Continuidad uniforme

Restricción uniforme del cambio de funciones.

A medida que el centro de la ventana azul, con altura real y ancho real , se mueve sobre la gráfica de en la dirección de , llega un punto en el que la gráfica de penetra la (interior de) la parte superior y/o inferior de esa ventana. Esto significa que abarca un intervalo mayor o igual que un intervalo menor que . Si existiera una ventana cuya parte superior y/o inferior nunca sean penetradas por el gráfico de a medida que la ventana se mueve a lo largo de ella sobre su dominio, entonces el ancho de esa ventana tendría que ser infinitamente pequeño (no real), lo que significa que no es uniformemente continuo. La función , por otra parte, es uniformemente continua. ${\displaystyle 2\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 2\delta \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

En matemáticas , se dice que una función real de números reales es uniformemente continua si hay un número real positivo tal que los valores de la función en cualquier intervalo de dominio de función del tamaño estén tan cerca entre sí como queramos. En otras palabras, para una función real uniformemente continua de números reales, si queremos que las diferencias de valores de función sean menores que cualquier número real positivo , entonces existe un número real positivo tal que en cualquier y en cualquier intervalo de función del tamaño . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$

La diferencia entre continuidad uniforme y continuidad (ordinaria) es que, en continuidad uniforme hay un intervalo aplicable globalmente (el tamaño de un intervalo de dominio de función sobre el cual las diferencias de valores de función son menores que ) que depende solo de , mientras que en continuidad (ordinaria) hay es aplicable localmente y depende de ambos y . Por tanto, la continuidad uniforme es una condición de continuidad más fuerte que la continuidad; una función que es uniformemente continua es continua pero una función que es continua no necesariamente es uniformemente continua. Los conceptos de continuidad uniforme y continuidad se pueden ampliar a funciones definidas entre espacios métricos . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$

Las funciones continuas pueden no ser uniformemente continuas si no están acotadas en un dominio acotado, como en , o si sus pendientes se vuelven ilimitadas en un dominio infinito, como en la recta real (numérica). Sin embargo, cualquier mapa de Lipschitz entre espacios métricos es uniformemente continuo, en particular cualquier isometría (mapa que preserva la distancia). ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Aunque se puede definir la continuidad para funciones entre espacios topológicos generales, definir la continuidad uniforme requiere más estructura. El concepto se basa en comparar los tamaños de vecindades de puntos distintos, por lo que requiere un espacio métrico o, más generalmente, un espacio uniforme .

Definición de funciones en espacios métricos

Para una función con espacios métricos y , se mantienen las siguientes definiciones de continuidad uniforme y continuidad (ordinaria). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$

Definición de continuidad uniforme

• ${\displaystyle f}$Se llama uniformemente continuo si para cada número real existe un número real tal que para cada con , tenemos . El conjunto para cada uno es una vecindad de y el conjunto para cada es una vecindad de por la definición de vecindad en un espacio métrico . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
  • Si y son subconjuntos de la recta real , entonces y puede ser la distancia euclidiana unidimensional estándar , dando la siguiente definición: para cada número real existe un número real tal que para cada , (donde hay un enunciado condicional material que dice "si , entonces "). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle A\implies B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• De manera equivalente, se dice que es uniformemente continuo si . Aquí se utilizan cuantificaciones ( , , y ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in X}$ ${\displaystyle \forall y\in X}$
• De manera equivalente, es uniformemente continua si admite un módulo de continuidad . ${\displaystyle f}$

Definición de continuidad (ordinaria)

• ${\displaystyle f}$Se llama continua si para cada número real existe un número real tal que para cada con , tenemos . El conjunto es un barrio de . Por tanto, la continuidad (ordinaria) es una propiedad local de la función en el punto . ${\displaystyle {\underline {{\text{at }}x}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• De manera equivalente, se dice que una función es continua si . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall x\in X\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$
• Alternativamente, se dice que una función es continua si existe una función de todos los números reales positivos y , que representa el número real positivo máximo, tal que en cada uno de ellos satisface entonces . En cada , es una función monótonamente no decreciente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$

Continuidad local versus continuidad uniforme global

En las definiciones, la diferencia entre continuidad uniforme y continuidad es que, en continuidad uniforme hay un aplicable globalmente (el tamaño de una vecindad en la que los valores de la métrica para los valores de función en son menores que ) que depende solo mientras está en continuidad Hay un aplicable localmente que depende de ambos y . La continuidad es una propiedad local de una función, es decir, una función es continua, o no, en un punto particular del dominio de la función , y esto se puede determinar observando sólo los valores de la función en una vecindad arbitrariamente pequeña de ese dominio. punto. Cuando hablamos de que una función es continua en un intervalo , queremos decir que la función es continua en todos los puntos del intervalo. Por el contrario, la continuidad uniforme es una propiedad global de , en el sentido de que la definición estándar de continuidad uniforme se refiere a cada punto de . Por otro lado, es posible dar una definición que sea local en términos de la extensión natural (cuyas características en puntos no estándar están determinadas por las propiedades globales de ), aunque no es posible dar una definición local de uniforme continuidad para una función arbitraria con valor hiperreal, ver más abajo. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Una definición matemática de que una función es continua en un intervalo y una definición que es uniformemente continua son estructuralmente similares, como se muestra a continuación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

La continuidad de una función para espacios métricos y en cada punto de un intervalo (es decir, continuidad de en el intervalo ) se expresa mediante una fórmula que comienza con cuantificaciones. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$,

(métricas y son y para para el conjunto de números reales ). ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$ ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para una continuidad uniforme, se rota el orden de la primera, segunda y tercera cuantificaciones ( , , y ): ${\displaystyle \forall x\in I}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Así, para que exista continuidad en el intervalo, se toma un punto arbitrario del intervalo y luego debe existir una distancia , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

mientras que para una continuidad uniforme, uno debe funcionar uniformemente para todos los puntos del intervalo, ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

Propiedades

Toda función uniformemente continua es continua , pero lo contrario no se cumple. Consideremos, por ejemplo, la función continua donde está el conjunto de los números reales . Dado un número real positivo , la continuidad uniforme requiere la existencia de un número real positivo tal que para todo con , tenemos . Pero ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

y a medida que va a ser un valor cada vez más alto, debe ser cada vez más bajo para satisfacer los números reales positivos y lo dado . Esto significa que no existe un número real positivo especificable (por pequeño que sea) que satisfaga la condición de ser uniformemente continuo, por lo que no es uniformemente continuo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Cualquier función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua. Por otro lado, la función de Cantor es uniformemente continua pero no absolutamente continua.

La imagen de un subconjunto totalmente acotado bajo una función uniformemente continua está totalmente acotada. Sin embargo, la imagen de un subconjunto acotado de un espacio métrico arbitrario bajo una función uniformemente continua no necesita estar acotada: como contraejemplo, considere la función de identidad desde los números enteros dotados con la métrica discreta hasta los números enteros dotados con la métrica euclidiana habitual .

El teorema de Heine-Cantor afirma que toda función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua . En particular, si una función es continua en un intervalo acotado cerrado de la recta real, es uniformemente continua en ese intervalo . La integrabilidad de Darboux de funciones continuas se deriva casi inmediatamente de este teorema.

Si una función de valor real es continua y existe (y es finita), entonces es uniformemente continua. En particular, cada elemento de , el espacio de funciones continuas que desaparecen en el infinito, es uniformemente continuo. Esta es una generalización del teorema de Heine-Cantor mencionado anteriormente, ya que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$

Ejemplos y no ejemplos

Ejemplos

• Las funciones lineales son los ejemplos más simples de funciones uniformemente continuas. ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$
• Cualquier función continua en el intervalo también es uniformemente continua, ya que es un conjunto compacto. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Si una función es derivable en un intervalo abierto y su derivada está acotada, entonces la función es uniformemente continua en ese intervalo.
• Todo mapa continuo de Lipschitz entre dos espacios métricos es uniformemente continuo. De manera más general, toda función continua de Hölder es uniformemente continua.
• La función de valor absoluto es uniformemente continua, a pesar de no ser diferenciable en . Esto muestra que las funciones uniformemente continuas no siempre son diferenciables. ${\displaystyle x=0}$
• A pesar de no ser diferenciable en ninguna parte, la función de Weierstrass es uniformemente continua.
• Todo miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo.

No ejemplos

• Las funciones que no están acotadas en un dominio acotado no son uniformemente continuas. La función tangente es continua en el intervalo pero no es uniformemente continua en ese intervalo, ya que llega al infinito como . ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle x\to \pi /2}$
• Las funciones cuya derivada tiende al infinito a medida que crece no pueden ser uniformemente continuas. La función exponencial es continua en todas partes de la recta real, pero no es uniformemente continua en la recta, ya que su derivada es y como . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}\to \infty }$ ${\displaystyle x\to \infty }$

Visualización

Para una función uniformemente continua, por cada número real positivo hay un número real positivo tal que dos valores de función y tienen la distancia máxima siempre que y estén dentro de la distancia máxima . Por lo tanto, en cada punto del gráfico, si dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor y un ancho ligeramente menor que alrededor de ese punto, entonces el gráfico se encuentra completamente dentro de la altura del rectángulo, es decir, el gráfico no pasa por el parte superior o inferior del rectángulo. Para funciones que no son uniformemente continuas, esto no es posible; para estas funciones, la gráfica puede estar dentro de la altura del rectángulo en algún punto de la gráfica, pero hay un punto en la gráfica donde la gráfica se encuentra encima o debajo del rectángulo. (el gráfico penetra el lado superior o inferior del rectángulo). ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

• 
  Para funciones uniformemente continuas, para cada número real positivo hay un número real positivo tal que cuando dibujamos un rectángulo alrededor de cada punto de la gráfica con un ancho ligeramente menor que y una altura ligeramente menor que , la gráfica queda completamente dentro de la altura de el rectángulo. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\delta }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$
• 
  Para funciones que no son uniformemente continuas, existe un número real positivo tal que por cada número real positivo hay un punto en la gráfica, de modo que cuando dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor y un ancho ligeramente menor que alrededor de ese punto , hay un valor de función directamente encima o debajo del rectángulo. Puede haber un punto del gráfico donde el gráfico esté completamente dentro de la altura del rectángulo, pero esto no es cierto para todos los puntos del gráfico. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

Historia

La primera definición publicada de continuidad uniforme fue la de Heine en 1870, y en 1872 publicó una prueba de que una función continua en un intervalo abierto no tiene por qué ser uniformemente continua. Las pruebas las dio Dirichlet casi palabra por palabra en sus conferencias sobre integrales definidas en 1854. La definición de continuidad uniforme aparece anteriormente en la obra de Bolzano, donde también demostró que las funciones continuas en un intervalo abierto no necesitan ser uniformemente continuas. Además, también afirma que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua, pero no da una prueba completa. ^[1]

Otras caracterizaciones

Análisis no estándar

En el análisis no estándar , una función de valor real de una variable real es microcontinua en un punto precisamente si la diferencia es infinitesimal siempre que sea infinitesimal. Por lo tanto, es continuo en un conjunto precisamente si es microcontinuo en cada punto real . La continuidad uniforme se puede expresar como la condición de que (la extensión natural de) sea microcontinua no sólo en puntos reales en , sino en todos los puntos de su contraparte no estándar (extensión natural) en . Tenga en cuenta que existen funciones con valores hiperreales que cumplen este criterio pero no son uniformemente continuas, así como funciones con valores hiperreales uniformemente continuas que no cumplen con este criterio; sin embargo, dichas funciones no se pueden expresar en la forma de ninguna función con valores reales. . (consulte cálculo no estándar para obtener más detalles y ejemplos). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{*}(a+\delta )-f^{*}(a)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ^{*}A}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

continuidad cauchy

Para una función entre espacios métricos, la continuidad uniforme implica continuidad de Cauchy (Fitzpatrick 2006). Más específicamente, sea un subconjunto de . Si una función es uniformemente continua entonces para cada par de sucesiones y tales que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0}$

tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.}$

Relaciones con el problema de la extensión.

Sea un espacio métrico, un subconjunto de , un espacio métrico completo y una función continua. Una pregunta para responder: ¿ Cuándo se puede extender a una función continua en todos ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Si es cerrado , la respuesta viene dada por el teorema de extensión de Tietze . Por lo tanto, es necesario y suficiente extender hasta el cierre de in : es decir, podemos suponer sin pérdida de generalidad que es denso in , y esto tiene la agradable consecuencia adicional de que si la extensión existe, es única. Una condición suficiente para extender a una función continua es que sea Cauchy-continua , es decir, la imagen debajo de una secuencia de Cauchy sigue siendo Cauchy. Si es completo (y por lo tanto la finalización de ), entonces toda función continua desde un espacio métrico es continua de Cauchy. Por lo tanto cuando es completa, se extiende a una función continua si y sólo si es continua de Cauchy. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$

Es fácil ver que toda función uniformemente continua es continua de Cauchy y, por tanto, se extiende a . Lo contrario no se cumple, ya que la función , como se vio arriba, no es uniformemente continua, pero es continua y, por tanto, de Cauchy continua. En general, para funciones definidas en espacios ilimitados como , la continuidad uniforme es una condición bastante fuerte. Es deseable tener una condición más débil de la cual deducir la extensibilidad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle R}$

Por ejemplo, supongamos que es un número real. En el nivel de precálculo, a la función se le puede dar una definición precisa sólo para valores racionales de (suponiendo la existencia de raíces q-ésimas de números reales positivos, una aplicación del teorema del valor intermedio ). A uno le gustaría extenderse a una función definida en todos los . La identidad ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

muestra que no es uniformemente continua en el conjunto de todos los números racionales; sin embargo, para cualquier intervalo acotado, la restricción de a es uniformemente continua, por lo tanto, continua de Cauchy, por lo tanto, se extiende a una función continua en . Pero como esto es válido para cada , existe una extensión única de a una función continua en todos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q\cap I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

De manera más general, una función continua cuya restricción a cada subconjunto acotado de es uniformemente continua es extensible a , y lo contrario se cumple si es localmente compacta . ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una aplicación típica de la extensibilidad de una función uniformemente continua es la prueba de la fórmula de la transformación inversa de Fourier . Primero demostramos que la fórmula es cierta para las funciones de prueba, hay muchísimas. Luego extendemos el mapa inverso a todo el espacio usando el hecho de que el mapa lineal es continuo; por lo tanto, uniformemente continuo.

Generalización a espacios vectoriales topológicos.

En el caso especial de dos espacios vectoriales topológicos y , la noción de continuidad uniforme de un mapa se convierte en: para cualquier vecindad de cero en , existe una vecindad de cero en tal que implica ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$ ${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Para transformaciones lineales , la continuidad uniforme es equivalente a la continuidad. Este hecho se utiliza frecuentemente de forma implícita en el análisis funcional para extender un mapa lineal de un subespacio denso de un espacio de Banach . ${\displaystyle f:V\to W}$

Generalización a espacios uniformes.

Así como el escenario más natural y general para la continuidad son los espacios topológicos , el escenario más natural y general para el estudio de la continuidad uniforme son los espacios uniformes . Una función entre espacios uniformes se llama uniformemente continua si para cada séquito in existe un séquito in tal que para cada in tenemos in . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$ ${\displaystyle V}$

En este contexto, también es cierto que los mapas uniformemente continuos transforman secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy.

Cada espacio compacto de Hausdorff posee exactamente una estructura uniforme compatible con la topología. Una consecuencia es una generalización del teorema de Heine-Cantor: cada función continua desde un espacio compacto de Hausdorff hasta un espacio uniforme es uniformemente continua.

Ver también

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Isomorfismo uniforme  : homeomorfismo uniformemente continuo

Referencias

1. Rusnock y Kerr-Lawson 2005.

Otras lecturas

• Bourbaki, Nicolás . Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. ISBN 0-387-19374-X.El Capítulo II es una referencia integral de espacios uniformes.
• Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica.
• Fitzpatrick, Patricio (2006). Cálculo avanzado . Brooks/Cole. ISBN 0-534-92612-6.
• Kelley, John L. (1955). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Continuidad uniforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano y la continuidad uniforme", Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi :10.1016/j.hm.2004.11.003