imagen). Como caso especial, cada homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de . Este trabajo continuó la investigación de años anteriores. En 1919, en Sobre las funciones semicontinuas y su generalización , Hausdorff había dado, entre otras cosas, otra prueba del teorema de extensión de Tietze . En 1930, en Ampliación de un homeomorfismo , demostró lo siguiente: Sea un espacio métrico, un subconjunto cerrado. Si se proporciona una nueva métrica sin cambiar la topología, esta métrica se puede extender a todo el espacio sin cambiar la topología. La obra Espacios graduados apareció en 1935, donde Hausdorff analizaba los espacios que cumplían los axiomas de cierre de Kuratowski hasta el axioma de idempotencia. Estos espacios a menudo también se denominan espacios de cierre, y Hausdorff los utilizó para estudiar las relaciones entre los espacios límite de Fréchet y los espacios topológicos .
El nombre Hausdorff se encuentra en todas las matemáticas. Entre otros, estos conceptos llevan su nombre:
En las universidades de Bonn y Greifswald se nombraron en su honor estos objetos:
Además de éstas, en Bonn se encuentra la Hausdorffstraße (calle Hausdorff), donde vivió por primera vez. (Casa nº 61). En Greifswald se encuentra la calle Felix-Hausdorff-Straße, donde se encuentran, entre otros, los institutos de bioquímica y física. Desde 2011 existe un "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) en el centro de Leipziger Ortsteil Gohlis. [27]
El asteroide 24947 Hausdorff lleva su nombre.
Aquí sólo se muestra una selección de los ensayos que aparecieron en texto.
Hausdorff sobre conjuntos ordenados . Trans. y Ed.: Jacob M. Plotkin, Sociedad Matemática Estadounidense 2005.
La "Edición Hausdorff", editada por E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (todo Bonn), R. Remmert (†) (Münster) y E. Scholz (Wuppertal) con la colaboración de más de veinte matemáticos, historiadores, filósofos y eruditos, es un proyecto en curso de la Academia de Ciencias, Humanidades y Artes de Renania del Norte-Westfalia para presentar las obras de Hausdorff, con comentarios y mucho material adicional. Los volúmenes han sido publicados por Springer-Verlag , Heidelberg. Se han publicado nueve volúmenes, dividiéndose el volumen I en el volumen IA y el volumen IB. Consulte el sitio web del Proyecto Hausdorff de la Edición Hausdorff (alemán) para obtener más información. Los volúmenes son:
El texto completo de Abschiedsbrief Felix Hausdorffs en Wikisource
![{\displaystyle \varphi (x)\in L^{p}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fcbe40081da0691fa1121ce0009593bb15ac9d)
