Teorema de Riesz-Fischer

En matemáticas , el teorema de Riesz-Fischer en análisis real es cualquiera de una serie de resultados estrechamente relacionados sobre las propiedades del espacio L 2 de funciones cuadradas integrables . El teorema fue demostrado de forma independiente en 1907 por Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer .

Para muchos autores, el teorema de Riesz-Fischer hace referencia a que los espacios Lp de la teoría de integración de Lebesgue son completos . ${\displaystyle L^{p}}$

Formas modernas del teorema.

La forma más común del teorema establece que una función medible on es integrable al cuadrado si y sólo si la serie de Fourier correspondiente converge en el espacio Lp. Esto significa que si la enésima suma parcial de la serie de Fourier correspondiente a una función integrable al cuadrado f está dado por donde el n- ésimo coeficiente de Fourier , está dado por entonces donde es la norma . ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}.}$ $${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},}$$ ${\displaystyle F_{n},}$ $${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}f-f\right\|_{2}=0,}$$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Por el contrario, si es una secuencia de dos lados de números complejos (es decir, sus índices van desde el infinito negativo hasta el infinito positivo) tal que entonces existe una función f tal que f es integrable al cuadrado y los valores son los coeficientes de Fourier de f . ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Esta forma del teorema de Riesz-Fischer es una forma más fuerte de la desigualdad de Bessel y puede usarse para demostrar la identidad de Parseval para series de Fourier .

Otros resultados suelen denominarse teorema de Riesz-Fischer (Dunford y Schwartz 1958, §IV.16). Entre ellos está el teorema de que, si A es un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H , y entonces para todos menos un número contable y Además, si A es una base ortonormal para H y x un vector arbitrario, la serie converge conmutativa (o incondicionalmente) . ) a x . Esto equivale a decir que para cada existe un conjunto finito en A tal que para cada conjunto finito B contiene B ₀ . Además, las siguientes condiciones en el conjunto A son equivalentes: ${\displaystyle x\in H,}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$$ ${\displaystyle y\in A,}$ $${\displaystyle \sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}.}$$ $${\displaystyle \sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y}$$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle B_{0}}$ $${\displaystyle \|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\|<\varepsilon }$$

• el conjunto A es una base ortonormal de H
• para cada vector ${\displaystyle x\in H,}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}$$

Otro resultado, que a veces también lleva el nombre de Riesz y Fischer, es el teorema de que (o más generalmente ) es completo . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p},0<p\leq \infty }$

Ejemplo

El teorema de Riesz-Fischer también se aplica en un entorno más general. Sea R un espacio producto interno que consta de funciones (por ejemplo, funciones medibles en la recta, funciones analíticas en el disco unitario; en la literatura antigua, a veces llamado espacio euclidiano), y sea un sistema ortonormal en R (por ejemplo, base de Fourier, Polinomios de Hermite o Laguerre , etc. - ver polinomios ortogonales ), no necesariamente completos (en un espacio producto interno, un conjunto ortonormal es completo si ningún vector distinto de cero es ortogonal a cada vector del conjunto). El teorema afirma que si el espacio normado R es completo (por lo tanto R es un espacio de Hilbert ), entonces cualquier secuencia que tenga norma finita define una función f en el espacio R. ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

La función f está definida por el límite en R -norm. ${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k},}$

Combinado con la desigualdad de Bessel , también sabemos lo contrario: si f es una función en R , entonces los coeficientes de Fourier tienen norma finita . ${\displaystyle (f,\varphi _{n})}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Historia: la nota de Riesz y la nota de Fischer (1907)

En su Nota, Riesz (1907, p. 616) afirma el siguiente resultado (traducido aquí al lenguaje moderno en un momento dado: la notación no se utilizó en 1907). ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

Sea un sistema ortonormal en y una secuencia de reales. La convergencia de la serie es una condición necesaria y suficiente para la existencia de una función f tal que ${\displaystyle \left\{\varphi _{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}^{2}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}\quad {\text{ for every }}n.}$$

Hoy, este resultado de Riesz es un caso especial de hechos básicos sobre series de vectores ortogonales en espacios de Hilbert.

La Nota de Riesz apareció en marzo. En mayo, Fischer (1907, p. 1023) afirma explícitamente en un teorema (casi con palabras modernas) que una secuencia de Cauchy converge en -norma a alguna función. En esta nota, las secuencias de Cauchy se denominan " secuencias que convergen en la media " y se denota por Además, la convergencia a un límite en –norma se llama " convergencia en la media hacia una función ". Aquí está la declaración, traducida del francés: ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}([a,b]).}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Teorema. Si una secuencia de funciones que pertenecen a converge en la media, existe una función f hacia la cual la secuencia converge en la media. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Fischer continúa demostrando el resultado anterior de Riesz, como consecuencia de la ortogonalidad del sistema y de la completitud de ${\displaystyle L^{2}.}$

La prueba de integridad de Fischer es algo indirecta. Utiliza el hecho de que las integrales indefinidas de las funciones g _n en la secuencia de Cauchy dada, es decir, convergen uniformemente en alguna función G , continua con variación acotada. La existencia del límite para la secuencia de Cauchy se obtiene aplicando a G teoremas de diferenciación de la teoría de Lebesgue. Riesz utiliza un razonamiento similar en su Nota, pero no menciona explícitamente si su resultado puede interpretarse de esta manera. Dice que integrando término por término una serie trigonométrica con coeficientes cuadrados sumables dados, obtiene una serie que converge uniformemente a una función continua F   con variación acotada. La derivada f   de F , definida casi en todas partes, es sumable al cuadrado y tiene para los coeficientes de Fourier los coeficientes dados. $${\displaystyle G_{n}(x)=\int _{a}^{x}g_{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g\in L^{2}}$
${\displaystyle L^{2},}$

Completitud de L p , 0 < p  ≤ ∞

Para algunos autores, en particular Royden, ^{[1] el teorema} de Riesz-Fischer es el resultado completo : que toda secuencia de funciones de Cauchy converge a una función bajo la métrica inducida por la norma p . La siguiente prueba se basa en los teoremas de convergencia de la integral de Lebesgue ; El resultado también se puede obtener mostrando que cada secuencia de Cauchy tiene una subsecuencia de Cauchy rápidamente convergente, que cada secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente converge y que toda secuencia de Cauchy rápidamente converge en ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$

Cuando la desigualdad de Minkowski implica que el espacio Lp es un espacio normado. Para demostrar que es completo, es decir, que es un espacio de Banach , es suficiente (ver, por ejemplo, espacio de Banach#Definición ) demostrar que toda serie de funciones es tal que converge en la norma a alguna función. Para la desigualdad de Minkowski y la El teorema de convergencia monótona implica que está definido –casi en todas partes y El teorema de convergencia dominada se usa luego para demostrar que las sumas parciales de la serie convergen a f en la norma -, ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \sum u_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ $${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}<\infty }$$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p<\infty ,}$ $${\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}\right)^{p}<\infty ,\ \ {\text{ hence }}\ \ f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

El caso requiere algunas modificaciones, porque la norma p ya no es subaditiva. Se parte del supuesto más fuerte de que y se utiliza repetidamente que. El caso se reduce a una simple cuestión sobre la convergencia uniforme fuera de un conjunto despreciable. ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty }$$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ when }}p<1}$$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

Ver también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que está completo

Referencias

1. Royden, HL (13 de febrero de 2017). Análisis reales . Fitzpatrick, Patrick, 1946- (Cuarta ed.). Nueva York, Nueva York. ISBN 9780134689494. OCLC  964502015.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Beals, Richard (2004), Análisis: Introducción , Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
• Fischer, Ernst (1907), "Sur la convergence en moyenne", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 1022-1024.
• Riesz, Frigyes (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 615–619.