grupo semitopológico

En matemáticas , un grupo semitopológico es un espacio topológico con una acción grupal que es continua respecto de cada variable considerada por separado. Es un debilitamiento del concepto de grupo topológico ; Todos los grupos topológicos son grupos semitopológicos, pero lo contrario no se cumple.

Definicion formal

Un grupo semitopológico es un espacio topológico que también es un grupo tal que ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}:G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy}$

es continua con respecto a ambos y . (Tenga en cuenta que un grupo topológico es continuo con referencia a ambas variables simultáneamente y también se requiere que sea continuo. Aquí se ve como un espacio topológico con la topología del producto ). ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g_{2}:G\to G:x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle G\times G}$

Claramente, todo grupo topológico es un grupo semitopológico. Para ver que lo contrario no se cumple, consideremos la recta real con su estructura habitual como grupo abeliano aditivo . Aplique la topología de límite inferior a la familia con base topológica . Entonces es continua, pero no es continua en 0: es una vecindad abierta de 0 pero no hay ninguna vecindad de 0 continuada en . ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{[a,b):-\infty <a<b<\infty \}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle [0,b)}$ ${\displaystyle g_{2}^{-1}([0,b))}$

Se sabe que cualquier grupo semitopológico de Hausdorff localmente compacto es un grupo topológico. ^[2] También se conocen otros resultados similares. ^[3]

Ver también

• grupo de mentiras
• grupo algebraico
• Grupo compacto
• Anillo topológico

Referencias

1. Husain, Taqdir (2018). Introducción a los grupos topológicos. Publicaciones de Courier Dover. pag. 27.ISBN​ 9780486828206.
2. Arhangel'skii, Alejandro; Tkachenko, Mikhail (2008). Grupos topológicos y estructuras relacionadas, introducción al álgebra topológica. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 114.ISBN​ 9789491216350.
3. Aull, CE; Lowen, R. (2013). Manual de Historia de la Topología General. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 1119.ISBN​ 9789401704700.