secuencia exacta

Secuencia de homomorfismos tales que cada núcleo es igual a la imagen anterior

Ilustración de una secuencia exacta de grupos mediante diagramas de Euler . ${\displaystyle G_{i}}$

Una secuencia exacta es una secuencia de morfismos entre objetos (por ejemplo, grupos , anillos , módulos y, más generalmente, objetos de una categoría abeliana ) tal que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del siguiente.

Definición

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

de grupos y homomorfismos de grupos se dice que es exacto en si . La secuencia se llama exacta si es exacta en cada uno para todos , es decir, si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i<n}$

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y núcleos , y más especialmente en categorías abelianas , donde se usa ampliamente.

Casos simples

Para comprender la definición, es útil considerar casos relativamente simples en los que la secuencia es de homomorfismos de grupo, es finita y comienza o termina con el grupo trivial . Tradicionalmente, esto, junto con el elemento de identidad único, se denota 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos) o 1 (notación multiplicativa).

• Considere la secuencia 0 → A → B . La imagen del mapa más a la izquierda es 0. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y sólo si el mapa más a la derecha (de A a B ) tiene kernel {0}; es decir, si y sólo si ese mapa es un monomorfismo (inyectivo o uno a uno).
• Considere la secuencia dual B → C → 0. El núcleo del mapa más a la derecha es C. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y sólo si la imagen del mapa más a la izquierda (de B a C ) es toda de C ; es decir, si y sólo si ese mapa es un epimorfismo (sobreyectivo o sobre).
• Por lo tanto, la secuencia 0 → X → Y → 0 es exacta si y sólo si el mapa de X a Y es tanto un monomorfismo como un epimorfismo (es decir, un bimorfismo ), y por lo general es un isomorfismo de X a Y (esto siempre se cumple en categorías exactas como Set ).

secuencia exacta corta

Las secuencias exactas cortas son secuencias exactas de la forma

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.}$

Como se estableció anteriormente, para cualquier secuencia exacta corta, f es un monomorfismo y g es un epimorfismo. Además, la imagen de f es igual al núcleo de g . Es útil pensar en A como un subobjeto de B con f incrustando A en B , y en C como el objeto factor correspondiente (o cociente ), B / A , con g induciendo un isomorfismo.

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)}$

La secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,}$

se llama división si existe un homomorfismo h  : C → B tal que la composición g ∘ h es el mapa de identidad en C . De ello se deduce que si se trata de grupos abelianos , B es isomorfo a la suma directa de A y C :

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Secuencia exacta larga

Una secuencia exacta general a veces se denomina secuencia exacta larga , para distinguirla del caso especial de una secuencia exacta corta. ^[1]

Una secuencia exacta larga es equivalente a una familia de secuencias exactas cortas en el siguiente sentido: Dada una secuencia larga

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$(1)

con n ≥ 2, podemos dividirlo en secuencias cortas

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}}$(2)

donde para cada . Por construcción, las secuencias (2) son exactas en el punto (independientemente de la exactitud de (1) ). Además, (1) es una secuencia exacta larga si y sólo si (2) son todas secuencias exactas cortas. ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{i}}$

Ejemplos

Enteros módulo dos

Considere la siguiente secuencia de grupos abelianos:

${\displaystyle \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

El primer homomorfismo asigna cada elemento i en el conjunto de números enteros Z al elemento 2 i en Z. El segundo homomorfismo asigna cada elemento i en Z a un elemento j en el grupo de cocientes; es decir, j = i mod 2 . Aquí la flecha de gancho indica que el mapa 2× de Z a Z es un monomorfismo, y la flecha de dos puntas indica un epimorfismo (el mapa mod 2). Ésta es una secuencia exacta porque la imagen 2 Z del monomorfismo es el núcleo del epimorfismo. Esencialmente "la misma" secuencia también se puede escribir como ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

En este caso el monomorfismo es 2 n ↦ 2 n y aunque parece una función identidad, no es sobre (es decir, no es un epimorfismo) porque los números impares no pertenecen a 2 Z . Sin embargo , la imagen de 2 Z a través de este monomorfismo es exactamente el mismo subconjunto de Z que la imagen de Z a través de n ↦ 2 n utilizada en la secuencia anterior. Esta última secuencia difiere en la naturaleza concreta de su primer objeto de la anterior, ya que 2 Z no es el mismo conjunto que Z aunque los dos son isomorfos como grupos.

La primera secuencia también se puede escribir sin utilizar símbolos especiales para monomorfismo y epimorfismo:

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

Aquí 0 denota el grupo trivial, la aplicación de Z a Z es la multiplicación por 2, y la aplicación de Z al grupo de factores Z /2 Z se obtiene reduciendo enteros módulo 2. De hecho, esta es una secuencia exacta:

• la imagen del mapa 0 → Z es {0}, y el núcleo de la multiplicación por 2 también es {0}, por lo que la secuencia es exacta en la primera Z.
• la imagen de la multiplicación por 2 es 2 Z , y el núcleo de reducción del módulo 2 también es 2 Z , por lo que la secuencia es exacta en el segundo Z.
• la imagen del módulo reductor 2 es Z /2 Z , y el núcleo del mapa cero también es Z /2 Z , por lo que la secuencia es exacta en la posición Z / 2 Z.

La primera y tercera secuencias son un caso especial debido a la naturaleza infinita de Z. No es posible que un grupo finito sea mapeado por inclusión (es decir, por un monomorfismo) como un subgrupo propio de sí mismo. En cambio, la secuencia que surge del primer teorema del isomorfismo es

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

(aquí el grupo trivial se denota porque se supone que estos grupos no son abelianos ). ${\displaystyle 1,}$

Como ejemplo más concreto de una secuencia exacta en grupos finitos:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

donde es el grupo cíclico de orden n y es el grupo diédrico de orden 2 n , que es un grupo no abeliano. ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$

Intersección y suma de módulos.

Sean I y J dos ideales de un anillo R. Entonces

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

es una secuencia exacta de R -módulos, donde el homomorfismo del módulo asigna cada elemento x de al elemento de la suma directa , y el homomorfismo asigna cada elemento de a . ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$ ${\displaystyle I\cap J}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle x-y}$

Estos homomorfismos son restricciones de homomorfismos definidos de manera similar que forman la secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Pasar a módulos cocientes produce otra secuencia exacta

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

Grad, curl y div en geometría diferencial

Otro ejemplo puede derivarse de la geometría diferencial , especialmente relevante para el trabajo con las ecuaciones de Maxwell .

Considere el espacio de Hilbert de funciones escalares integrables al cuadrado en tres dimensiones . Tomar el gradiente de una función nos lleva a un subconjunto de , el espacio de funciones con valores vectoriales, aún integrables al cuadrado en el mismo dominio , específicamente, el conjunto de funciones que representan campos vectoriales conservadores. (El teorema de Stokes generalizado ha preservado la integrabilidad). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \right\rbrace }$ ${\displaystyle f\in \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$ ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace }$

Primero, tenga en cuenta que la curvatura de todos estos campos es cero, ya que

${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)\equiv \nabla \times (\nabla f)=0}$

para todos esos f . Sin embargo, esto sólo prueba que la imagen del degradado es un subconjunto del núcleo del rizo. Para demostrar que, de hecho, son el mismo conjunto, demuestre lo contrario: que si la curvatura de un campo vectorial es 0, entonces es el gradiente de alguna función escalar. Esto se desprende casi inmediatamente del teorema de Stokes (ver la prueba con fuerza conservativa ). La imagen del gradiente es entonces precisamente el núcleo del rizo, por lo que podemos tomar el rizo como nuestro siguiente morfismo, llevándonos nuevamente a un (diferente) subconjunto de . ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$

Del mismo modo, observamos que

${\displaystyle \operatorname {div} \left(\operatorname {curl} {\vec {v}}\right)\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0,}$

entonces la imagen del rizo es un subconjunto del núcleo de la divergencia . Lo contrario es algo complicado (para el caso general, ver el lema de Poincaré ):

Habiendo demostrado así que la imagen del rizo es precisamente el núcleo de la divergencia, este morfismo a su vez nos devuelve al espacio del que partimos . Dado que, por definición, hemos llegado a un espacio de funciones integrables, cualquier función de este tipo puede (al menos formalmente) integrarse para producir un campo vectorial cuya divergencia es esa función, por lo que la imagen de la divergencia es la totalidad de , y podemos Completa nuestra secuencia: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle 0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {div} } } L^{2}\to 0}$

De manera equivalente, podríamos haber razonado a la inversa: en un espacio simplemente conexo , un campo vectorial sin rizo (un campo en el núcleo del rizo) siempre se puede escribir como un gradiente de una función escalar (y por lo tanto es en la imagen de el gradiente). De manera similar, un campo vectorial solenoidal se puede escribir como una curvatura de otro campo. ^[2] (El razonamiento en esta dirección hace uso del hecho de que el espacio tridimensional es topológicamente trivial.)

Esta breve secuencia exacta también permite una prueba mucho más breve de la validez de la descomposición de Helmholtz que no se basa en el cálculo vectorial de fuerza bruta. Considere la subsecuencia

${\displaystyle 0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \operatorname {im} (\operatorname {curl} )\to 0.}$

Dado que la divergencia del gradiente es el laplaciano , y dado que el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado puede abarcarse mediante las funciones propias del laplaciano, ya vemos que debe existir alguna aplicación inversa. Para construir explícitamente dicha inversa, podemos partir de la definición del vector laplaciano ${\displaystyle \nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)}$

Dado que estamos intentando construir un mapeo de identidad componiendo alguna función con el gradiente, sabemos que en nuestro caso . Entonces si tomamos la divergencia de ambos lados ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} \left({\vec {A}}\right)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\\end{aligned}}}$

Vemos que si una función es una función propia del vector laplaciano, su divergencia debe ser una función propia del escalar laplaciano con el mismo valor propio. Luego podemos construir nuestra función inversa simplemente dividiendo cualquier función en la base propia vectorial-laplaciana, escalando cada una por la inversa de su valor propio y tomando la divergencia; la acción de es, pues, claramente la identidad. Así, por el lema de división , ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$ ${\displaystyle \nabla ^{-1}\circ \nabla }$

${\displaystyle \mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )}$,

o de manera equivalente, cualquier campo vectorial integrable al cuadrado se puede dividir en la suma de un gradiente y una curvatura, que es lo que nos propusimos demostrar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Propiedades

El lema de división establece que, para una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0,}$Las siguientes condiciones son equivalentes.

• Existe un morfismo t  : B → A tal que t ∘ f es la identidad en A .
• Existe un morfismo u : C → B tal que g ∘ u es la identidad en C .
• Existe un morfismo u : C → B tal que B es la suma directa de f ( A ) yu ( C ) .

Para grupos no conmutativos, el lema de división no se aplica y solo se tiene la equivalencia entre las dos últimas condiciones, reemplazando "suma directa" por " producto semidirecto ".

En ambos casos, se dice que una secuencia exacta tan corta se divide .

El lema de la serpiente muestra cómo un diagrama conmutativo con dos filas exactas da lugar a una secuencia exacta más larga. El nueve lema es un caso especial.

El cinco lema da condiciones bajo las cuales el mapa del medio en un diagrama conmutativo con filas exactas de longitud 5 es un isomorfismo; El lema corto de cinco es un caso especial que se aplica a secuencias cortas y exactas.

La importancia de las secuencias cortas exactas queda subrayada por el hecho de que cada secuencia exacta resulta de "entrelazar" varias secuencias cortas exactas superpuestas. Consideremos, por ejemplo, la secuencia exacta

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$

lo que implica que existen objetos C _k en la categoría tales que

${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$.

Supongamos además que el cokernel de cada morfismo existe y es isomorfo a la imagen del siguiente morfismo en la secuencia:

${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(Esto es cierto para una serie de categorías interesantes, incluida cualquier categoría abeliana como los grupos abelianos; pero no es cierto para todas las categorías que permiten secuencias exactas y, en particular, no es cierto para la categoría de grupos , en la que coker( f ) : G → H no es H /im( f ) sino , el cociente de H por la clausura conjugada de im( f ).) Luego obtenemos un diagrama conmutativo en el que todas las diagonales son secuencias cortas exactas: ${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$

La única parte de este diagrama que depende de la condición del cokernel es el objeto y el par final de morfismos . Si existe algún objeto y morfismo que sea exacto, entonces se garantiza la exactitud . Tomando nuevamente el ejemplo de la categoría de grupos, el hecho de que im( f ) sea el núcleo de algún homomorfismo en H implica que es un subgrupo normal , lo que coincide con su clausura conjugada; por tanto, coker( f ) es isomorfo a la imagen H /im( f ) del siguiente morfismo. ${\textstyle C_{7}}$ ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$ ${\displaystyle A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$

Por el contrario, dada cualquier lista de secuencias exactas cortas superpuestas, sus términos medios forman una secuencia exacta de la misma manera.

Aplicaciones de secuencias exactas

En la teoría de las categorías abelianas, las secuencias exactas cortas se utilizan a menudo como un lenguaje conveniente para hablar de subobjetos y objetos factoriales.

El problema de extensión es esencialmente la pregunta "Dados los términos finales A y C de una secuencia corta y exacta, ¿qué posibilidades existen para el término medio B ?" En la categoría de grupos, esto equivale a la pregunta: ¿qué grupos B tienen A como subgrupo normal y C como grupo de factores correspondiente? Este problema es importante en la clasificación de grupos . Véase también Grupo de automorfismos externos .

Observe que en una secuencia exacta, la composición f _{i +1} ∘ f _i asigna Ai _a 0 en Ai ₊₂ , por lo que cada secuencia exacta es un complejo de _cadena . Además, sólo las _imágenes f _i de elementos de Ai se asignan a 0 mediante f _{i +1} , por lo que la homología de este complejo de cadenas es trivial. Más sucintamente:

Las secuencias exactas son precisamente aquellos complejos de cadenas que son acíclicos .

Por lo tanto, dado cualquier complejo de cadenas, su homología puede considerarse como una medida del grado en que no es exacto.

Si tomamos una serie de secuencias exactas cortas unidas por complejos de cadenas (es decir, una secuencia exacta corta de complejos de cadenas, o desde otro punto de vista, un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas), entonces podemos derivar de esto una secuencia exacta larga. secuencia (es decir, una secuencia exacta indexada por los números naturales) sobre homología mediante la aplicación del lema en zig-zag . Surge en topología algebraica en el estudio de la homología relativa ; la secuencia Mayer-Vietoris es otro ejemplo. Las secuencias exactas largas inducidas por secuencias exactas cortas también son características de los functores derivados .

Los funtores exactos son funtores que transforman secuencias exactas en secuencias exactas.

Referencias

Citas

1. "secuencia exacta en nLab, Observación 2.3". ncatlab.org . Consultado el 5 de septiembre de 2021 .
2. "Campo sin divergencias". 6 de diciembre de 2009.

Fuentes

• Spanier, Edwin Henry (1995). Topología algebraica . Berlín: Springer. pag. 179.ISBN​ 0-387-94426-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa: con miras a la geometría algebraica . Springer-Verlag Nueva York. pag. 785.ISBN​ 0-387-94269-6.