Los espacios L p forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue se utilizan también en la discusión teórica de problemas de física, estadística, economía, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.
En regresión penalizada , "penalización L1" y "penalización L2" se refieren a penalizar la norma del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan soluciones escasas (donde muchos parámetros son cero). [1] La regularización neta elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma y la norma del vector de parámetros.
Por el contrario, si la transformada de Fourier no se corresponde con
Espacios de Hilbert
Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios y son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert , es decir, un subconjunto ortonormal máximo de o cualquier espacio de Hilbert, se ve que cada espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a (igual que arriba), es decir, un espacio de Hilbert de tipo
La distancia euclidiana entre dos puntos y es la longitud de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es apropiada para capturar las distancias reales en un espacio determinado. Por el contrario, considere a los taxistas en un plan de calles en cuadrícula, quienes deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o paralelas entre sí. otro. La clase de normas generaliza estos dos ejemplos y tiene abundantes aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática .
Definición
Para un número real , la norma o la norma de se define por
La norma euclidiana desde arriba entra en esta clase y es la norma, y la norma es la norma que corresponde a la distancia rectilínea .
La norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de las normas. Resulta que este límite equivale a la siguiente definición:
Porque todas las normas y la norma máxima definidas anteriormente satisfacen las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son las siguientes:
sólo el vector cero tiene longitud cero,
la longitud del vector es homogénea positiva con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad del triángulo ).
En términos abstractos, esto significa que junto con -norm hay un espacio vectorial normado . Es más, resulta que este espacio está completo, convirtiéndolo así en un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el espacio sobre
Relaciones entre p -normas
La distancia de cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es más corta que la longitud del segmento de línea entre ellos (la distancia euclidiana o "en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1:
Este hecho se generaliza a las normas en el sentido de que la norma de cualquier vector dado no crece con :
para cualquier vector y números reales y (de hecho, esto sigue siendo cierto para y ).
Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la -norma y la -norma:
Esta desigualdad depende de la dimensión del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
Aunque la bola unitaria alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida por la métrica es la topología del espacio vectorial habitual y, por lo tanto , es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Más allá de esta afirmación cualitativa, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de es denotar por la constante más pequeña tal que el múltiplo escalar de la bola unitaria contiene el casco convexo de la cual es igual a El hecho de que para fijo tenemos
Hay una norma y otra función llamada "norma" (entre comillas).
La definición matemática de la norma fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de secuencias tiene una topología métrica completa proporcionada por la norma F
Metric Linear Spaces[2]
Otra función llamada "norma" por David Donoho —cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha— es el número de entradas distintas de cero del vector [ cita necesaria ] Muchos autores abusan de la terminología al omitir las comillas. Definir la "norma" cero de es igual a
La norma p en dimensiones infinitas y espacios ℓ p
El espacio de secuencia ℓ p
La norma se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio que contiene casos especiales:
El espacio de secuencias tiene una estructura de espacio vectorial natural mediante la aplicación de suma y multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para secuencias infinitas de números reales (o complejos ) vienen dadas por:
Defina la norma:
Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por lo que, por ejemplo, la secuencia formada sólo por unos tendrá una norma infinita para El espacio se define entonces como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que la norma es finita.
Se puede comprobar que a medida que aumenta, el conjunto se hace más grande. Por ejemplo, la secuencia
La -norma así definida es de hecho una norma, y junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio completamente general se obtiene, como se ve a continuación, considerando vectores, no sólo con un número finito o contablemente infinito de componentes, sino con "un número arbitrario de componentes "; en otras palabras, funciones . Se utiliza una integral en lugar de una suma para definir la norma.
General ℓ p -espacio
En completa analogía con la definición anterior, se puede definir el espacio sobre un conjunto de índices general (y ) como
Porque la norma es incluso inducida por un producto interno canónico llamadoProducto interno euclidiano , lo que significa quese cumple para todos los vectores.Este producto interno se puede expresar en términos de la norma usando laidentidad de polarización. Enél se puede definir por
El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medidas dándole el álgebra σ discreta y la medida de conteo . Entonces el espacio es sólo un caso especial del -espacio más general (definido a continuación).
Espacios L p e integrales de Lebesgue
Un espacio puede definirse como un espacio de funciones medibles para las cuales la -ésima potencia del valor absoluto es integrable de Lebesgue , donde se identifican funciones que concuerdan en casi todas partes. De manera más general, sea un espacio de medida y [nota 3]
Cuando , considere el conjunto de todas las funciones mensurables desde a o cuyo valor absoluto elevado a la -ésima potencia tiene una integral finita, o en símbolos:
Para definir el conjunto, recordemos que dos funciones y definidas se dicen que son iguales en casi todas partes , se escribe ae , si el conjunto es medible y tiene medida cero. De manera similar, una función medible (y su valor absoluto ) está acotada (o dominada ) casi en todas partes por un número real escrito ae , si el conjunto (necesariamente) medible tiene medida cero. El espacio es el conjunto de todas las funciones medibles que están acotadas en casi todas partes (por algún real ) y se define como el mínimo de estos límites:
Por ejemplo, si es una función medible que es igual a casi todas partes [nota 5] entonces para cada y por lo tanto para todos
Para cada positivo, el valor bajo de una función medible y su valor absoluto son siempre los mismos (es decir, para todos ) y, por lo tanto, una función medible pertenece a si y solo si su valor absoluto lo es. Debido a esto, muchas fórmulas que involucran normas - se establecen sólo para funciones de valor real no negativas. Consideremos, por ejemplo, la identidad que se mantiene siempre que es mensurable, es real y (aquí cuando ). El requisito de no negatividad se puede eliminar sustituyendo lo que da. Tenga
en cuenta en particular que cuando es finito, la fórmula relaciona la norma con la norma.
Espacio seminormado de funciones integrables de potencia -ésima
Cada conjunto de funciones forma un espacio vectorial cuando la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente. [nota 6]
Que la suma de dos potencias integrables funciona y es nuevamente integrable de -ésima potencia se deduce de [prueba 1]
aunque también es una consecuencia de la desigualdad de Minkowski
La homogeneidad absoluta , la desigualdad triangular y la no negatividad son las propiedades que definen una seminorma . Por lo tanto, es una seminorma y el conjunto de funciones integrables de -ésima potencia junto con la función define un espacio vectorial seminorma . En general, la seminorma no es una norma porque pueden existir funciones medibles que satisfagan pero no sean idénticamente iguales [nota 5] ( es una norma si y sólo si no existe).
Conjuntos cero de -seminormas
If es medible y es igual a ae entonces para todos los positivos.
Por otro lado, if es una función medible para la cual existe alguna tal que entonces casi en todas partes. Cuando es finito, esto se desprende del caso y de la fórmula mencionados anteriormente.
Por tanto, si es positivo y es una función medible, entonces si y sólo si en casi todas partes . Dado que el lado derecho ( ae ) no menciona, se deduce que todos tienen el mismo conjunto de ceros (no depende de ). Entonces denota este conjunto común por
Espacio vectorial cociente
Como toda seminorma , la seminorma induce una norma (definida brevemente) en el espacio vectorial cociente canónico de por su subespacio vectorial.
Este espacio cociente normado se llama espacio de Lebesgue y es el tema de este artículo. Comenzamos definiendo el espacio vectorial cociente.
Dada cualquiera, la clase lateral consta de todas las funciones medibles que son iguales en casi todas partes . El conjunto de todas las clases laterales, normalmente denotado por
Dos clases laterales son iguales si y sólo si (o equivalentemente, ), lo que ocurre si y sólo si en casi todas partes; si este es el caso entonces y se identifican en el espacio del cociente.
La norma en el espacio vectorial cociente
Dado cualquiera, el valor de la seminorma en la clase lateral es constante e igual para denotar este valor único de modo que:
El espacio vectorial normado se llama espacio o espacio de Lebesgue de funciones integrables de -ésima potencia y es un espacio de Banach para cada (lo que significa que es un espacio métrico completo , resultado que a veces se denomina teorema de Riesz-Fischer ). Cuando se entiende el espacio de compás subyacente, a menudo se abrevia o incluso simplemente.
Dependiendo del autor, la notación de subíndice puede denotar o
Si la seminorma on resulta ser una norma (lo que sucede si y solo si ), entonces el espacio normado será linealmente isométrico isomorfo al espacio cociente normado a través del mapa canónico (desde ); en otras palabras, serán, hasta una isometría lineal , el mismo espacio normado y por eso ambos podrán denominarse " espacio".
En general, este proceso no se puede revertir: no existe una forma consistente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de in. Sin embargo, existe una teoría de elevaciones que permiten dicha recuperación.
Casos especiales
Al igual que los espacios, es el único espacio de Hilbert entre los espacios. En el caso complejo, el producto interno está definido por
La estructura interna adicional del producto permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y la mecánica cuántica . Las funciones en a veces se denominan funciones integrables al cuadrado , funciones cuadráticamente integrables o funciones sumables al cuadrado , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son integrables al cuadrado en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann (Titchmarsh 1976) .
Porque los espacios son un caso especial de espacios, cuando están formados por números naturales y son la medida de conteo. Más generalmente, si se considera cualquier conjunto con la medida de conteo, se denota el espacio resultante . Por ejemplo, el espacio es el espacio de todos secuencias indexadas por números enteros, y al definir la norma en dicho espacio, se suman todos los números enteros. El espacio donde está el conjunto de elementos, es con su norma como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, todo espacio es linealmente isométrico con respecto a un adecuado donde la cardinalidad del conjunto es la cardinalidad de una base hilbertiana arbitraria para este particular.
Propiedades de los espacios L p
Como en el caso discreto, si existe algo que entonces
La desigualdad de Holder
Supongamos que satisface (dónde ). Si y entonces y [6]
Esta desigualdad, llamada desigualdad de Hölder , es en cierto sentido óptima [6] ya que si (so ) y es una función medible tal que
Si entonces todo no negativo tiene una descomposición atómica , [8] significa que existe una secuencia de números reales no negativos y una secuencia de funciones no negativas llamadas átomos , cuyos soportes son conjuntos de medidas disjuntos por pares tales que
[8][8]
Se puede dar explícitamente una descomposición atómica definiendo primero para cada número entero [8]
La función de distribución acumulativa complementaria de que se usó para definir también aparece en la definición de la norma débil (que se proporciona a continuación) y se puede usar para expresar la norma (para ) de como la integral [8]
Espacios duales
El espacio dual (el espacio de Banach de todos los funcionales lineales continuos) de for tiene un isomorfismo natural con donde es tal que (es decir ). Este isomorfismo se asocia con el funcional definido por
El hecho de que esté bien definido y sea continuo se deriva de la desigualdad de Hölder . es un mapeo lineal que es una isometría por el caso extremo de la desigualdad de Hölder. También es posible demostrar (por ejemplo con el teorema de Radón-Nikodym , ver [9] ) que cualquiera puede expresarse de esta manera: es decir, es sobre . Dado que es onto e isométrico, es un isomorfismo de los espacios de Banach . Con este isomorfismo (isométrico) en mente, se suele decir simplemente que es el espacio dual continuo de
Porque el espacio es reflexivo . Sea como arriba y sea la isometría lineal correspondiente. Considere el mapa de a obtenido componiendo con la transpuesta (o adjunta) de la inversa de
Este mapa coincide con la incorporación canónica de en su bidual. Además, el mapa es sobre, como composición de dos sobre isometrías, y esto prueba la reflexividad.
Si la medida de on es sigma-finita , entonces el dual de es isométricamente isomorfo a (más precisamente, el mapa correspondiente a es una isometría de on
El dual de es más sutil. Los elementos de se pueden identificar con medidas finitamente aditivas firmadas y acotadas que son absolutamente continuas con respecto a Consulte el espacio ba para obtener más detalles. Si asumimos el axioma de elección, este espacio es mucho mayor excepto en algunos casos triviales. Sin embargo, Saharon Shelah demostró que existen extensiones relativamente consistentes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Cada subconjunto de números reales tiene la propiedad de Baire ") en las que el dual de es [10]
Incrustaciones
Coloquialmente, if contiene funciones que son más singulares localmente, mientras que los elementos de pueden estar más dispersos. Considere la medida de Lebesgue en la media línea. Una función continua en podría explotar cerca pero debe decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito. Por otro lado, las funciones continuas no necesariamente decaen en absoluto, pero no se permite ninguna explosión. El resultado técnico preciso es el siguiente. [11]
Supongamos que entonces:
si y sólo si no contiene conjuntos de medidas finitas pero arbitrariamente grandes (cualquier medida finita , por ejemplo).
if y only if no contiene conjuntos de medidas distintas de cero pero arbitrariamente pequeñas (la medida de conteo , por ejemplo).
Ninguna de las condiciones se cumple para la línea real con la medida de Lebesgue, mientras que ambas condiciones se cumplen para la medida de conteo en cualquier conjunto finito. En ambos casos, la incrustación es continua, ya que el operador de identidad es un mapa lineal acotado de a en el primer caso y de to en el segundo. (Esto es una consecuencia del teorema del grafo cerrado y las propiedades de los espacios). De hecho, si el dominio tiene medida finita, se puede hacer el siguiente cálculo explícito utilizando la desigualdad de Hölder.
La constante que aparece en la desigualdad anterior es óptima, en el sentido de que la norma operadora de la identidad es precisamente
Subespacios densos
A lo largo de esta sección asumimos que
Sea un espacio de medida. Una función simple integrable es de la forma
Supongamos que es un conjunto abierto con Se puede demostrar que para cada conjunto de Borel contenido en y para cada existe un conjunto cerrado y un conjunto abierto tal que
De ello se deduce que existe una función de Urysohn continua que sigue y sigue con
Si puede ser cubierto por una secuencia creciente de conjuntos abiertos que tienen medida finita, entonces el espacio de funciones continuas integrables es denso en Más precisamente, se pueden usar funciones continuas acotadas que desaparecen fuera de uno de los conjuntos abiertos
Esto se aplica en particular cuando y cuando se aplica la medida Lebesgue. El espacio de funciones continuas y apoyadas compactamente es denso en De manera similar, el espacio de funciones escalonadas integrables es denso en este espacio es el lapso lineal de funciones indicadoras de intervalos acotados cuando de rectángulos acotados cuando y más generalmente de productos de intervalos acotados.
Varias propiedades de funciones generales se prueban primero para funciones continuas y con soporte compacto (a veces para funciones escalonadas), y luego se extienden por densidad a todas las funciones. Por ejemplo, así se demuestra que las traducciones son continuas en el siguiente sentido:
Subespacios cerrados
Si es cualquier número real positivo, es una medida de probabilidad en un espacio mensurable (de modo que ), y es un subespacio vectorial, entonces es un subespacio cerrado de si y sólo si es de dimensión finita [12] ( se eligió independientemente de ). En este teorema, que se debe a Alexander Grothendieck , [12] es crucial que el espacio vectorial sea un subconjunto de ya que es posible construir un subespacio vectorial cerrado de dimensión infinita de (que es incluso un subconjunto de ), donde es Medida de Lebesgue sobre el círculo unitario y es la medida de probabilidad que resulta de dividirlo por su masa [12]
L p (0 < p < 1)
Sea un espacio de medida. Si entonces se puede definir como arriba: es el espacio vectorial cociente de aquellas funciones medibles tales que
Como antes, podemos introducir la norma - pero en este caso no satisface la desigualdad del triángulo y define solo una cuasi-norma . La desigualdad válida para implica que (Rudin 1991, §1.47)
El espacio para es un espacio F : admite una métrica invariante de traslación completa respecto de la cual las operaciones en el espacio vectorial son continuas. Es el ejemplo prototípico de un espacio F que, para la mayoría de los espacios de medidas razonables, no es localmente convexo : en o en cada conjunto convexo abierto que contiene la función es ilimitado para la -cuasi-norma; por tanto, el vector no posee un sistema fundamental de vecindades convexas. Específicamente, esto es cierto si el espacio de medidas contiene una familia infinita de conjuntos mensurables disjuntos de medida positiva finita.
El único conjunto abierto convexo no vacío es todo el espacio (Rudin 1991, §1.47). Como consecuencia particular, no hay funcionales lineales continuos distintos de cero en el espacio dual continuo que es el espacio cero. En el caso de la medida de conteo de los números naturales (que produce el espacio de secuencia ), los funcionales lineales acotados en son exactamente aquellos que están acotados, es decir, aquellos dados por secuencias en Aunque contiene conjuntos abiertos convexos no triviales, no tiene suficientes para dar una base para la topología.
La situación de no tener funcionales lineales es muy indeseable a los efectos de realizar análisis. En el caso de la medida de Lebesgue en lugar de trabajar con for, es común trabajar con el espacio de Hardy H p siempre que sea posible, ya que tiene bastantes funcionales lineales: suficientes para distinguir puntos entre sí. Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach todavía falla en H p for (Duren 1970, §7.5).
L 0 , el espacio de funciones medibles
Se denota el espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones medibles (Kalton, Peck y Roberts 1984). Por definición, contiene todos los y está equipado con la topología de convergencia en medida . Cuando es una medida de probabilidad (es decir, ), este modo de convergencia se denomina convergencia en probabilidad . El espacio es siempre un grupo abeliano topológico pero sólo es un espacio vectorial topológico si . Esto se debe a que la multiplicación escalar es continua si y sólo si . Si es finito, entonces la topología más débil de la convergencia local en medida es un espacio F, es decir, un espacio vectorial topológico completamente metrizable. Además, esta topología es isométrica a la convergencia global en medida para una elección adecuada de medida de probabilidad .
La descripción es más fácil cuando es finita. Si es una medida finita de la función admite para la convergencia en medida el siguiente sistema fundamental de vecindades
La topología se puede definir mediante cualquier métrica de la forma
Lévy
Para la medida infinita de Lebesgue sobre la definición del sistema fundamental de vecindades se podría modificar de la siguiente manera
El espacio resultante , con topología de convergencia local en medida, es isomorfo al espacio para cualquier densidad positiva integrable.
Como espacios -, los espacios ponderados no tienen nada de especial, ya que son iguales a Pero son el marco natural para varios resultados en el análisis armónico (Grafakos 2004); aparecen por ejemplo en el teorema de Muckenhoupt : pues la transformada de Hilbert clásica se define en donde denota el círculo unitario y la medida de Lebesgue; el operador máximo (no lineal) de Hardy-Littlewood está acotado en el teorema de Muckenhoupt describe pesos tales que la transformada de Hilbert permanece acotada y el operador máximo en
L p espacios en colectores
También se pueden definir espacios en una variedad, llamados espacios intrínsecos de la variedad, usando densidades .
Espacios L p con valores vectoriales
Dado un espacio de medida y un espacio localmente convexo (aquí se supone que es completo ), es posible definir espacios de funciones integrables con valores de varias maneras. Una forma es definir los espacios de las funciones integrables de Bochner y Pettis , y luego dotarlos de topologías TVS localmente convexas que son (cada una a su manera) una generalización natural de la topología habitual. Otra forma involucra productos tensoriales topológicos de con Elemento del espacio vectorial son sumas finitas de tensores simples donde cada tensor simple puede identificarse con la función que envía. Este producto tensorial luego está dotado de una topología localmente convexa que lo convierte en un producto tensorial topológico , el más común de los cuales es el producto tensorial proyectivo , denotado por y el producto tensorial inyectivo , denotado por En general, ninguno de estos espacios está completo, por lo que se construyen sus terminaciones , que se denotan respectivamente por y (esto es análogo a cómo el El espacio de funciones simples con valores escalares cuando está seminormado por any no está completo, por lo que se construye una terminación que, después de ser cociente por, es isométricamente isomorfa al espacio de Banach ). Alexander Grothendieck demostró que cuando es un espacio nuclear (un concepto que introdujo), entonces estas dos construcciones son, respectivamente, canónicamente TVS-isomorfas con los espacios de funciones integrales de Bochner y Pettis mencionados anteriormente; en resumen, son indistinguibles.
Media de Hölder : raíz enésima de la media aritmética de los números dados elevados a la potencia nPages displaying short descriptions of redirect targets
Espacio de Hölder : tipo de continuidad de una función de valores complejosPages displaying short descriptions of redirect targets
^ Hastie, TJ, Tibshirani, R. y Wainwright, MJ (2015). Aprendizaje estadístico con dispersión: el lazo y las generalizaciones.
^ Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría del control: sistemas lineales , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), vol. 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN: Editores científicos polacos, págs. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, SEÑOR 0920371, OCLC 13064804[ página necesaria ]
^ Maddox, IJ (1988), Elementos de análisis funcional (2ª ed.), Cambridge: CUP, página 16
^ Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Colimites largos de grupos topológicos I: mapas continuos y homeomorfismos. en: Topología y sus Aplicaciones Nr. 270, 2020. Ejemplo 2.14
^ Garling, DJH (2007). Desigualdades: un viaje hacia el análisis lineal . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 54.ISBN _978-0-521-87624-7.
^ ab Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
^ Bahouri, Chemin y Danchin 2011, pág. 4.
^ abcdef Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
^ Rudin, Walter (1980), Análisis real y complejo (2ª ed.), Nueva Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN9780070542341, Teorema 6.16
^ Schechter, Eric (1997), Manual de análisis y sus fundamentos , Londres: Academic Press Inc.Consulte las Secciones 14.77 y 27.44–47.
^ Villani, Alfonso (1985), "Otra nota sobre la inclusión L p ( μ ) ⊂ L q ( μ ) ", Amer. Matemáticas. Mensual , 92 (7): 485–487, doi :10.2307/2322503, JSTOR 2322503, MR 0801221
^ abc Rudin 1991, págs.
^ abc Rudin 1991, pag. 37.
^ La condición no equivale a ser finita, a menos que
^ Si entonces
^ Las definiciones de y se pueden extender a todos (en lugar de solo ), pero solo cuando se garantiza que es una norma (aunque es una cuasi-seminorma para todos ).
^ Si entonces
^ ab Por ejemplo, si existe un conjunto de medidas medibles no vacíos, entonces su función indicadora satisface aunque
^ Explícitamente, las operaciones en el espacio vectorial se definen por:
para todos y todos los escalares Estas operaciones se convierten en un espacio vectorial porque si es cualquier escalar y entonces ambos y también pertenecen a
^ Cuando la desigualdad se puede deducir del hecho de que la función definida por es convexa , lo que por definición significa que para todos y todos en el dominio de Sustituir y en for y da , lo que demuestra que la desigualdad triangular ahora implica La desigualdad deseada sigue por integrando ambas partes.
Referencias
Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Espacios Sobolev (Segunda ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128.
Bourbaki, Nicolas (1987), Espacios vectoriales topológicos , Elementos de las matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen I , Wiley-Interscience.
Duren, P. (1970), Teoría de los espacios H p , Nueva York: Academic Press
Grafakos, Loukas (2004), Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., págs. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
Kalton, Nigel J .; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Una muestra del espacio F , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, señor 0808777
Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi :10.1007/BF01457637, S2CID 120242933