Lema de la serpiente

Teorema en álgebra homológica

El lema de la serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas , particularmente en álgebra homológica , para construir secuencias largas y exactas . El lema de la serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo en topología algebraica . Los homomorfismos construidos con su ayuda se denominan generalmente homomorfismos de conexión .

Declaración

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo determinado ), considere un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero .

Luego hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y los núcleos de a , b y c :

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

donde d es un homomorfismo, conocido como homomorfismo de conexión .

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo , y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es . ${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

Los granos aquí son: , , . ${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$

Explicación del nombre.

Para ver de dónde obtiene su nombre el lema de la serpiente, expanda el diagrama de arriba de la siguiente manera:

y luego la secuencia exacta que es la conclusión del lema se puede dibujar en este diagrama ampliado en la forma de "S" invertida de una serpiente deslizándose .

Construcción de los mapas.

Una animación de la construcción del mapa d.

Los mapas entre los núcleos y los mapas entre los cokernels son inducidos de manera natural por los mapas dados (horizontales) debido a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de las dos secuencias inducidas se deriva de forma directa de la exactitud de las filas del diagrama original. La afirmación importante del lema es que existe un homomorfismo conector d que completa la secuencia exacta.

En el caso de grupos o módulos abelianos sobre algún anillo , el mapa d se puede construir de la siguiente manera:

Elija un elemento x en ker  c y considérelo como un elemento de C ; dado que g es sobreyectivo , existe y en B con g ( y ) = x . Debido a la conmutatividad del diagrama, tenemos g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (ya que x está en el núcleo de c ), y por lo tanto b ( y ) está en el núcleo de g' . Como la fila inferior es exacta, encontramos un elemento z en A' con f  '( z ) = b ( y ). z es único por inyectividad de f  '. Luego definimos d ( x ) = z + im ( a ). Ahora hay que comprobar que d está bien definido (es decir, d ( x ) sólo depende de x y no de la elección de y ), que es un homomorfismo y que la secuencia larga resultante es efectivamente exacta. Se puede verificar rutinariamente la exactitud buscando diagramas (ver la prueba del Lema 9.1 en ^[1] ).

Una vez hecho esto, se demuestra el teorema para grupos o módulos abelianos sobre un anillo. Para el caso general, el argumento puede reformularse en términos de propiedades de flechas y cancelación en lugar de elementos. Alternativamente, se puede invocar el teorema de incrustación de Mitchell .

Naturalidad

En las aplicaciones, a menudo es necesario demostrar que las secuencias largas y exactas son "naturales" (en el sentido de transformaciones naturales ). Esto se desprende de la naturalidad de la secuencia producida por el lema de la serpiente.

Si

es un diagrama conmutativo con filas exactas, entonces el lema de la serpiente se puede aplicar dos veces, al "frente" y al "atrás", produciendo dos secuencias largas y exactas; estos están relacionados por un diagrama conmutativo de la forma

Ejemplo

Sea un campo, sea un espacio vectorial. es módulo por ser una transformación lineal, por lo que podemos tensar y over . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[t]}$ ${\displaystyle t:V\to V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$

Dada una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales , podemos inducir una secuencia exacta mediante la exactitud correcta del producto tensorial. Pero la secuencia no es exacta en general. De ahí que surja una pregunta natural. ¿Por qué esta secuencia no es exacta? ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$ ${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ ${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

Según el diagrama anterior, podemos inducir una secuencia exacta aplicando el lema de la serpiente. Por tanto, el lema de la serpiente refleja la falta de exactitud del producto tensorial. ${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

En la categoría de grupos.

Si bien muchos resultados del álgebra homológica, como el lema de los cinco o el lema de los nueve , son válidos tanto para las categorías abelianas como para la categoría de grupos, el lema de la serpiente no. De hecho, los granos de café arbitrarios no existen. Sin embargo, se pueden reemplazar los cokernels por clases laterales (izquierdas) , y . Entonces aún se puede definir el homomorfismo conector y se puede escribir una secuencia como en el enunciado del lema de la serpiente. Esto siempre será un complejo de cadenas, pero puede que no sea exacto. Sin embargo, se puede afirmar la exactitud cuando las secuencias verticales en el diagrama son exactas, es decir, cuando las imágenes de a , b y c son subgrupos normales . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle A'/\operatorname {im} a}$ ${\displaystyle B'/\operatorname {im} b}$ ${\displaystyle C'/\operatorname {im} c}$

Contraejemplo

Considere el grupo alterno : este contiene un subgrupo isomorfo al grupo simétrico , que a su vez puede escribirse como un producto semidirecto de grupos cíclicos : . ^[2] Esto da lugar al siguiente diagrama con filas exactas: ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}\simeq C_{3}\rtimes C_{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&1&\to &C_{3}&\to &C_{3}&\to 1\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1\to &1&\to &S_{3}&\to &A_{5}\end{matrix}}}$

Tenga en cuenta que la columna del medio no es exacta: no es un subgrupo normal en el producto semidirecto. ${\displaystyle C_{2}}$

Como es simple , la flecha vertical derecha tiene un cokernel trivial. Mientras tanto, el grupo cociente es isomorfo a . Por lo tanto, la secuencia en el enunciado del lema de la serpiente es ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{3}/C_{3}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow C_{2}\longrightarrow 1}$,

que de hecho no llega a ser exacto.

En la cultura popular

La prueba del lema de la serpiente la enseña el personaje de Jill Clayburgh al comienzo de la película de 1980 It's My Turn . ^[3]

Ver también

• Lema en zig-zag

Referencias

1. Lang 2002, pag. 159
2. "Extensiones de C2 por C3". Nombres de grupo . Consultado el 6 de noviembre de 2021 .
3. Schochet, CL (1999). "El lema topológico de la serpiente y las álgebras de corona" (PDF) . Revista de Matemáticas de Nueva York . 5 : 131–7. CiteSeerX 10.1.1.73.1568 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022. 

• Lang, Serge (2002). "III §9 El lema de la serpiente". Álgebra (3ª ed.). Saltador. págs. 157–9. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Addison-Wesley. ISBN 0-201-00361-9.
• Hilton, P.; Stammbach, U. (1997). Un curso de álgebra homológica . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador. pag. 99.ISBN _ 0-387-94823-6.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Lema de la serpiente". MundoMatemático .
• Lema de la serpiente en PlanetMath
• Prueba del lema de la serpiente en la película Es mi turno