Funcional de Minkowski

Función hecha a partir de un conjunto

En matemáticas , en el campo del análisis funcional , una funcional de Minkowski (en honor a Hermann Minkowski ) o función de calibre es una función que recupera una noción de distancia en un espacio lineal.

Si es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo , entonces el funcional de Minkowski o calibre de se define como la función valorada en los números reales extendidos , definido por donde el ínfimo del conjunto vacío se define como infinito positivo (que no es un número real, por lo que entonces no tendría valor real). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ $${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}\quad {\text{ for every }}x\in X,}$$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)}$

A menudo se supone/se elige que el conjunto tiene propiedades, como ser un disco absorbente en esa garantía de que será una seminorma de valor real en De hecho, cada seminorma en es igual a la función de Minkowski (es decir, ) de cualquier subconjunto de que satisface (donde estos tres conjuntos son necesariamente absorbentes en y el primero y el último también son discos). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle X}$

Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de manera no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma). Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y se utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten "traducir" ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de en ciertas propiedades algebraicas de una función en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir, ). Esta propiedad de no ser negativa contrasta con otras clases de funciones, como las funciones sublineales y las funcionales lineales reales , que sí admiten valores negativos. Sin embargo, podría no tener un valor real, ya que para cualquier valor dado es un número real si y solo si no está vacío . En consecuencia, se suele suponer que tiene propiedades (como ser absorbente en , por ejemplo) que garantizarán que tenga un valor real. ${\displaystyle p_{K}\geq 0}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)}$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$

Definición

Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Defina el calibre de o la función de Minkowski asociada con o inducida por como la función valorada en los números reales extendidos , definida por donde recuerde que el ínfimo del conjunto vacío es (es decir, ). Aquí, es una abreviatura de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ $${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle \{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}.}$

Para cualquier si y solo si no está vacío. Las operaciones aritméticas en se pueden extender para operar en donde para todos los productos reales distintos de cero . Los productos y permanecen indefinidos. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\neq \infty }$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle {\frac {r}{\pm \infty }}:=0}$ ${\displaystyle -\infty <r<\infty .}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ ${\displaystyle 0\cdot -\infty }$

Algunas condiciones que hacen que un indicador tenga un valor real

En el campo del análisis convexo , la aplicación que toma el valor de no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de ), lo que sucede si y solo si el conjunto no está vacío para cada ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Para que sea de valor real, basta con que el origen de pertenezca al interior algebraico o núcleo de en ^[1] Si es absorbente en donde recordemos que esto implica que entonces el origen pertenece al interior algebraico de en y por lo tanto es de valor real. A continuación se dan caracterizaciones de cuando es de valor real. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0\in K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$

Ejemplos motivadores

Ejemplo 1

Considere un espacio vectorial normado con la norma y sea la bola unitaria en Entonces para cada Por lo tanto, la funcional de Minkowski es simplemente la norma en ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|),}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|=p_{U}(x).}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplo 2

Sea un espacio vectorial sin topología con un campo escalar subyacente Sea cualquier funcional lineal en (no necesariamente continuo). Solución Sea el conjunto y sea el funcional de Minkowski de Entonces La función tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a>0.}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}}$$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K.}$ $${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p_{K}}$

1. Es subaditivo : ${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}$
2. Es absolutamente homogénea : para todos los escalares ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle s.}$
3. No es negativo : ${\displaystyle p_{K}\geq 0.}$

Por lo tanto, es una seminorma con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos "agradables". Existe una correspondencia biunívoca entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por dichos conjuntos. Lo que se entiende exactamente por "agradable" se analiza en la sección siguiente. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X,}$

Obsérvese que, a diferencia de un requisito más fuerte para una norma, no necesariamente implica En el ejemplo anterior, se puede tomar un valor distinto de cero del núcleo de En consecuencia, la topología resultante no necesita ser Hausdorff . ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$

Las condiciones comunes que garantizan que los calibres son semi-normales

Para garantizar que de ahora en adelante se asumirá que ${\displaystyle p_{K}(0)=0,}$ ${\displaystyle 0\in K.}$

Para que sea una seminorma basta que sea disco (es decir, convexa y equilibrada) y absorbente en la que se supone que es la más común. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K.}$

Teorema ^[2]  —  Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces su funcional de Minkowski es la función definida por es una seminorma en Además, ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$ $${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.}$$

En términos más generales, si es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de entonces es una función sublineal no negativa en lo que implica en particular que es subaditiva y homogénea positiva . Si es absorbente en entonces es homogénea positiva, lo que significa que para todos los reales donde ^[3] Si es una función real no negativa en que es homogénea positiva, entonces los conjuntos y satisfacen y si además es absolutamente homogénea entonces ambos y están balanceados . ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{[0,1]K}}$ ${\displaystyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ ${\displaystyle s\geq 0,}$ ${\displaystyle [0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:=\{x\in X:q(x)<1\}}$ ${\displaystyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle [0,1]U=U}$ ${\displaystyle [0,1]D=D;}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$

Calibres de discos absorbentes

Podría decirse que los requisitos más comunes que se le imponen a un conjunto para garantizar que sea una seminorma son que sea un disco absorbente . Debido a lo comunes que son estas suposiciones, ahora se investigarán las propiedades de un funcional de Minkowski cuando es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hicieron pocas suposiciones (si es que hubo alguna) sobre, se pueden aplicar en este caso especial. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$

Teorema  —  Supongamos que es un subconjunto absorbente de Se demuestra que: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

1. Si es convexo entonces es subaditivo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$
2. Si está equilibrado entonces es absolutamente homogéneo ; es decir, para todos los escalares ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle s.}$

Propiedades algebraicas

Sea un espacio vectorial real o complejo y sea un disco absorbente en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle p_{K}}$es una seminorma en ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p_{K}}$es una norma en si y sólo si no contiene un subespacio vectorial no trivial. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}}$para cualquier escalar ^[4] ${\displaystyle s\neq 0.}$
• Si es un disco absorbente y entonces ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J\subseteq K}$ ${\displaystyle p_{K}\leq p_{J}.}$
• Si es un conjunto que satisface entonces es absorbente en y donde es el funcional de Minkowski asociado con es decir, es el calibre de ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{K},}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle K.}$
  • En particular, si es como el anterior y es cualquier seminorma en entonces si y sólo si ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$
• Si satisface entonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)<1}$ ${\displaystyle x\in K.}$

Propiedades topológicas

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) (real o complejo) (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) y sea un disco absorbente en Entonces donde es el interior topológico y es el cierre topológico de en ^[6] Es importante destacar que no se asumió que era continuo ni que tenía propiedades topológicas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,}$$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Además, la funcional de Minkowski es continua si y sólo si es un vecindario del origen en ^[6] Si es continua entonces ^[6] ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.}$$

Requisitos mínimos del set

En esta sección se investigará el caso más general del calibre de cualquier subconjunto de El caso especial más común donde se supone que es un disco absorbente en se discutió anteriormente. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en que se trate de un disco absorbente. ${\displaystyle K}$

En todo momento, es cualquier subconjunto de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

Resumen  —  Supongamos que es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

1. Homogeneidad positiva estricta :para todosy cada unode los valores reales positivos . ${\displaystyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Homogeneidad positiva/no negativa :es homogénea no negativa si y sólo sitiene valor real. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$
     • Una función se llama homogénea no negativa ^[7] si para todos y cada uno de los reales no negativos Como no está definida, una función que toma infinito como valor no es homogénea no negativa. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$
2. Valores reales : es el conjunto de todos los puntos en los que tiene un valor real. Por lo tanto, tiene un valor real si y solo si, en cuyo caso ${\displaystyle (0,\infty )K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X,}$ ${\displaystyle 0\in K.}$
   • Valor en ${\displaystyle 0}$ : si y solo si si y solo si ${\displaystyle p_{K}(0)\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle p_{K}(0)=0.}$
   • Espacio nulo : Sientoncessi y sólo sisi y sólo si existe una secuencia divergente de números reales positivostales quepara todosAdemás, el conjunto cero dees ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ ${\displaystyle t_{n}x\in K}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.}$
3. Comparación con una constante : Si entonces para cualquier si y sólo si esto se puede reformular como: Si entonces ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)<r}$ ${\displaystyle x\in (0,r)K;}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$
   • De ello se deduce que si es real entonces donde el conjunto del lado derecho denota y no su subconjunto Si entonces estos conjuntos son iguales si y solo si contiene ${\displaystyle 0\leq R<\infty }$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ ${\displaystyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.}$
   • En particular, si o entonces , pero lo que es más importante, lo inverso no es necesariamente cierto. ${\displaystyle x\in RK}$ ${\displaystyle x\in (0,R]K}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\leq R,}$
4. Comparación de calibre : para cualquier subconjunto si y solo si, por lo tanto, si y solo si ${\displaystyle L\subseteq X,}$ ${\displaystyle p_{K}\leq p_{L}}$ ${\displaystyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ ${\displaystyle p_{L}=p_{K}}$ ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K.}$
   • La asignación es de orden inverso en el sentido de que si entonces ^[8] ${\displaystyle L\mapsto p_{L}}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle p_{L}\leq p_{K}.}$
   • Como el conjunto satisface se deduce que reemplazar con no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo es cierto para y para ${\displaystyle L:=(0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ ${\displaystyle L:=(0,1]K}$ ${\displaystyle L:=p_{K}^{-1}([0,1]).}$
   • Si entonces y tiene la propiedad particularmente agradable de que si es real entonces si y solo si o ^{[nota 1]} Además, si es real entonces si y solo si ${\displaystyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}}$ ${\displaystyle p_{D}=p_{K}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=0.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{D}(x)\leq r}$ ${\displaystyle x\in (0,r]D.}$
5. Desigualdad subaditiva /:es subaditiva si y solo sies convexa. Sies convexa, entonces también lo son tantoy comoy, además,es subaditiva. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1]K}$ ${\displaystyle p_{K}}$
6. Escalando el conjunto : Si es un escalar entonces para todos Por lo tanto, si es real entonces ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ ${\displaystyle y\in X.}$ ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).}$
7. Simétrico : es simétrico (lo que significa que para todos ) si y solo si es un conjunto simétrico (lo que significa que ), lo que sucede si y solo si ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1)K=-(0,1)K}$ ${\displaystyle p_{K}=p_{-K}.}$
8. Homogeneidad absoluta :para todoslos escalares de longitud unitaria ^{[nota 2]} si y solo sipara todos los escalares de longitud unitariaen cuyo casopara todoslosescalares distintos de cero Si ademástambién tiene valor real, entonces esto se cumple para todos los escalares(es decir,es absolutamente homogéneo ^{[nota 3]} ). ${\displaystyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{K}}$
   • ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$para todas las unidades de longitud si y solo si para todas las unidades de longitud ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (0,1)uK=(0,1)K}$ ${\displaystyle u.}$
   • ${\displaystyle sK\subseteq K}$para todos los escalares unitarios si y solo si para todos los escalares unitarios si este es el caso entonces para todos los escalares unitarios ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sK=K}$ ${\displaystyle s;}$ ${\displaystyle (0,1)K=(0,1)sK}$ ${\displaystyle s.}$
   • La función de Minkowski de cualquier conjunto equilibrado es una función equilibrada . ^[8]
9. Absorbente : Sies convexo o equilibrado y sientonceses absorbente en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si un conjunto absorbe en y luego absorbe en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es convexo y entonces en cuyo caso ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle [0,1]K=K,}$ ${\displaystyle (0,1)K\subseteq K.}$
10. Restricción a un subespacio vectorial : Si es un subespacio vectorial de y si denota la funcional de Minkowski de en entonces donde denota la restricción de a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle K\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},}$ ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle S.}$

Ejemplos

1. Si es una colección no vacía de subconjuntos de entonces para todos donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$
   • Así que para todos ${\displaystyle p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Si es una colección no vacía de subconjuntos de y satisface entonces para todos ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$ $${\displaystyle \left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}}$$ ${\displaystyle p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Los siguientes ejemplos muestran que la contención podría ser adecuada. ${\displaystyle (0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$

Ejemplo : Si y entonces pero que muestra que es posible que sea un subconjunto propio de cuando ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle K=X}$ ${\displaystyle (0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,}$ ${\displaystyle (0,R]K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ ${\displaystyle R=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

El siguiente ejemplo muestra que la contención puede ser apropiada cuando el ejemplo puede generalizarse a cualquier real. Suponiendo que el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede que satisface pero ${\displaystyle R=1;}$ ${\displaystyle R>0.}$ ${\displaystyle [0,1]K\subseteq K,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1]K.}$

Ejemplo : Sea distinto de cero y sea tal que y De ello se sigue que Eso se sigue de observar que para cada que contiene Así y Sin embargo, de modo que como se desea. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle K=[0,1)x}$ ${\displaystyle [0,1]K=K}$ ${\displaystyle x\not \in K.}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1)K=K}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\geq 1.}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle e>0,}$ ${\displaystyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.}$ ${\displaystyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1]K,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski

El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones que tienen una cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$

Teorema  :  Sea cualquier función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$

1. Homogeneidad positiva estricta :para todosy cada unode los valores reales positivos . ${\displaystyle \;f(tx)=tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t>0.}$
   • Esta afirmación es equivalente a: para todos y cada uno de los números reales positivos ${\displaystyle f(tx)\leq tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t>0.}$
2. ${\displaystyle f}$es una funcional de Minkowski: lo que significa que existe un subconjunto tal que ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f=p_{S}.}$
3. ${\displaystyle f=p_{K}}$dónde ${\displaystyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$
4. ${\displaystyle f=p_{V}\,}$dónde ${\displaystyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.}$

Además, si nunca se adquiere el valor (para que el producto esté siempre bien definido), esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$

5. Homogeneidad positiva /:para todoslos números realesy no negativos . ${\displaystyle f(tx)=tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t\geq 0.}$

Este teorema se puede extender para caracterizar ciertas clases de funciones de valores reales (por ejemplo, funciones sublineales de valores reales ) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad. ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

Caracterización de los funcionales de Minkowski en conjuntos estelares

Proposición ^[10]  —  Sea cualquier función y cualquier subconjunto. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

1. ${\displaystyle f}$es (estrictamente) positiva homogénea, y ${\displaystyle f(0)=0,}$ $${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$$
2. ${\displaystyle f}$es la funcional de Minkowski de (es decir, ), contiene el origen y tiene forma de estrella en el origen. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
   • El conjunto tiene forma de estrella en el origen si y sólo si siempre que y Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto estrella . ^[9] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tk\in K}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

Caracterización de los funcionales de Minkowski que son seminomas

En este siguiente teorema, que se desprende inmediatamente de las afirmaciones anteriores, no se supone que sea absorbente en y, en cambio, se deduce que es absorbente cuando es una seminorma. Tampoco se supone que esté equilibrada (que es una propiedad que a menudo se requiere que tenga); en su lugar se encuentra la condición más débil de que para todos los escalares que satisfacen el requisito común de que sea convexo también se debilita a solo requerir que sea convexo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|=1.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)K}$

Teorema  —  Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Entonces es una seminorma de si y solo si se cumplen todas las siguientes condiciones: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$(o equivalentemente, tiene valor real). ${\displaystyle p_{K}}$
2. ${\displaystyle (0,1)K}$es convexo (o equivalentemente, es subaditivo ). ${\displaystyle p_{K}}$
   • Es suficiente (pero no necesario) que sea convexo. ${\displaystyle K}$
3. ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$para todos los escalares unitarios ${\displaystyle u.}$
   • Esta condición se cumple si está equilibrada o, de forma más general, si para todos los escalares unitarios ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle uK\subseteq K}$ ${\displaystyle u.}$

en cuyo caso tanto y como serán subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Por el contrario, si es una seminorma en entonces el conjunto satisface las tres condiciones anteriores (y por lo tanto también las conclusiones) y además, es necesariamente convexo, equilibrado, absorbente y satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle f=p_{V};}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (0,1)V=V=[0,1]V.}$

Corolario  :  Si es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente de un espacio vectorial real o complejo , entonces es una seminorma en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X.}$

Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski

Se puede demostrar que una función subaditiva de valor real en un espacio vectorial topológico arbitrario es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua, donde si además es no negativo, entonces es continua si y solo si es un entorno abierto en ^[11]. Si es subaditiva y satisface, entonces es continua si y solo si su valor absoluto es continuo. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$

Una función sublineal no negativa es una función homogénea no negativa que satisface la desigualdad triangular. De los resultados que se indican a continuación se deduce inmediatamente que para dicha función, si entonces Dado que la función de Minkowski es una función sublineal si y solo si es de valor real y subaditiva, lo que sucede si y solo si y es convexa. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle f=p_{V}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$

Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas

Teorema ^[11]  —  Supóngase que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos no vacíos de son exactamente aquellos conjuntos que tienen la forma para alguna y alguna función sublineal continua positiva en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio auxiliar normado
• Ecuación funcional de Cauchy  – Ecuación funcional
• Topología localmente convexa más fina  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Variedad de Finsler  – Generalización de las variedades de Riemann
• Teorema de Hadwiger  – Teorema de geometría integral
• Hugo Hadwiger  – matemático suizo (1908-1981)
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Procesamiento de imágenes morfológicas  : teoría y técnica para el manejo de estructuras geométricasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad triangular y es absolutamente homogénea.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Notas

1. En general, es falso que si y solo si (por ejemplo, considere cuándo es una norma o una seminorma). La afirmación correcta es: Si, entonces , si y solo si o ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=0.}$
2. tiene longitud unitaria, lo que significa que ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1.}$
3. El mapa se llama absolutamente homogéneo si está bien definido y para todos los escalares (no sólo los escalares distintos de cero). ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle |s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, pág. 119.
3. Jarchow 1981, págs. 104-108.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs.
5. Schaefer 1999, pág. 40.
6. Narici y Beckenstein 2011, pág. 119-120.
7. Kubrusly 2011, pág. 200.
8. Schechter 1996, pág. 316.
9. Schechter 1996, pág. 303.
10. Schechter 1996, págs. 313–317.
11. Narici y Beckenstein 2011, págs.

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Lectura adicional

• F. Simeski, AMP Boelens y M. Ihme. Modelado de la adsorción en poros de sílice mediante funcionales de Minkowski y momentos electrostáticos moleculares. Energies 13 (22) 5976 (2020). https://doi.org/10.3390/en13225976