Teorema de convergencia monótona

Teoremas sobre la convergencia de secuencias monótonas acotadas

En el campo matemático del análisis real , el teorema de convergencia monótona es cualquiera de una serie de teoremas relacionados que prueban la convergencia de secuencias monótonas (secuencias que son decrecientes o crecientes ) que también están acotadas . Informalmente, los teoremas establecen que si una secuencia es creciente y está limitada arriba por un supremo , entonces la secuencia convergerá al supremo; de la misma manera, si una secuencia es decreciente y está acotada por debajo por un mínimo , convergerá al mínimo.

Convergencia de una secuencia monótona de números reales.

Lema 1

Si una secuencia de números reales es creciente y está acotada arriba, entonces su supremo es el límite.

Prueba

Sea tal secuencia y sea el conjunto de términos de . Por supuesto, no está vacío y está acotado arriba. Según la propiedad del límite mínimo superior de los números reales, existe y es finito. Ahora bien, para cada , existe tal que , ya que de lo contrario es un límite superior de , lo que contradice la definición de . Entonces desde es creciente y es su límite superior, para cada , tenemos . Por lo tanto, por definición, el límite de es ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle |c-a_{n}|\leq |c-a_{N}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Lema 2

Si una secuencia de números reales es decreciente y está acotada por debajo, entonces su mínimo es el límite.

Prueba

La prueba es similar a la prueba para el caso en el que la secuencia es creciente y está acotada arriba.

Teorema

Si es una secuencia monótona de números reales (es decir, si un _n  ≤  un _{n +1} para cada n ≥ 1 o un _n  ≥  un _{n +1} para cada n ≥ 1), entonces esta secuencia tiene un límite finito si y sólo si la secuencia está acotada . ^[1] ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Prueba

• Dirección "si": la demostración se deriva directamente de los lemas.
• Dirección "Sólo si": según la definición de límite (ε, δ) , toda secuencia con un límite finito está necesariamente acotada. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L}$

Convergencia de una serie monótona

Teorema

Si para todos los números naturales j y k , a _{j , k} es un número real no negativo y a _{j , k}  ≤ a _{j +1, k} , entonces ^{[2] : 168}

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}.}$

El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos tal que

1. las columnas son débilmente crecientes y acotadas, y
2. para cada fila, la serie cuyos términos están dados por esta fila tiene una suma convergente,

entonces el límite de las sumas de las filas es igual a la suma de la serie cuyo término k está dado por el límite de la columna k (que también es su supremo ). La serie tiene una suma convergente si y sólo si la secuencia (débilmente creciente) de sumas de filas es acotada y, por tanto, convergente.

Como ejemplo, considere la serie infinita de filas

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},}$

donde n tiende al infinito (el límite de esta serie es e ). Aquí la entrada de la matriz en la fila n y la columna k es

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}};}$

las columnas ( k fija ) de hecho aumentan débilmente con n y están acotadas (¡por 1/ k !), mientras que las filas solo tienen un número finito de términos distintos de cero, por lo que se cumple la condición 2; El teorema ahora dice que se puede calcular el límite de las sumas de las filas tomando la suma de los límites de las columnas, es decir  . ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k!}}}$

El lema de Beppo Levi

El siguiente resultado se debe a Beppo Levi , quien demostró una ligera generalización en 1906 de un resultado anterior de Henri Lebesgue . ^[3] En lo que sigue, denota el álgebra de conjuntos de Borel en . Por definición, contiene el conjunto y todos los subconjuntos de Borel de ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Teorema

Sea un espacio de medida , y . Considere una secuencia puntual no decreciente de funciones no negativas medibles , es decir, para todos y cada uno , ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle {k\geq 1}}$ ${\displaystyle {x\in X}}$

${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .}$

Establezca el límite puntual de la secuencia en . Es decir, para cada , ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x).}$

Entonces es -medible y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$

Observación 1. Las integrales pueden ser finitas o infinitas.

Observación 2. El teorema sigue siendo verdadero si sus supuestos se cumplen en casi todas partes. En otras palabras, es suficiente que haya un conjunto nulo tal que la secuencia no disminuya para cada Para ver por qué esto es cierto, comenzamos con una observación de que permitir que la secuencia no disminuya puntualmente en casi todas partes causa que su límite puntual sea ser indefinido en algún conjunto nulo . En ese conjunto nulo, puede definirse arbitrariamente, por ejemplo, como cero, o de cualquier otra forma que preserve la mensurabilidad. Para ver por qué esto no afectará el resultado del teorema, observe que dado que tenemos, para cada ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$y ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

siempre que sea mensurable. ^{[4] : sección 21.38} (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de la integral de Lebesgue para una función no negativa). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Observación 3. Bajo los supuestos del teorema,

1. ${\displaystyle \textstyle f(x)=\liminf _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k}f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)}$
2. ${\displaystyle \textstyle \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\textstyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

(Nótese que la segunda cadena de igualdades se deriva de la Observación 5).

Observación 4. La siguiente prueba no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí. Por tanto, el teorema se puede utilizar para demostrar otras propiedades básicas, como la linealidad, pertenecientes a la integración de Lebesgue.

Observación 5 (monotonicidad de la integral de Lebesgue). En la siguiente prueba, aplicamos la propiedad monótona de la integral de Lebesgue únicamente a funciones no negativas. Específicamente (ver Observación 4), dejemos que las funciones sean mensurables. ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

• Si en todas partes entonces ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Si y entonces ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Prueba. Denotemos por el conjunto de funciones simples mensurables tales que en todas partes del mundo ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ ${\displaystyle X.}$

1. Ya que tenemos ${\displaystyle f\leq g,}$

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

Por definición de la integral de Lebesgue y las propiedades del supremum,

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Sea la función indicadora del conjunto. De la definición de la integral de Lebesgue se deduce que ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}.}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$

si notamos que, para cada exterior de Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle X_{1}.}$ ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Prueba

Esta prueba no se basa en el lema de Fatou ; sin embargo, explicamos cómo se podría utilizar ese lema. Aquellos que no estén interesados ​​en esta independencia de la prueba pueden omitir los resultados intermedios a continuación.

Resultados intermedios

Integral de Lebesgue como medida

Lema 1. Sea un espacio mensurable. Considere una función no negativa simple y medible . Para un subconjunto , defina ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

Entonces hay una medida en . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega }$

Prueba

La monotonicidad se desprende de la Observación 5. Aquí, solo demostraremos la aditividad contable, dejando el resto a criterio del lector. Sea , donde todos los conjuntos son disjuntos por pares. Debido a la simplicidad, ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}},}$

para algunas constantes finitas no negativas y conjuntos disjuntos por pares tales que . Por definición de la integral de Lebesgue, ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }S_{j}\right)\cap A_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)\end{aligned}}}$

Dado que todos los conjuntos son disjuntos por pares, la aditividad contable de nos da ${\displaystyle S_{j}\cap A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).}$

Dado que todos los sumandos son no negativos, la suma de la serie, ya sea finita o infinita, no puede cambiar si el orden de la suma sí lo hace. Por esta razón,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,d\mu \\&=\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}}$

según sea necesario.

"Continuidad desde abajo"

La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de medida.

Lema 2. Sea una medida, y , donde ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

es una cadena no decreciente con todos sus conjuntos -medibles. Entonces ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i}).}$

Prueba del teorema

Paso 1. Comenzamos demostrando que es mensurable. ^{[4] : sección 21.3} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Nota. Si usáramos el lema de Fatou, la mensurabilidad se desprendería fácilmente de la observación 3(a).

Para hacer esto sin usar el lema de Fatou, es suficiente mostrar que la imagen inversa de un intervalo bajo es un elemento del álgebra sigma en , porque los intervalos (cerrados) generan el álgebra sigma de Borel en los reales. Dado que es un intervalo cerrado y, para cada , , ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f(x)}$

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl [}\forall k\quad 0\leq f_{k}(x)\leq t{\Bigr ]}.}$

De este modo,

${\displaystyle \{x\in X\mid 0\leq f(x)\leq t\}=\bigcap _{k}\{x\in X\mid 0\leq f_{k}(x)\leq t\}.}$

Al ser la imagen inversa de un conjunto de Borel bajo una función medible , cada conjunto en la intersección contable es un elemento de . Dado que las -álgebras son, por definición, cerradas bajo intersecciones contables, esto demuestra que son -medibles y que la integral está bien definida (y posiblemente infinita). ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Paso 2. Primero mostraremos que ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

La definición y la monotonicidad de implican que , para todos y cada uno . Por monotonicidad (o, más precisamente, su versión más estrecha establecida en la Observación 5; ver también la Observación 4) de la integral de Lebesgue, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ ${\displaystyle f(x)\geq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

y

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Tenga en cuenta que el límite de la derecha existe (finito o infinito) porque, debido a la monotonicidad (ver Observación 5 y Observación 4), la secuencia no es decreciente.

Fin del paso 2.

Ahora demostramos la desigualdad inversa. Buscamos mostrar que

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

Prueba utilizando el lema de Fatou. Según la observación 3, la desigualdad que queremos demostrar es equivalente a

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{k}f_{k}(x)\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Pero esto último se deriva inmediatamente del lema de Fatou, y la demostración es completa.

Prueba independiente. Para demostrar la desigualdad sin utilizar el lema de Fatou, necesitamos maquinaria adicional. Denotemos por el conjunto de funciones simples medibles tales como en . ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ ${\displaystyle X}$

Paso 3. Dada una función simple y un número real , define ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Entonces y . _ ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in \Sigma }$ ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

Paso 3a. Para probar la primera afirmación, consideremos , para alguna colección finita de conjuntos mensurables disjuntos por pares tales que , algunas constantes (finitas) no negativas , y que denotan la función indicadora del conjunto . ${\displaystyle \textstyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Para cada se cumple si y sólo si Dado que los conjuntos son disjuntos por pares, ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ].}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}.}$

Dado que la imagen previa del conjunto de Borel bajo la función medible es medible, y las -álgebras, por definición, son cerradas bajo intersecciones y uniones finitas, se sigue la primera afirmación. ${\displaystyle f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Paso 3b. Para probar la segunda afirmación, tenga en cuenta que, para todos y cada uno , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x).}$

Paso 3c. Para probar la tercera afirmación, demostramos que . ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

En efecto, si por el contrario, entonces un elemento ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

${\displaystyle \textstyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

existe tal que , para cada . Tomando el límite como , obtenemos ${\displaystyle f_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Pero según la suposición inicial, . Esto es una contradicción. ${\displaystyle s\leq f}$

Paso 4. Para cada función no negativa simple y medible , ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Para probar esto, defina . Por el Lema 1, es una medida en . Por "continuidad desde abajo" (Lema 2), ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$ ${\displaystyle \nu (S)}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu ,}$

según sea necesario.

Paso 5. Ahora demostramos que, para cada , ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

De hecho, utilizando la definición de , la no negatividad de , y la monotonicidad de la integral de Lebesgue (ver Observación 5 y Observación 4), tenemos ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

para cada . De acuerdo con el Paso 4, como , la desigualdad se convierte en ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Tomando el límite como rendimientos ${\displaystyle t\uparrow 1}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

según sea necesario.

Paso 6. Ahora podemos demostrar la desigualdad inversa, es decir

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

De hecho, por no negatividad, y Para el cálculo siguiente, la no negatividad de es esencial. Aplicando la definición de la integral de Lebesgue y la desigualdad establecida en el Paso 5, tenemos ${\displaystyle f_{+}=f}$ ${\displaystyle f_{-}=0.}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

La prueba está completa.

Relajando el supuesto de monotonicidad

Bajo hipótesis similares al teorema de Beppo Levi, es posible relajar la hipótesis de la monotonicidad. ^[5] Como antes, sea un espacio de medida y . Nuevamente, será una secuencia de funciones no negativas mensurables . Sin embargo, no asumimos que no sean decrecientes puntualmente. En cambio, asumimos que converge para casi todos , lo definimos como el límite puntual de y asumimos además que puntualmente en casi todas partes para todos . Entonces es -mensurable, y existe, y ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{k}\leq f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$$

Como antes, la mensurabilidad se deriva del hecho de que casi en todas partes. El intercambio de límites e integrales es entonces una consecuencia fácil del lema de Fatou. Uno tiene ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}}$

$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$

$${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$

${\textstyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Ver también

• Series infinitas
• Teorema de convergencia dominada

Notas

1. Bibby, John (1974) hizo una generalización de este teorema . "Axiomatizaciones de la media y una mayor generalización de secuencias monótonas". Revista de Matemáticas de Glasgow . 15 (1): 63–65. doi : 10.1017/S0017089500002135 .
2. Véase, por ejemplo , Yeh, J. (2006). Análisis Real: Teoría de la Medida y la Integración . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.
3. Schappacher, Norberto ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi :10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
4. Véase, por ejemplo , Schechter, Erik (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-622760-8.
5. coudy (https://mathoverflow.net/users/6129/coudy), ¿Conoce teoremas importantes que aún se desconocen?, URL (versión: 2018-06-05): https://mathoverflow.net/q/296540