En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas , el lema de los cinco es un lema importante y ampliamente utilizado sobre diagramas conmutativos . El lema de los cinco no sólo es válido para categorías abelianas sino que también funciona en la categoría de grupos , por ejemplo.
Los cinco lemas pueden considerarse como una combinación de otros dos teoremas, los cuatro lemas , que son duales entre sí.
Considere el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo determinado ) o en la categoría de grupos .
El cinco lema establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.
Los dos cuatro lemas establecen:
El método de prueba que utilizaremos se denomina comúnmente búsqueda de diagramas . [1] Demostraremos los cinco lemas demostrando individualmente cada uno de los dos cuatro lemas.
Para realizar la búsqueda de diagramas, asumimos que estamos en una categoría de módulos sobre algún anillo , de modo que podemos hablar de elementos de los objetos en el diagrama y pensar en los morfismos del diagrama como funciones (de hecho, homomorfismos ) que actúan sobre esos elementos. Entonces un morfismo es un monomorfismo si y sólo si es inyectivo , y es un epimorfismo si y sólo si es sobreyectivo . De manera similar, para abordar la exactitud, podemos pensar en núcleos e imágenes en un sentido teórico de funciones. La prueba seguirá aplicándose a cualquier categoría abeliana (pequeña) debido al teorema de incrustación de Mitchell , que establece que cualquier categoría abeliana pequeña puede representarse como una categoría de módulos sobre algún anillo. Para la categoría de grupos, simplemente convierta toda la notación aditiva a continuación en notación multiplicativa y tenga en cuenta que nunca se usa la conmutatividad del grupo abeliano.
Entonces , para probar (1), supongamos que myp son sobreyectivos y q es inyectivo.
Luego, para probar (2), supongamos que m y p son inyectivos y l es sobreyectivo.
La combinación de los dos cuatro lemas ahora prueba los cinco lemas completos.
Los cinco lemas se aplican a menudo a secuencias largas y exactas : cuando se calcula la homología o cohomología de un objeto determinado, normalmente se emplea un subobjeto más simple cuya homología/cohomología se conoce y se llega a una secuencia larga y exacta que involucra los grupos de homología desconocidos del original. objeto. Esto por sí solo a menudo no es suficiente para determinar los grupos de homología desconocidos, pero si uno puede comparar el objeto original y el subobjeto con otros bien comprendidos mediante morfismos, entonces se induce un morfismo entre las respectivas secuencias largas y exactas, y entonces se pueden aplicar los cinco lemas. utilizarse para determinar los grupos de homología desconocidos.
