Grupo de homeomorfismo

En matemáticas , particularmente en topología , el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico es el grupo que consiste en todos los homeomorfismos desde el espacio hasta sí mismo con la composición de funciones como la operación de grupo . Son importantes para la teoría de espacios topológicos, generalmente ejemplares de grupos de automorfismos y topológicamente invariantes en el sentido de isomorfismo de grupo .

Propiedades y ejemplos

Existe una acción de grupo natural del grupo de homeomorfismo de un espacio sobre ese espacio. Sea un espacio topológico y denotemos el grupo de homeomorfismo de por . La acción se define de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

Esta es una acción grupal ya que para todos , ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

donde denota la acción del grupo, y el elemento identidad de (que es la función identidad en ) envía puntos a sí mismos. Si esta acción es transitiva , entonces se dice que el espacio es homogéneo . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Topología

Al igual que con otros conjuntos de funciones entre espacios topológicos, al grupo de homeomorfismos se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta . En el caso de espacios regulares, localmente compactos, la multiplicación de grupos es entonces continua.

Si el espacio es compacto y de Hausdorff, la inversión también es continua y se convierte en un grupo topológico . Si es de Hausdorff, localmente compacto y localmente conexo, esto también se cumple. ^[1] Algunos espacios métricos separables localmente compactos presentan una función de inversión que no es continua, lo que da como resultado que no se forme un grupo topológico. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Homeo}}(X)}$

Grupo de clases de mapeo

En topología geométrica en particular, se considera el grupo cociente obtenido al cocientear por isotopía , llamado grupo de clase de mapeo :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

El MCG también puede interpretarse como el grupo de homotopía 0 , . Esto produce la secuencia exacta corta : ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

En algunas aplicaciones, particularmente superficies, el grupo de homeomorfismos se estudia a través de esta secuencia exacta corta, y estudiando primero el grupo de clases de mapeo y el grupo de homeomorfismos isotópicamente triviales, y luego (a veces) la extensión.

Véase también

• Grupo de clases de mapeo

Referencias

1. Dijkstra, Jan J. (2005), "Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología compacta-abierta" (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (10): 910–912, doi :10.2307/30037630, MR  2186833

• "grupo de homeomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]