grupo topológico

Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua.

Los números reales forman un grupo topológico bajo la suma.

En matemáticas , los grupos topológicos son la combinación de grupos y espacios topológicos , es decir, son grupos y espacios topológicos al mismo tiempo, de modo que la condición de continuidad para las operaciones grupales conecta estas dos estructuras entre sí y en consecuencia no son independientes entre sí. ^[1]

Los grupos topológicos se estudiaron extensamente en el período de 1925 a 1940. Haar y Weil (respectivamente en 1933 y 1940) demostraron que las integrales y las series de Fourier son casos especiales de una clase muy amplia de grupos topológicos. ^[2]

Los grupos topológicos, junto con las acciones de grupo continuo , se utilizan para estudiar simetrías continuas , que tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en física . En análisis funcional , todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico aditivo con la propiedad adicional de que la multiplicación escalar es continua; en consecuencia, muchos resultados de la teoría de grupos topológicos pueden aplicarse al análisis funcional.

Definicion formal

Un grupo topológico , G , es un espacio topológico que también es un grupo tal que la operación del grupo (en este caso producto):

⋅ : GRAMO × GRAMO → GRAMO , ( x , y ) ↦ xy

y el mapa de inversión:

⁻¹  : GRAMO → GRAMO , x ↦ x ⁻¹

son continuos . ^{[nota 1]} Aquí G × G se ve como un espacio topológico con la topología del producto . Se dice que dicha topología es compatible con las operaciones del grupo y se denomina topología de grupo .

Comprobando la continuidad

El mapa del producto es continuo si y sólo si para cualquier x , y ∈ G y cualquier vecindad W de xy en G , existen vecindades U de x y V de y en G tales que U ⋅ V ⊆ W , donde U ⋅ V  : = { tu ⋅ v  : tu ∈ U , v ∈ V }. La aplicación de inversión es continua si y sólo si para cualquier x ∈ G y cualquier vecindad V de x ⁻¹ en G , existe una vecindad U de x en G tal que U ⁻¹ ⊆ V , donde U ⁻¹  := { u ⁻¹  : tu ∈ U }.

Para demostrar que una topología es compatible con las operaciones del grupo, basta comprobar que el mapa

GRAMO × GRAMO → GRAMO , ( x , y ) ↦ xy ⁻¹

es continuo. Explícitamente , esto significa que para cualquier x , y ∈ G y cualquier vecindad W en G de xy ⁻¹ , existen vecindades U de x y V de y en G tales que U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W.

Notación aditiva

Esta definición utilizó notación para grupos multiplicativos; el equivalente para grupos de aditivos sería que las dos operaciones siguientes sean continuas:

+ : GRAMO × GRAMO → GRAMO , ( x , y ) ↦ x + y

− : GRAMO → GRAMO , x ↦ − x .

hausdorffness

Aunque no forma parte de esta definición, muchos autores ^[3] requieren que la topología en G sea Hausdorff . Una razón para esto es que cualquier grupo topológico puede asociarse canónicamente con un grupo topológico de Hausdorff tomando un cociente canónico apropiado; Sin embargo, esto a menudo todavía requiere trabajar con el grupo topológico original que no es de Hausdorff. A continuación se analizan otras razones y algunas condiciones equivalentes.

Este artículo no asumirá que los grupos topológicos sean necesariamente Hausdorff.

Categoría

En el lenguaje de la teoría de categorías , los grupos topológicos pueden definirse de manera concisa como objetos grupales en la categoría de espacios topológicos , de la misma manera que los grupos ordinarios son objetos grupales en la categoría de conjuntos . Tenga en cuenta que los axiomas se dan en términos de aplicaciones (producto binario, inverso unario e identidad nula), por lo que son definiciones categóricas.

Homomorfismos

Un homomorfismo de grupos topológicos significa un homomorfismo de grupo continuo G → H . Los grupos topológicos, junto con sus homomorfismos, forman una categoría . Un homomorfismo de grupo entre grupos topológicos es continuo si y sólo si es continuo en algún punto. ^[4]

Un isomorfismo de grupos topológicos es un isomorfismo de grupo que también es un homeomorfismo de los espacios topológicos subyacentes. Esto es más fuerte que simplemente requerir un isomorfismo de grupo continuo; lo inverso también debe ser continuo. Hay ejemplos de grupos topológicos que son isomorfos como grupos ordinarios pero no como grupos topológicos. De hecho, cualquier grupo topológico no discreto también es un grupo topológico cuando se considera con la topología discreta. Los grupos subyacentes son los mismos, pero como grupos topológicos no existe un isomorfismo.

Ejemplos

Cada grupo puede convertirse trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta ; estos grupos se denominan grupos discretos . En este sentido, la teoría de grupos topológicos subsume la de grupos ordinarios. La topología indiscreta (es decir, la topología trivial) también convierte a cada grupo en un grupo topológico.

Los números reales , con la topología habitual, forman un grupo topológico bajo la suma. El espacio n euclidiano ⁿ también es un grupo topológico bajo suma y, de manera más general, cada espacio vectorial topológico forma un grupo topológico (abeliano). Algunos otros ejemplos de grupos topológicos abelianos son el grupo circular S ¹ , o el toro ( S ¹ ) ⁿ para cualquier número natural n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los grupos clásicos son ejemplos importantes de grupos topológicos no abelianos. Por ejemplo, el grupo lineal general GL( n , ) de todas ${\displaystyle \mathbb {R} }$las matrices invertibles n -por -n con entradas reales puede verse como un grupo topológico con la topología definida al ver GL( n , ) como un subespacio del espacio euclidiano ^{n × n} . Otro grupo clásico es el grupo ortogonal O( n ) , el grupo de todos los mapas lineales de ⁿ a sí mismo que preservan la longitud de todos los vectores. El grupo ortogonal es compacto como espacio topológico. Se puede considerar que gran parte de la geometría euclidiana estudia la estructura del grupo ortogonal, o el grupo estrechamente relacionado O ( n ) ⋉ ⁿ de isometrías de ⁿ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los grupos mencionados hasta ahora son todos grupos de Lie , lo que significa que son variedades suaves de tal manera que las operaciones del grupo son suaves , no solo continuas. Los grupos de mentiras son los grupos topológicos mejor comprendidos; Muchas preguntas sobre grupos de Lie se pueden convertir en preguntas puramente algebraicas sobre álgebras de Lie y luego resolverse.

Un ejemplo de grupo topológico que no es un grupo de Lie es el grupo aditivo de números racionales , con la topología heredada de . Este es un espacio contable y no tiene topología discreta. Un ejemplo importante para la teoría de números es el grupo _p de p -enteros ádicos , para un número primo p , es decir, el límite inverso de los grupos finitos / p ⁿ cuando n tiende al infinito. El grupo _p se comporta bien porque es compacto (de hecho, homeomorfo al conjunto de Cantor ), pero se diferencia de los grupos de Lie (reales) en que está totalmente desconectado . De manera más general, existe una teoría de grupos de Lie p -ádicos , que incluyen grupos compactos como GL( n , _p ) , así como grupos localmente compactos como GL( n , _p ) , donde _p es el campo localmente compacto de p - Números ácidos . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El grupo _p es un grupo profinito ; es isomorfo a un subgrupo del producto de tal manera que su topología es inducida por la topología del producto, donde a los grupos finitos se les da la topología discreta. Otra gran clase de grupos profinitos importantes en la teoría de números son los grupos absolutos de Galois . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

Algunos grupos topológicos pueden verse como grupos de Lie de dimensión infinita ; Esta frase se entiende mejor de manera informal, para incluir varias familias diferentes de ejemplos. Por ejemplo, un espacio vectorial topológico , como un espacio de Banach o un espacio de Hilbert , es un grupo topológico abeliano bajo suma. Algunos otros grupos de dimensión infinita que se han estudiado, con distintos grados de éxito, son los grupos de bucles , los grupos de Kac-Moody , los grupos de difeomorfismo , los grupos de homeomorfismo y los grupos de calibre .

En cada álgebra de Banach con identidad multiplicativa, el conjunto de elementos invertibles forma un grupo topológico bajo multiplicación. Por ejemplo, el grupo de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert surge de esta manera.

Propiedades

Invariancia de traducción

La topología de cada grupo topológico esinvariante de traducción , que por definición significa que si para cualquierizquierda o derecha la multiplicación por este elemento produce un homeomorfismo. En consecuencia, para cualquierayel subconjuntoesabierto(resp.cerrado)si y solo si esto es cierto para su traducción a la izquierday su traducción a la derecha. Sies unabase de vecindaddel elemento de identidad en un grupo topológico,entonces para todos es una base de vecindad deen^[4] En particular, cualquier topología de grupo en un grupo topológico está completamente determinada por cualquier base de vecindad en el elemento de identidad. Sies cualquier subconjunto deyes un subconjunto abierto deentonceses un subconjunto abierto de^[4] ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle G\to G.}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$ ${\displaystyle G.}$

Barrios simétricos

La operación de inversión sobre un grupo topológico es un homeomorfismo de sí mismo. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Se dice que un subconjunto es simétrico si donde La clausura de todo conjunto simétrico en un grupo topológico conmutativo es simétrica. ^[4] Si S es cualquier subconjunto de un grupo topológico conmutativo G , entonces los siguientes conjuntos también son simétricos: S ⁻¹ ∩ S , S ⁻¹ ∪ S y S ⁻¹ S. ^[4] ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S^{-1}=S,}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

Para cualquier vecindad N en un grupo topológico conmutativo G del elemento de identidad, existe una vecindad simétrica M del elemento de identidad tal que M ⁻¹ M ⊆ N , donde tenga en cuenta que M ⁻¹ M es necesariamente una vecindad simétrica del elemento de identidad . ^[4] Así, cada grupo topológico tiene una base de vecindad en el elemento de identidad que consta de conjuntos simétricos.

Si G es un grupo conmutativo localmente compacto , entonces para cualquier vecindad N en G del elemento identidad, existe una vecindad simétrica relativamente compacta M del elemento identidad tal que cl M ⊆ N (donde cl M también es simétrico). ^[4]

Espacio uniforme

Cada grupo topológico puede verse como un espacio uniforme de dos maneras; la uniformidad de la izquierda convierte todas las multiplicaciones de la izquierda en mapas uniformemente continuos, mientras que la uniformidad de la derecha convierte todas las multiplicaciones de la derecha en mapas uniformemente continuos. ^[5] Si G no es abeliano, entonces estos dos no tienen por qué coincidir. Las estructuras uniformes permiten hablar de nociones como completitud , continuidad uniforme y convergencia uniforme en grupos topológicos.

Propiedades de separación

Si U es un subconjunto abierto de un grupo topológico conmutativo G y U contiene un conjunto compacto K , entonces existe una vecindad N del elemento identidad tal que KN ⊆ U. ^[4]

Como espacio uniforme, todo grupo topológico conmutativo es completamente regular . En consecuencia, para un grupo topológico multiplicativo G con elemento de identidad 1, lo siguiente es equivalente: ^[4]

1. G es un espacio T ₀ ( Kolmogorov );
2. G es un espacio T2 ₍ Hausdorff ) ;
3. G es una T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff );
4. { 1 } está cerrado en G ;
5. {1} :=∩norte ∈ 𝒩 N , donde 𝒩 es una base de vecindad del elemento identidad en G ;
6. para cualquiera tal que exista una vecindad U en G del elemento identidad tal que ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle x\neq 1,}$ ${\displaystyle x\not \in U.}$

Un subgrupo de un grupo topológico conmutativo es discreto si y sólo si tiene un punto aislado . ^[4]

Si G no es Hausdorff, entonces se puede obtener un grupo de Hausdorff pasando al grupo cociente G / K , donde K es la clausura de la identidad. ^[6] Esto equivale a tomar el cociente de Kolmogorov de G .

Metrisabilidad

Sea G un grupo topológico. Como ocurre con cualquier espacio topológico, decimos que G es metrizable si y sólo si existe una métrica d en G , que induce la misma topología en . Una métrica d en G se llama ${\displaystyle G}$

• invariante a la izquierda (resp. invariante a la derecha ) si y solo si (resp. ) para todos (de manera equivalente, es invariante a la izquierda en caso de que el mapa sea una isometría de sí mismo para cada uno ). ${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle (G,d)}$ ${\displaystyle a\in G}$
• adecuado si y sólo si todas las bolas abiertas, para , son precompactas. ${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

El teorema de Birkhoff-Kakutani (llamado así en honor a los matemáticos Garrett Birkhoff y Shizuo Kakutani ) establece que las siguientes tres condiciones en un grupo topológico G son equivalentes: ^[7]

1. G es ( Hausdorff y) primero contable (de manera equivalente: el elemento de identidad 1 está cerrado en G , y hay una base contable de vecindades para 1 en G ).
2. G es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante por la izquierda en G que induce la topología dada en G .
4. Hay una métrica invariante por la derecha en G que induce la topología dada en G .

Además, lo siguiente es equivalente para cualquier grupo topológico G :

1. G es un segundo espacio contable localmente compacto (Hausdorff).
2. G es un espacio polaco , localmente compacto (Hausdorff).
3. G es propiamente metrizable (como espacio topológico).
4. Hay una métrica adecuada invariante a la izquierda en G que induce la topología dada en G .

Nota: Al igual que con el resto del artículo, asumimos aquí una topología de Hausdorff. Las implicaciones 4 3 2 1 son válidas en cualquier espacio topológico. En particular, 3 2 se cumple, ya que en particular cualquier espacio adecuadamente metrizable es una unión contable de subconjuntos compactos metrizables y, por lo tanto, separables ( ver propiedades de espacios métricos compactos ). La implicación no trivial 1 4 fue probada por primera vez por Raimond Struble en 1974. ^[8] Uffe Haagerup y Agata Przybyszewska hicieron un enfoque alternativo en 2006, ^[9] cuya idea es la siguiente: uno se basa en la construcción de una métrica invariante a la izquierda, como en el caso de los primeros espacios contables . Por compacidad local, las bolas cerradas de radios suficientemente pequeños son compactas y, al normalizar, podemos suponer que esto se cumple para el radio 1. Cerrar la bola abierta, U , de radio 1 mediante multiplicación produce un subgrupo abierto , H , de G , en el que La métrica es adecuada. Dado que H es abierto y G es el segundo contable , el subgrupo tiene como máximo muchas clases laterales contables. Ahora se utiliza esta secuencia de clases laterales y la métrica de H para construir una métrica adecuada de G. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo topológico es en sí mismo un grupo topológico cuando se le da la topología del subespacio . Todo subgrupo abierto H también está cerrado en G , ya que el complemento de H es el conjunto abierto dado por la unión de conjuntos abiertos gH para g ∈ G \ H. Si H es un subgrupo de G , entonces la clausura de H también es un subgrupo. Asimismo, si H es un subgrupo normal de G , la clausura de H es normal en G.

Cocientes y subgrupos normales.

Si H es un subgrupo de G , el conjunto de clases laterales izquierdas G / H con la topología del cociente se denomina espacio homogéneo para G. El mapa del cociente siempre está abierto . Por ejemplo, para un entero positivo n , la esfera S ⁿ es un espacio homogéneo para el grupo de rotación SO( n +1) en ^{n +1} , con S ⁿ = SO( n +1)/SO( n ) . Un espacio homogéneo G / H es Hausdorff si y sólo si H está cerrado en G. ^[10] En parte por esta razón, es natural concentrarse en subgrupos cerrados cuando se estudian grupos topológicos. ${\displaystyle q:G\to G/H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si H es un subgrupo normal de G , entonces el grupo cociente G / H se convierte en un grupo topológico cuando se le da la topología del cociente. Es Hausdorff si y sólo si H está cerrado en G. Por ejemplo, el grupo cociente es isomorfo al grupo circular S ¹ . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

En cualquier grupo topológico, el componente de identidad (es decir, el componente conectado que contiene el elemento de identidad) es un subgrupo normal cerrado. Si C es el componente identidad y a es cualquier punto de G , entonces la clase lateral izquierda aC es el componente de G que contiene a . Entonces , el conjunto de todas las clases laterales izquierdas (o derechas) de C en G es igual al conjunto de todos los componentes de G. De ello se deduce que el grupo cociente G / C es totalmente desconectado . ^[11]

Cierre y compacidad

En cualquier grupo topológico conmutativo, el producto (suponiendo que el grupo es multiplicativo) KC de un conjunto compacto K y un conjunto cerrado C es un conjunto cerrado. ^[4] Además, para cualquier subconjunto R y S de G , (cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^[4]

Si H es un subgrupo de un grupo topológico conmutativo G y si N es una vecindad en G del elemento identidad tal que H ∩ cl N es cerrado, entonces H es cerrado. ^[4] Todo subgrupo discreto de un grupo topológico conmutativo de Hausdorff es cerrado. ^[4]

Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfismo de la teoría de grupos ordinaria no siempre son ciertos en el contexto topológico. Esto se debe a que un homomorfismo biyectivo no tiene por qué ser un isomorfismo de grupos topológicos.

Por ejemplo, una versión nativa del primer teorema de isomorfismo es falsa para grupos topológicos: si es un morfismo de grupos topológicos (es decir, un homomorfismo continuo), no es necesariamente cierto que el homomorfismo inducido sea un isomorfismo de grupos topológicos; será un homomorfismo continuo biyectivo, pero no necesariamente será un homeomorfismo. En otras palabras, no necesariamente admitirá una inversa en la categoría de grupos topológicos. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

Existe una versión del primer teorema de isomorfismo para grupos topológicos, que se puede enunciar de la siguiente manera: si es un homomorfismo continuo, entonces el homomorfismo inducido de G /ker( f ) a im( f ) es un isomorfismo si y sólo si El mapa f está abierto a su imagen. ^[12] ${\displaystyle f:G\to H}$

El tercer teorema del isomorfismo, sin embargo, es cierto más o menos textualmente para grupos topológicos, como se puede comprobar fácilmente.

El quinto problema de Hilbert

Hay varios resultados sólidos sobre la relación entre grupos topológicos y grupos de Lie. Primero, todo homomorfismo continuo de grupos de Lie es suave. De ello se deduce que un grupo topológico tiene una estructura única de un grupo de Lie, si existe. Además, el teorema de Cartan dice que todo subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie, en particular una subvariedad suave . ${\displaystyle G\to H}$

El quinto problema de Hilbert preguntaba si un grupo topológico G que es una variedad topológica debe ser un grupo de Lie. En otras palabras, ¿ tiene G la estructura de una variedad uniforme, lo que hace que las operaciones del grupo sean fluidas? Como lo muestran Andrew Gleason , Deane Montgomery y Leo Zippin , la respuesta a este problema es sí. ^[13] De hecho, G tiene una estructura analítica real . Usando la estructura suave, se puede definir el álgebra de Lie de G , un objeto de álgebra lineal que determina ungrupo conectado G hasta cubrir espacios . Como resultado, la solución al quinto problema de Hilbert reduce la clasificación de grupos topológicos que son variedades topológicas a un problema algebraico, aunque sea un problema complicado en general.

El teorema también tiene consecuencias para clases más amplias de grupos topológicos. En primer lugar, todo grupo compacto (entendido como Hausdorff) es un límite inverso de los grupos compactos de Lie. (Un caso importante es un límite inverso de grupos finitos, llamado grupo profinito . Por ejemplo, el grupo _p de enteros p -ádicos y el grupo absoluto de Galois de un campo son grupos profinitos). Además, todo grupo localmente compacto conectado es un límite inverso de grupos de Lie conectados. ^[14] En el otro extremo, un grupo localmente compacto totalmente desconectado siempre contiene un subgrupo compacto abierto, que es necesariamente un grupo finito. ^[15] (Por ejemplo, el grupo localmente compacto GL( n , _p ) contiene el subgrupo abierto compacto GL( n , _p ) , que es el límite inverso de los grupos finitos GL( n , / p ^r ) a medida que r ' hasta el infinito.) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Representaciones de grupos compactos o localmente compactos.

Una acción de un grupo topológico G sobre un espacio topológico X es una acción grupal de G sobre X tal que la función correspondiente G × X → X es continua. Asimismo, una representación de un grupo topológico G en un espacio vectorial topológico V real o complejo es una acción continua de G sobre V tal que para cada g ∈ G , el mapa v ↦ gv de V a sí mismo es lineal.

Las acciones grupales y la teoría de la representación se entienden particularmente bien para los grupos compactos, generalizando lo que sucede para los grupos finitos . Por ejemplo, cada representación de dimensión finita (real o compleja) de un grupo compacto es una suma directa de representaciones irreducibles . Una representación unitaria de dimensión infinita de un grupo compacto se puede descomponer como una suma directa en el espacio de Hilbert de representaciones irreducibles, todas las cuales son de dimensión finita; esto es parte del teorema de Peter-Weyl . ^[16] Por ejemplo, la teoría de series de Fourier describe la descomposición de la representación unitaria del grupo circular S ¹ en el espacio complejo de Hilbert L ² ( S ¹ ) . Las representaciones irreducibles de S ¹ son todas unidimensionales, de la forma z ↦ z ⁿ para números enteros n (donde S ¹ se considera un subgrupo del grupo multiplicativo *). Cada una de estas representaciones ocurre con multiplicidad 1 en L ² ( S ¹ ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Se han clasificado las representaciones irreductibles de todos los grupos de Lie compactos conectados. En particular, el carácter de cada representación irreductible viene dado por la fórmula del carácter de Weyl .

De manera más general, los grupos localmente compactos tienen una rica teoría de análisis armónico , porque admiten una noción natural de medida e integral , dada por la medida de Haar . Cada representación unitaria de un grupo localmente compacto puede describirse como una integral directa de representaciones unitarias irreducibles. (La descomposición es esencialmente única si G es de Tipo I , que incluye los ejemplos más importantes como los grupos abelianos y los grupos de Lie semisimples . ^[17] ) Un ejemplo básico es la transformada de Fourier , que descompone la acción del grupo aditivo sobre el Espacio de Hilbert L ² ( ) como integral directa de las representaciones unitarias irreducibles de . Las representaciones unitarias irreducibles de son todas unidimensionales, de la forma x ↦ e ^{2π iax} para a ∈ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las representaciones unitarias irreductibles de un grupo localmente compacto pueden ser de dimensión infinita. Un objetivo importante de la teoría de la representación, relacionado con la clasificación de Langlands de representaciones admisibles , es encontrar el dual unitario (el espacio de todas las representaciones unitarias irreducibles) para los grupos de Lie semisimples. El dual unitario se conoce en muchos casos como SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , pero no en todos.

Para un grupo abeliano localmente compacto G , cada representación unitaria irreducible tiene dimensión 1. En este caso, el dual unitario es un grupo, de hecho, otro grupo abeliano localmente compacto. La dualidad de Pontryagin establece que para un grupo abeliano localmente compacto G , el dual de es el grupo original G. Por ejemplo, el grupo dual de los números enteros es el grupo circular S ¹ , mientras que el grupo de números reales es isomorfo a su propio dual. ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Todo grupo G localmente compacto tiene una buena cantidad de representaciones unitarias irreducibles; por ejemplo, suficientes representaciones para distinguir los puntos de G (el teorema de Gelfand-Raikov ). Por el contrario, la teoría de la representación para grupos topológicos que no son localmente compactos se ha desarrollado hasta ahora sólo en situaciones especiales, y puede no ser razonable esperar una teoría general. Por ejemplo, hay muchos grupos abelianos de Banach-Lie para los cuales cada representación en el espacio de Hilbert es trivial. ^[18]

Teoría de homotopía de grupos topológicos.

Los grupos topológicos son especiales entre todos los espacios topológicos, incluso en términos de su tipo de homotopía . Un punto básico es que un grupo topológico G determina un espacio topológico conectado por caminos, el espacio de clasificación BG (que clasifica los principales G -haces sobre espacios topológicos, bajo hipótesis suaves). El grupo G es isomorfo en la categoría de homotopía al espacio de bucle de BG ; eso implica varias restricciones sobre el tipo de homotopía de G . ^[19] Algunas de estas restricciones se mantienen en el contexto más amplio de los espacios H.

Por ejemplo, el grupo fundamental de un grupo topológico G es abeliano. (De manera más general, el producto de Whitehead en los grupos de homotopía de G es cero). Además, para cualquier campo k , el anillo de cohomología H *( G , k ) tiene la estructura de un álgebra de Hopf . En vista de los teoremas de estructura de las álgebras de Hopf de Heinz Hopf y Armand Borel , esto impone fuertes restricciones a los posibles anillos de cohomología de los grupos topológicos. En particular, si G es un grupo topológico conectado por caminos cuyo anillo de cohomología racional H *( G , ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es de dimensión finita en cada grado, entonces este anillo debe ser un álgebra conmutativa graduada libre sobre , es decir, el producto tensorial de un anillo polinomial en generadores de grado par con un álgebra exterior en generadores de grado impar. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En particular, para un grupo de Lie conectado G , el anillo de cohomología racional de G es un álgebra exterior en generadores de grado impar. Además, un grupo de Lie conectado G tiene un subgrupo compacto máximo K , que es único hasta la conjugación, y la inclusión de K en G es una equivalencia de homotopía . Entonces, describir los tipos de homotopía de los grupos de Lie se reduce al caso de grupos de Lie compactos. Por ejemplo, el subgrupo compacto máximo de SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es el grupo circular SO(2) , y el espacio homogéneo SL(2, )/SO(2) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se puede identificar con el plano hiperbólico . Dado que el plano hiperbólico es contráctil , la inclusión del grupo circular en SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es una equivalencia de homotopía.

Finalmente, Wilhelm Killing , Élie Cartan y Hermann Weyl han clasificado grupos de Lie compactos y conectados . Como resultado, existe una descripción esencialmente completa de los posibles tipos de homotopía de los grupos de Lie. Por ejemplo, un grupo de Lie compacto y conectado de dimensión como máximo 3 es un toro, el grupo SU(2) ( diffeomorfo a las 3 esferas S ³ ), o su grupo cociente SU(2)/{±1} ≅ SO (3) (diffeomorfo a RP 3 ).

grupo topológico completo

Puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología .

Uniformidad canónica en un grupo topológico conmutativo.

En adelante, este artículo asumirá que cualquier grupo topológico que consideremos es un grupo topológico conmutativo aditivo con elemento de identidad. ${\displaystyle 0.}$

La diagonal de es el conjunto. ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$

séquito canónicolas vecindades canónicas alrededor ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

Para un grupo topológico, la uniformidad canónica ^[21] es la estructura uniforme inducida por el conjunto de todos los entornos canónicos como rangos en todas las vecindades de en ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Es decir, es el cierre hacia arriba del siguiente prefiltro en ${\displaystyle X\times X,}$

$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

base de séquitos

Para un grupo aditivo conmutativo, un sistema fundamental de entornos se llama uniformidad invariante en la traducción si para cada si y solo si para todos. Una uniformidad se llama invariante en la traducción si tiene una base de entornos que es invariante en la traducción. ^[22] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• La uniformidad canónica en cualquier grupo topológico conmutativo es invariante a la traducción.
• La misma uniformidad canónica resultaría si se utilizara una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen.
• Cada séquito contiene la diagonal porque ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle 0\in N.}$
• Si es simétrico (es decir, ) entonces es simétrico (lo que significa que ) y ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• La topología inducida por la uniformidad canónica es la misma que la topología con la que comenzó (es decir, es ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Prefiltros y redes Cauchy

La teoría general de los espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Porque la uniformidad canónica sobre estos se reduce a la definición que se describe a continuación. ${\displaystyle X,}$

Supongamos que es un neto en y es un neto en Conviértalo en un conjunto dirigido declarando si y solo si Entonces ^[23] denota el producto neto . Si entonces la imagen de esta red bajo el mapa de suma denota la suma de estas dos redes: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$

$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$

diferencia

$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Una red en un grupo topológico aditivo se llama red de Cauchy si ^[24] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

Una secuencia de Cauchy es una red de Cauchy que es una secuencia.

Si es un subconjunto de un grupo aditivo y es un conjunto que contiene entonces se dice que es un conjunto pequeño o de orden pequeño si ^[25] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

Un prefiltro en un grupo topológico aditivo llamado prefiltro de Cauchy si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en donde hay un prefiltro. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en donde es un prefiltro equivalente a ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. Porque cada vecindad de in contiene algún conjunto pequeño (es decir, existe algo tal que ). ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$

y si es conmutativo entonces también: ${\displaystyle X}$

4. Para cada vecindad de adentro existe alguna y alguna tal que ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• Es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindario determinado en ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Supongamos que es un prefiltro en un grupo topológico conmutativo y luego en si y solo si y es Cauchy. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Grupo topológico conmutativo completo

Recuerde que para cualquier prefiltro on es necesariamente un subconjunto de ; eso es, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto de un grupo topológico se denomina subconjunto completo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Si es Hausdorff, entonces todos los prefiltros activados convergerán como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos de Lo mismo ocurre con las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Cada red de Cauchy converge al menos a un punto de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. Cada filtro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjuntos de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto se llama subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en (o equivalentemente, cada filtro/prefiltro elemental de Cauchy en ) converge a al menos un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

• Es importante destacar que se permite la convergencia fuera de ${\displaystyle S}$ : si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy converge a algún punto de entonces será completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy también convergen a puntos en el complemento. En resumen, hay No es necesario que estos prefiltros de Cauchy converjan sólo en puntos en Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$
  • Como consecuencia, si un grupo topológico conmutativo no es Hausdorff , entonces cada subconjunto de la clausura de digamos es completo (ya que es claramente compacto y todo conjunto compacto es necesariamente completo). Entonces, en particular, si (por ejemplo, si a es un conjunto único como ) entonces estaría completo aunque cada red de Cauchy en (y cada prefiltro de Cauchy en ) converja a cada punto en (incluya aquellos puntos que no están en ) . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\},}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$
  • Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un espacio que no es de Hausdorff pueden no cerrarse (por ejemplo, if then se cierra si y solo si ). ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$

Un grupo topológico conmutativo se denomina grupo completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es completo como un subconjunto de sí mismo.
2. Cada red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Existe una vecindad de en que también es un subconjunto completo de ^[25] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esto implica que todo grupo topológico conmutativo localmente compacto está completo.
4. Cuando se le dota de su uniformidad canónica, se convierte en un espacio completamente uniforme . ${\displaystyle X}$
   • En la teoría general de los espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy converge en algún punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Un grupo topológico se denomina secuencialmente completo si es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.

Base de vecindad : Supongamos que es una terminación de un grupo topológico conmutativo con y que es una base de vecindad del origen en Entonces la familia de conjuntos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$

^[23] ${\displaystyle C.}$

Continuidad uniforme

Sean y grupos topológicos y sean un mapa. Entonces es uniformemente continua si para cada vecindad del origen existe una vecindad del origen tal que para todos si entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Generalizaciones

Se pueden obtener varias generalizaciones de grupos topológicos debilitando las condiciones de continuidad: ^[26]

• Un grupo semitopológico es un grupo G con una topología tal que para cada c ∈ G las dos funciones G → G definidas por x ↦ xc y x ↦ cx son continuas.
• Un grupo cuasitopológico es un grupo semitopológico en el que la función que asigna elementos a sus inversas también es continua.
• Un grupo paratopológico es un grupo con una topología tal que la operación del grupo es continua.

Ver también

• Grupo algebraico  : variedad algebraica con estructura de grupo
• Campo completo  : estructura algebraica completa en relación con una métricaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Grupo de mentiras  : grupo que también es una variedad diferenciable con operaciones de grupo que son fluidas.
• Campo localmente compacto
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de Haar.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo cuántico localmente compacto  : enfoque algebraico C* relativamente nuevo hacia grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo profinito  : grupo topológico que, en cierto sentido, está ensamblado a partir de un sistema de grupos finitos.
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Grupo abeliano topológico  - concepto en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  : estructura algebraica con suma, multiplicación y división.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo donde las operaciones del anillo son continuasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con operación continuaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. es decir, continuo significa que para cualquier conjunto abierto U ⊆ G , f ⁻¹ ( U ) está abierto en el dominio dom f de f .

Citas

1. Pontrjagin 1946, pag. 52.
2. Hewitt y Ross 1979, pág. 1.
3. Armstrong 1997, pag. 73; Bredon 1997, pág. 51
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 19-45.
5. Bourbaki 1998, sección III.3.
6. Bourbaki 1998, sección III.2.7.
7. Montgomery y Zippin 1955, sección 1.22.
8. Struble, Raimond A. (1974). "Métricas en grupos localmente compactos". Composición Matemática . 28 (3): 217–222.
9. Haagerup, Uffe; Przybyszewska, Agata (2006), Métricas adecuadas en grupos localmente compactos y acciones isométricas afines adecuadas en CiteSeerX 10.1.1.236.827 
10. Bourbaki 1998, sección III.2.5.
11. Bourbaki 1998, sección I.11.5.
12. Bourbaki 1998, sección III.2.8.
13. Montgomery y Zippin 1955, sección 4.10.
14. Montgomery y Zippin 1955, sección 4.6.
15. Bourbaki 1998, sección III.4.6.
16. Hewitt y Ross 1970, teorema 27.40.
17. Mackey 1976, sección 2.4.
18. Banaszczyk 1983.
19. Hatcher 2001, Teorema 4.66.
20. Hatcher 2001, Teorema 3C.4.
21. Edwards 1995, pág. 61.
22. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-19.
23. Narici y Beckenstein 2011, págs.
24. Narici y Beckenstein 2011, pag. 48.
25. Narici y Beckenstein 2011, págs.
26. Arhangel'skii y Tkachenko 2008, pág. 12.

Referencias

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