Espacio vectorial topológico localmente convexo

Un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos.

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normados . Pueden definirse como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera mediante traslaciones de conjuntos convexos , absorbentes y equilibrados . Alternativamente, se pueden definir como un espacio vectorial con una familia de seminormas , y se puede definir una topología en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte como para que se cumpla el teorema de Hahn-Banach , lo que produce una teoría suficientemente rica de funcionales lineales continuos .

Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que son completamente metrizables (con opción de métrica completa). Son generalizaciones de los espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos respecto de una métrica generada por una norma .

Historia

Las topologías metrizables en espacios vectoriales se han estudiado desde su introducción en la tesis doctoral de Maurice Fréchet de 1902 , Sur quelques point du calcul fonctionnel (donde se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de un espacio topológico general en 1914, ^[1] aunque algunos matemáticos utilizaron implícitamente topologías localmente convexas, hasta 1934 sólo John von Neumann parece haber definido explícitamente la topología débil en espacios de Hilbert y Fuerte topología de operadores en operadores en espacios de Hilbert. ^{[2] [3]} Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (llamado espacio convexo por él). ^{[4] [5]}

Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar hasta que el desarrollo y la difusión de los espacios generales localmente convexos (entre otras nociones y resultados, como las redes , la topología del producto y el teorema de Tychonoff ) se demostraran en toda su generalidad, es el de Banach-Alaoglu. teorema que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables ^[6] (en cuyo caso la bola unitaria del dual es metrizable ).

Definición

Supongamos que es un espacio vectorial sobre un subcampo de números complejos (normalmente él mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, de manera equivalente, en términos de seminormas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición mediante conjuntos convexos

Un espacio vectorial topológico (TVS) se llamalocalmente convexo si tiene unabase vecinal(es decir, una base local) en el origen que consta deconjuntos convexos.^[7]El términoEl espacio vectorial topológico localmente convexo a veces se acorta aespacio localmente convexo oLCTVS .

Un subconjunto se llama ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. Convexo si es para todos y En otras palabras, contiene todos los segmentos de línea entre puntos en ${\displaystyle x,y\in C,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
2. Rodeado si para todos y escalares si entonces Si esto significa que es igual a su reflejo a través del origen. Porque significa que cualquiera contiene el círculo centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|=1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$
3. Equilibrado si para todos y escalares si entonces Si esto significa que si entonces contiene el segmento de línea entre y Para significa que para cualquiera contiene el disco con en su límite, centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por Equivalentemente, a El conjunto equilibrado es un cono rodeado por un círculo. ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. Un cono (cuando el campo subyacente está ordenado ) si es para todos y ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. Absorbente o absorbente si para cada existe tal que para todos sea satisfactorio. El conjunto se puede escalar mediante cualquier valor "grande" para absorber cada punto del espacio. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in tC}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |t|>r.}$ ${\displaystyle C}$
   • En cualquier TVS, cada barrio del origen es absorbente. ^[7]
6. Absolutamente convexo o undisco si es a la vez equilibrado y convexo. Esto equivale a estar cerrado bajo combinaciones lineales cuyos coeficientes suman absolutamente; un conjunto de este tipo es absorbente si abarca todos ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X.}$

De hecho, cada TVS localmente convexo tiene una base de vecindad del origen que consiste enconjuntos absolutamente convexos (es decir, discos), donde esta base de vecindad se puede elegir para que también consista completamente en conjuntos abiertos o completamente en conjuntos cerrados.^[8] Cada TVS tiene una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos equilibrados, pero sólo un TVS localmente convexo tiene una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos que son tanto equilibradoscomoconvexos. Es posible que un TVS tengaalgunasvecindades del origen que sean convexas y, sin embargo, no sean localmente convexas porque no tiene una base de vecindad en el origen que consista enteramente en conjuntos convexos (es decir, cada base de vecindad en el origen contiene algunas vecindades no conjunto convexo); por ejemplo, cada TVS no localmente convexotiene (es decir,) una vecindad convexa del origen. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Debido a que la traducción es continua (por definición de espacio vectorial topológico ), todas las traducciones son homeomorfismos , por lo que cada base para las vecindades del origen puede traducirse a una base para las vecindades de cualquier vector dado.

Definición mediante seminormas

Una seminorma es un mapa tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$es semidefinido positivo o no negativo: ; ${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$es positivo homogéneo o positivo escalable: para cada escalar Entonces, en particular, ; ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$es subaditivo. Satisface la desigualdad del triángulo: ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Si satisface la certeza positiva, que establece que si entonces entonces es una norma . Si bien en general las seminormas no tienen por qué ser normas, existe un análogo de este criterio para familias de seminormas, la separación, que se define a continuación. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle p}$

Si es un espacio vectorial y es una familia de seminormas entonces un subconjunto de se llama base de seminormas porque si para todos existe a y un real tal que ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$

Definición (segunda versión): Un espacio localmente convexo se define como un espacio vectorial junto con una familia de seminormas en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Topología seminorma

Supongamos que es un espacio vectorial sobre donde están los números reales o complejos. Una familia de seminormas en el espacio vectorial induce una topología de espacio vectorial canónico en , llamada topología inicial inducida por las seminormas. Por definición, es la topología más burda en la que todos los mapas son continuos. Sin embargo , no tendrá la estructura de un espacio vectorial topológico (TVS). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Las operaciones en el espacio vectorial no logran ser continuas en esta topología, ya que todos los conjuntos en la topología semi-norma serán simétricos, mientras que la topología lcs permite más conjuntos.

Es posible que una topología localmente convexa en un espacio sea inducida por una familia de normas pero que no sea normable ( es decir, que su topología sea inducida por una sola norma). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Base y subbase

Denotemos la bola abierta de radio en . La familia de conjuntos que se extiende sobre una familia de seminormas y se extiende sobre los números reales positivos es una subbase en el origen de la topología inducida por . Estos conjuntos son convexos, como se desprende de las propiedades 2 y 3 de las seminormas. Las intersecciones de un número finito de tales conjuntos también son convexas, y dado que la colección de todas esas intersecciones finitas es una base en el origen , se deduce que la topología es localmente convexa en el sentido de la primera definición dada anteriormente. ${\displaystyle B_{<r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Recuerde que la topología de un TVS es invariante de traducción, lo que significa que si es cualquier subconjunto de que contiene el origen, entonces para cualquiera es una vecindad del origen si y solo si es una vecindad de ; por tanto, basta con definir la topología en el origen. Una base de vecindades de para esta topología se obtiene de la siguiente manera: para cada subconjunto finito de y cada let ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

Bases de seminormas y familias saturadas.

Si es un espacio localmente convexo y si es una colección de seminormas continuas en , entonces se llama base de seminormas continuas si es una base de seminormas para la colección de todas las seminormas continuas en . ^[9] Explícitamente, esto significa que para todas las seminormas continuas en , existe a y un real tal que ^[9] Si es una base de seminormas continuas para un TVS localmente convexo, entonces la familia de todos los conjuntos de la forma as varía a lo largo de y varía sobre los números reales positivos, es una base de vecindades del origen en (no solo una subbase, por lo que no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de dichos conjuntos). ^{[9] [prueba 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Una familia de seminormas en un espacio vectorial se llama saturada si para cualquiera y en la seminorma definida por pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

Si es una familia saturada de seminormas continuas que induce la topología, entonces la colección de todos los conjuntos de la forma como abarca y abarca todos los números reales positivos, forma una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos abiertos convexos; ^[9] Esto forma una base en el origen en lugar de simplemente una subbase, de modo que, en particular, no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de dichos conjuntos. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

Base de normas

El siguiente teorema implica que si es un espacio localmente convexo entonces la topología de puede estar definida por una familia de normas continuas en (una norma es una seminorma donde implica ) si y solo si existe al menos una norma continua en . ^[10] Esto se debe a que la suma de una norma y una seminorma es una norma, por lo que si un espacio localmente convexo está definido por alguna familia de seminormas (cada una de las cuales es necesariamente continua), entonces la familia de normas (también continuas) obtenida al sumar alguna norma continua dada a cada elemento, necesariamente será una familia de normas que defina esta misma topología localmente convexa. Si existe una norma continua en un espacio vectorial topológico, entonces es necesariamente Hausdorff, pero lo contrario no es cierto en general (ni siquiera para espacios localmente convexos o espacios de Fréchet ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[11]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre el campo. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite norma continua (es decir, cualquier seminorma continua no puede ser norma). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Redes

Supongamos que la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una familia de seminormas continuas en . Si y si es una red en , entonces en si y solo si para todos ^[12] Además, si Cauchy es en , entonces también lo es para cada ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

Equivalencia de definiciones

Aunque la definición en términos de una base de vecindad da una mejor imagen geométrica, en la práctica es más fácil trabajar con la definición en términos de seminormas. La equivalencia de las dos definiciones se deriva de una construcción conocida como funcional de Minkowski o calibre de Minkowski. La característica clave de las seminormas que asegura la convexidad de sus bolas es la desigualdad del triángulo . ${\displaystyle \varepsilon }$

Para un conjunto absorbente tal que si entonces siempre define el funcional de Minkowski como ser ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle tx\in C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

De esta definición se deduce que es una seminorma si es equilibrada y convexa (también es absorbente por supuesto). Por el contrario, dada una familia de seminormas, los conjuntos ${\displaystyle \mu _{C}}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

Formas de definir una topología localmente convexa

Teorema ^[7]  :  supongamos que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una base de filtro de subconjuntos tales que: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Cada uno es convexo , equilibrado y absorbente ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. Para cada uno existe algo realmente satisfactorio tal que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r\leq 1/2}$ ${\displaystyle rB\in {\mathcal {B}}.}$

Entonces hay una base de vecindad en 0 para una topología TVS localmente convexa en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema ^[7]  -  Supongamos que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una colección no vacía de subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de Entonces, el conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de intersecciones finitas de conjuntos en formas una base de vecindad en el origen para una topología TVS localmente convexa en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplo: espacios normados auxiliares

Si es convexo y absorbente , entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como conjunto absolutamente convexo o disco ) además de absorbente. Esto garantiza que la funcional de Minkowski será una seminorma y, por lo tanto, se convertirá en una seminorma. espacio que lleva su topología pseudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen de esta topología localmente convexa. Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo también es un subconjunto acotado de entonces el disco absorbente también estará acotado, en cuyo caso será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar . Si este espacio normado es un espacio de Banach entonces se llama disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Otras definiciones

• Una familia de seminormas se llama total o separada o se dice que separa puntos si siempre que se cumple para cada entonces es necesariamente. Un espacio localmente convexo es Hausdorff si y sólo si tiene una familia de seminormas separada. Muchos autores toman el criterio de Hausdorff en la definición. ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$
• Una pseudométrica es una generalización de una métrica que no satisface la condición de que sólo cuando un espacio localmente convexo sea pseudometrizable, lo que significa que su topología surge de una pseudométrica, si y sólo si tiene una familia contable de seminormas. De hecho, una pseudométrica que induce la misma topología viene dada por ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$
  $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$
  (donde puede ser reemplazado por cualquier secuencia sumable positiva ). Esta pseudométrica tiene un significado invariante en la traducción, pero no homogéneo y, por lo tanto, no define una (pseudo)norma. La pseudométrica es una métrica honesta si y sólo si la familia de seminormas está separada, ya que este es el caso si y sólo si el espacio es Hausdorff. Si además el espacio es completo, se llama espacio de Fréchet . ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Como ocurre con cualquier espacio vectorial topológico, un espacio localmente convexo también es un espacio uniforme . Así, se puede hablar de continuidad uniforme , convergencia uniforme y secuencias de Cauchy .
• Una red de Cauchy en un espacio localmente convexo es una red tal que para todas y cada una de las seminormas existe algún índice tal que para todos los índices. En otras palabras, la red debe ser Cauchy en todas las seminormas simultáneamente. La definición de completitud se da aquí en términos de redes en lugar de las secuencias más familiares porque, a diferencia de los espacios de Fréchet que son metrizables, los espacios generales pueden definirse mediante una familia incontable de pseudometría . Las secuencias, que son contables por definición, no pueden ser suficientes para caracterizar la convergencia en tales espacios. Un espacio localmente convexo es completo si y sólo si toda red de Cauchy converge. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{\alpha },}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• Una familia de seminormas se convierte en un conjunto preordenado bajo la relación si y sólo si existe tal que para todos Se dice que es una familia dirigida de seminormas si la familia es un conjunto dirigido con la suma como unión , en otras palabras, si para cada y existe tal que cada familia de seminormas tiene una familia dirigida equivalente, es decir, una que define la misma topología. De hecho, dada una familia, sea el conjunto de subconjuntos finitos de y luego para cada definición ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F\in \Phi }$
  $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$
  Se puede comprobar que se trata de una familia dirigida equivalente. ${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• Si la topología del espacio se induce a partir de una única seminorma, entonces el espacio es seminormable . Cualquier espacio localmente convexo con una familia finita de seminormas es seminormable. Además, si el espacio es Hausdorff (la familia está separada), entonces el espacio es normal, con norma dada por la suma de las seminormas. En términos de conjuntos abiertos, un espacio vectorial topológico localmente convexo es seminormable si y sólo si el origen tiene una vecindad acotada .

Condiciones suficientes

Propiedad de ampliación de Hahn-Banach

Sea un televisor. Digamos que un subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo de puede extenderse a un funcional lineal continuo de . ^[13] Digamos que tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para TVS completamente metrizables existe un proceso inverso:

Teorema ^[13]  (Kalton)  :  todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.

Si un espacio vectorial tiene dimensiones incontables y si lo dotamos de la topología vectorial más fina, entonces este es un TVS con HBEP que no es localmente convexo ni metrizable. ^[13] ${\displaystyle X}$

Propiedades

En todo momento, hay una familia de seminormas continuas que generan la topología de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Cierre topológico

Si y entonces si y sólo si para todos y cada uno de los conjuntos finitos existe algo tal que ^[14] El cierre de in es igual a ^[15] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

Topología de espacios localmente convexos de Hausdorff

Todo espacio localmente convexo de Hausdorff es homeomorfo a un subespacio vectorial de un producto de espacios de Banach . ^[16] El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no tiene por qué ser un mapa lineal ). ^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades de subconjuntos convexos

Propiedades algebraicas de subconjuntos convexos.

Un subconjunto es convexo si y solo si para todo ^[18] o de manera equivalente, si y solo si para todo real positivo ^[19] donde como siempre se cumple, el signo igual se puede reemplazar con Si es un conjunto convexo que contiene el origen entonces es en forma de estrella en el origen y para todos los reales no negativos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos es convexa; además, el múltiplo escalar de un conjunto convexo vuelve a ser convexo. ^[20]

Propiedades topológicas de subconjuntos convexos.

• Supongamos que es un TVS (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos de son exactamente aquellos que tienen la forma para algunos y algunos funcionales sublineales continuos positivos en ^[21] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y.}$
• El interior y el cierre de un subconjunto convexo de un TVS son nuevamente convexos. ^[20]
• Si es un conjunto convexo con interior no vacío, entonces el cierre de es igual al cierre del interior de ; además, el interior de es igual al interior del cierre de ^{[20] [22]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
  • Entonces, si el interior de un conjunto convexo no está vacío, entonces es un conjunto cerrado (respectivamente, abierto) si y solo si es un conjunto regular cerrado (respectivamente, regular abierto). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Si es convexo y entonces ^[23] Explícitamente, esto significa que si es un subconjunto convexo de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), pertenece al cierre de y pertenece al interior de entonces el segmento de línea abierta que une y pertenece a el interior de eso es, ^{[22] [24] [prueba 2]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• Si es un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo (no necesariamente de Hausdorff) es una vecindad convexa del origen en y si es un vector que no está en entonces existe una vecindad convexa del origen en tal que y ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=U\cap M}$ ${\displaystyle z\not \in U.}$
• El cierre de un subconjunto convexo de un espacio de Hausdorff localmente convexo es el mismo para todas las topologías TVS de Hausdorff localmente convexas que son compatibles con la dualidad entre y su espacio dual continuo. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En un espacio localmente convexo, la carcasa convexa y la carcasa en forma de disco de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotadas. ^[7]
• En un espacio localmente convexo completo , la carcasa convexa y la carcasa en forma de disco de un conjunto compacto son ambas compactas. ^[7]
  • De manera más general, si es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces la carcasa convexa (respectivamente, la carcasa en disco ) es compacta si y sólo si está completa. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• En un espacio localmente convexo, los cascos convexos de conjuntos acotados están acotados. Esto no es cierto para los TVS en general. ^[26]
• En un espacio de Fréchet , la cáscara convexa cerrada de un conjunto compacto es compacta. ^[27]
• En un espacio localmente convexo, cualquier combinación lineal de conjuntos totalmente acotados está totalmente acotada. ^[26]

Propiedades de los cascos convexos.

Para cualquier subconjunto de un TVS, el casco convexo (respectivamente, casco convexo cerrado , casco balanceado , casco convexo balanceado ) de denotado por (respectivamente, ), es el subconjunto convexo más pequeño (respectivamente, convexo cerrado, balanceado, balanceado convexo) que contiene ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

• La carcasa convexa de un subconjunto compacto de un espacio de Hilbert no es necesariamente cerrada y, por tanto, tampoco necesariamente compacta. Por ejemplo, sea el espacio de Hilbert separable de secuencias sumables al cuadrado con la norma habitual y sea la base ortonormal estándar (es decir, en la coordenada -). El conjunto cerrado es compacto pero su casco convexo no es un conjunto cerrado porque pertenece al cierre de en pero (dado que cada secuencia es una combinación finita convexa de elementos de y por lo tanto está necesariamente en todas menos en un número finito de coordenadas, lo cual no es cierto para ). ^[28] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos completos de Hausdorff, el casco convexo cerrado de este subconjunto compacto es compacto. El subespacio vectorial es un espacio anterior a Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él pero no está completo y (desde ). El casco convexo cerrado de in (aquí, "cerrado" significa con respecto a y no a como antes) es igual a cual no es compacto (porque no es un subconjunto completo). Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no está completo, el casco convexo cerrado del subconjunto compacto podría no ser compacto (aunque será precompacto/totalmente acotado ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
• En un espacio localmente convexo de Hausdorff, la cubierta convexa cerrada de un subconjunto compacto no es necesariamente compacta, aunque es un subconjunto precompacto (también llamado "totalmente acotado"), lo que significa que su cierre, cuando se toma en una terminación de , será compacto (en este caso eso si y sólo si está completo); es decir, será compacto. Entonces, por ejemplo, el casco convexo cerrado de un subconjunto compacto de de un espacio anterior a Hilbert es siempre un subconjunto precompacto de y por lo tanto el cierre de en cualquier espacio de Hilbert que contenga (como la terminación de Hausdorff de , por ejemplo) será compacto (esto es el caso del ejemplo anterior). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$ ${\displaystyle X={\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En un TVS localmente convexo casi completo , el cierre del casco convexo de un subconjunto compacto es nuevamente compacto.
• En un TVS localmente convexo de Hausdorff, el casco convexo de un conjunto precompacto vuelve a ser precompacto. ^[29] En consecuencia, en un espacio localmente convexo de Hausdorff completo , el casco convexo cerrado de un subconjunto compacto es nuevamente compacto. ^[30]
• En cualquier TVS, la carcasa convexa de una unión finita de conjuntos convexos compactos es compacta (y convexa). ^[7]
  • Esto implica que en cualquier TVS de Hausdorff, la cáscara convexa de una unión finita de conjuntos compactos convexos es cerrada (además de ser compacta ^[31] y convexa); en particular, la cubierta convexa de dicha unión es igual a la cubierta convexa cerrada de esa unión.
  • En general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto no es necesariamente compacto. Sin embargo, cada subconjunto compacto de (donde ) tiene un casco convexo compacto. ^[31] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$
  • En cualquier TVS que no sea de Hausdorff, existen subconjuntos que son compactos (y por tanto completos) pero no cerrados.
• El teorema bipolar establece que el bipolar (es decir, el polar de lo polar) de un subconjunto de un TVS de Hausdorff localmente convexo es igual al casco equilibrado convexo cerrado de ese conjunto. ^[32]
• El casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo.
• Si y son subconjuntos convexos de un espacio vectorial topológico y si entonces existe y un número real que satisface tal que ^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• Si un subespacio vectorial de un TVS es un subconjunto convexo de y un subconjunto convexo de tal que entonces ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ ${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• Recuerde que el subconjunto equilibrado más pequeño de un conjunto que contiene se llama casco equilibrado de y se denota por. Para cualquier subconjunto del casco equilibrado convexo de denotado por es el subconjunto más pequeño de contenedor que es convexo y equilibrado. ^[33] El casco convexo equilibrado de es igual al casco convexo del casco equilibrado de (es decir ), pero el casco convexo equilibrado de no es necesariamente igual al casco equilibrado del casco convexo de (es decir, no es necesariamente igual a ). ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• Si son subconjuntos de un TVS y si es un escalar entonces ^[34] y además, si es compacto entonces ^[35] Sin embargo, no es necesario que el casco convexo de un conjunto cerrado sea cerrado; ^[34] por ejemplo, el conjunto está cerrado pero su casco convexo es el conjunto abierto ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$ ${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• Si hay subconjuntos de un TVS cuyos cascos convexos cerrados son compactos, entonces ^[35] ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• Si es un conjunto convexo en un espacio vectorial complejo y existe algo tal que entonces para todo real tal que En particular, para todos los escalares tales que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ ${\displaystyle rz+siz\in S}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$ ${\displaystyle az\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• Teorema de Carathéodory : Si es cualquier subconjunto de (donde ), entonces para cada existe un subconjunto finito que contiene en la mayoría de los puntos cuyo casco convexo contiene (es decir, y ). ^[36] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |F|\leq n+1}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$

Ejemplos y no ejemplos

Topología localmente convexa más fina y más basta

Topología vectorial más gruesa

Cualquier espacio vectorial dotado de la topología trivial (también llamada topología indiscreta ) es un TVS localmente convexo (y, por supuesto, es la topología más burda). Esta topología es Hausdorff si y sólo La topología indiscreta convierte cualquier espacio vectorial en un TVS localmente convexo pseudometrizable completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Por el contrario, la topología discreta forma una topología vectorial si y solo. Esto se desprende del hecho de que todo espacio vectorial topológico es un espacio conexo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

La mejor topología localmente convexa

Si es un espacio vectorial real o complejo y si es el conjunto de todas las seminormas on, entonces la topología TVS localmente convexa, denotada por que induce on, se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$topología localmente convexa más fina en^[37] Esta topología también puede describirse como topología TVS altener como base de vecindad en el origen el conjunto de todoslos discosabsorbentesen^[37] Cualquier topología TVS localmente convexa enes necesariamente un subconjunto deesHausdorff.^[15] Cada mapa lineal desdeotro TVS localmente convexo es necesariamente continuo.^[15]En particular, cada funcional lineal ones continua y cada subespacio vectorial deestá cerrado;^[15] por lo tanto, sies de dimensión infinita entoncesno es pseudometrizable (y por lo tanto no metrizable).^[37] Además,es laúnicatopología localmente convexa de Hausdorffcon la propiedad de que cualquier aplicación lineal desde ella a cualquier espacio localmente convexo de Hausdorff es continua.^[38]El espacioes unespacio bornológico.^[39] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$

Ejemplos de espacios localmente convexos

Todo espacio normado es un espacio localmente convexo de Hausdorff, y gran parte de la teoría de los espacios localmente convexos generaliza partes de la teoría de los espacios normados. La familia de seminormas puede considerarse la norma única. Cada espacio de Banach es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, en particular, los espacios con son localmente convexos. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

De manera más general, todo espacio de Fréchet es localmente convexo. Un espacio de Fréchet se puede definir como un espacio localmente convexo completo con una familia contable separada de seminormas.

El espacio de secuencias valoradas reales con la familia de seminormas dada por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$

$${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$

topología límite ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle 0.}$

Dado cualquier espacio vectorial y una colección de funcionales lineales en él, se puede convertir en un espacio vectorial topológico localmente convexo dándole la topología más débil haciendo que todos los funcionales lineales sean continuos. Esto se conoce como topología débil o topología inicial determinada por La colección puede ser el dual algebraico de o cualquier otra colección. La familia de seminormas en este caso está dada por para todos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

Los espacios de funciones diferenciables dan otros ejemplos no normables. Considere el espacio de funciones suaves tales que donde y son multiíndices . La familia de seminormas definida por está separada y contable, y el espacio está completo, por lo que este espacio metrizable es un espacio de Fréchet. Se le conoce como espacio de Schwartz , o espacio de funciones de rápida disminución, y su espacio dual es el espacio de distribuciones templadas . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Un espacio funcional importante en el análisis funcional es el espacio de funciones suaves con soporte compacto en Se necesita una construcción más detallada para la topología de este espacio porque el espacio no está completo en la norma uniforme. La topología de se define de la siguiente manera: para cualquier conjunto compacto fijo, el espacio de funciones con es un espacio de Fréchet con una familia contable de seminormas (éstas son en realidad normas, y la finalización del espacio con la norma es un espacio de Banach ). Dada cualquier colección de conjuntos compactos, dirigidos por inclusión y tales que su unión forma un sistema directo , y se define como el límite de este sistema. Tal límite de espacios de Fréchet se conoce como espacio LF . Más concretamente, es la unión de todos los mapas de inclusión con la topología localmente convexa más fuerte lo que hace que cada mapa de inclusión sea continuo. Este espacio es localmente convexo y completo. Sin embargo, no es metrizable y, por tanto, no es un espacio de Fréchet. El espacio dual de es el espacio de distribuciones en ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$ ${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle D^{m}(K)}$ ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

De manera más abstracta, dado un espacio topológico, al espacio de funciones continuas (no necesariamente acotadas) se le puede dar la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Esta topología está definida por seminormas (que varían en el conjunto dirigido de todos los subconjuntos compactos de ). Cuando es localmente compacto (por ejemplo, un conjunto abierto en ), se aplica el teorema de Stone-Weierstrass ; en el caso de funciones con valores reales, cualquier subálgebra de que separe puntos y contenga las funciones constantes (por ejemplo, la subálgebra de polinomios) es denso . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(X)}$

Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local.

Muchos espacios vectoriales topológicos son localmente convexos. Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local incluyen los siguientes:

• Los espacios ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ para están equipados con la norma F. ${\displaystyle 0<p<1}$
  $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$
  No son localmente convexos, ya que la única vecindad convexa de cero es todo el espacio. De manera más general, los espacios con una medida finita y sin átomos y no son localmente convexos. ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• El espacio de funciones medibles en el intervalo unitario (donde identificamos dos funciones que son iguales casi en todas partes ) tiene una topología de espacio vectorial definida por la métrica invariante de traducción (que induce la convergencia en medida de funciones medibles; para variables aleatorias , convergencia en medida es la convergencia en probabilidad ): ${\displaystyle [0,1]}$
  $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$
  Este espacio a menudo se denota ${\displaystyle L_{0}.}$

Ambos ejemplos tienen la propiedad de que cualquier aplicación lineal continua de los números reales es En particular, su espacio dual es trivial, es decir, contiene sólo el funcional cero. ${\displaystyle 0.}$

• El espacio de secuencia no es localmente convexo. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$

Mapeos continuos

Teorema ^[40]  :  Sea un operador lineal entre TVS donde es localmente convexo (tenga en cuenta que no es necesario que sea localmente convexo). Entonces es continua si y sólo si para cada seminorma continua en , existe una seminorma continua en tal que ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ T\leq p.}$

Debido a que los espacios localmente convexos son espacios topológicos así como espacios vectoriales, las funciones naturales a considerar entre dos espacios localmente convexos son aplicaciones lineales continuas . Usando las seminormas, se puede dar un criterio necesario y suficiente para la continuidad de un mapa lineal que se asemeja mucho a la condición de acotación más familiar encontrada para los espacios de Banach.

Dados espacios localmente convexos y con familias de seminormas y respectivamente, un mapa lineal es continuo si y sólo si para cada existe y tal que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle v\in X,}$

$${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$$

En otras palabras, cada seminorma del rango de está acotada arriba por alguna suma finita de seminormas en el dominio . Si la familia es una familia dirigida, y siempre se puede elegir que sea dirigida como se explicó anteriormente, entonces la fórmula se vuelve aún más simple y familiar: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$

$${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$$

La clase de todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos forma una categoría con mapas lineales continuos como morfismos .

Funcionales lineales

Teorema ^[40]  -  Si es un TVS (no necesariamente localmente convexo) y si es un funcional lineal en , entonces es continuo si y solo si existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Si es un espacio vectorial real o complejo, es un funcional lineal en y es una seminorma en , entonces si y solo si ^[41] If es un funcional lineal no-0 en un espacio vectorial real y si es una seminorma en , entonces si y sólo si ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Mapas multilineales

Sea un número entero, sea TVS (no necesariamente localmente convexo), sea un TVS localmente convexo cuya topología está determinada por una familia de seminormas continuas, y sea un operador multilineal que es lineal en cada una de sus coordenadas. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle M}$es continuo.
2. Para cada uno existen seminormas continuas respectivamente , de modo que para todos ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Para cada existe alguna vecindad del origen en la que está delimitada. ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle q\circ M}$

Ver también

• Espacio métrico convexo  : espacio métrico con la propiedad de que cualquier segmento que une dos puntos en ese espacio tiene otros puntos además de los puntos finales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Krein-Milman  : cuando un espacio es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos
• Forma lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares
• Red vectorial localmente convexa
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Funcional sublineal  - Tipo de función en álgebra linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua.
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía
• Espacio vectorial  : estructura algebraica en álgebra lineal

Notas

1. Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
2. von Neumann, J. Obras completas . Volumen II. págs. 94-104
3. Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 1.
4. von Neumann, J. Obras completas . Volumen II. págs. 508–527
5. Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 2.
6. Banach, S. Teoría de operaciones lineales p. 75. Cap. VIII. Segundo. 3. Teorema 4., traducido de Theorie des Operations Lineaires (1932)
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.
8. Narici y Beckenstein 2011, pag. 83.
9. Narici y Beckenstein 2011, pag. 122.
10. Jarchow 1981, pág. 130.
11. Jarchow 1981, págs. 129-130.
12. Narici y Beckenstein 2011, pag. 126.
13. Narici y Beckenstein 2011, págs.
14. Narici y Beckenstein 2011, pag. 149.
15. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115-154.
17. Bessaga y Pełczyński 1975, pag. 189
18. Rudin 1991, pag. 6.
19. Rudin 1991, pag. 38.
20. Trèves 2006, p. 126.
21. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177-220.
22. Schaefer y Wolff 1999, pág. 38.
23. Jarchow 1981, págs. 101-104.
24. Conway 1990, pag. 102.
25. Tréves 2006, pag. 370.
26. Narici y Beckenstein 2011, págs.
27. Rudin 1991, pag. 7.
28. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
29. Tréves 2006, pag. 67.
30. Tréves 2006, pag. 145.
31. Rudin 1991, págs.
32. Tréves 2006, pag. 362.
33. Trèves 2006, pag. 68.
34. Narici y Beckenstein 2011, pag. 108.
35. Dunford 1988, pág. 415.
36. Rudin 1991, págs. 73–74.
37. Narici y Beckenstein 2011, págs.
38. Narici y Beckenstein 2011, pag. 476.
39. Narici y Beckenstein 2011, pag. 446.
40. Narici y Beckenstein 2011, págs.
41. Narici y Beckenstein 2011, págs. 126-128.

1. Sea la bola unitaria abierta asociada con la seminorma y tenga en cuenta que si es real entonces y entonces, por lo tanto, una vecindad abierta básica del origen inducida por es una intersección finita de la forma donde y son todos reales positivos. Sea cual es una seminorma continua y además, Pick y tal que donde esta desigualdad se cumpla si y solo si Así como se desea. ${\displaystyle V_{p}=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rV_{p}=\{rx\in X:p(x)<1\}=\{z\in X:p(z)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}=V_{(1/r)p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{p}=V_{rp}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle p:=\max \left\{r_{1}p_{1},\ldots ,r_{n}p_{n}\right\},}$ ${\displaystyle V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\leq rq,}$ ${\displaystyle V_{rq}\subseteq V_{p}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{q}=V_{rq}\subseteq V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}},}$
2. Arreglar para que quede por demostrar que pertenece a Al reemplazar con si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que y por lo tanto queda por demostrar que es una vecindad del origen. Sea que Dado que la multiplicación escalar por es un homeomorfismo lineal Dado y se sigue que donde porque es abierto, existe algo que satisface Definir por cuál es un homeomorfismo porque El conjunto es por tanto un subconjunto abierto de que además contiene Si entonces desde es convexo, y que prueba que Así es un subconjunto abierto de que contiene el origen y está contenido en QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (tercera ed.). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias sobre Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Bessaga, C.; Pełczyński, A. (1975), Temas seleccionados en topología de dimensión infinita, Monografie Matematyczne, Warszawa: Panstwowe wyd. naukowé.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Conway, Juan (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Dunford, Nelson (1988). Operadores lineales (en rumano). Nueva York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Swartz, Charles (1992). Una introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.