Lema en zigzag

En una secuencia exacta y larga particular en los grupos de homología de ciertos complejos de cadena

En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , el lema del zigzag afirma la existencia de una secuencia exacta y larga particular en los grupos de homología de ciertos complejos de cadenas . El resultado es válido en todas las categorías abelianas .

Declaración

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ), sean y complejos de cadena que encajan en la siguiente secuencia exacta corta : ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }')}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}\mathrel {\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }} {\mathcal {B}}\mathrel {\stackrel {\beta }{\longrightarrow }} {\mathcal {C}}\longrightarrow 0}$

Esta secuencia es una abreviatura del siguiente diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y cada columna es un complejo de cadena .

El lema del zigzag afirma que existe una colección de mapas de límites

${\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}$

Esto hace que la siguiente secuencia sea exacta:

Los mapas y son los mapas habituales inducidos por homología. Los mapas de contorno se explican a continuación. El nombre del lema surge del comportamiento en "zigzag" de los mapas en la secuencia. Una versión variante del lema en zigzag se conoce comúnmente como " lema de la serpiente " (extrae la esencia de la prueba del lema en zigzag que se da a continuación). ${\displaystyle \alpha _{*}^{}}$ ${\displaystyle \beta _{*}^{}}$ ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$

Construcción de los mapas de límites

Los mapas se definen utilizando un diagrama estándar que persigue argumentos. Sea que represente una clase en , por lo que . La exactitud de la fila implica que es sobreyectiva, por lo que debe haber alguna con . Por conmutatividad del diagrama, ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$ ${\displaystyle \beta _{n}^{}}$ ${\displaystyle b\in B_{n}}$ ${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.}$

Por exactitud,

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \;\alpha _{n-1}.}$

Por lo tanto, como es inyectiva, existe un único elemento tal que . Esto es un ciclo, ya que es inyectiva y ${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$ ${\displaystyle a\in A_{n-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$ ${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,}$

ya que . Es decir, . Esto significa que es un ciclo, por lo que representa una clase en . Ahora podemos definir ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a].}$

Con los mapas de límites definidos, se puede demostrar que están bien definidos (es decir, independientemente de las opciones de c y b ). La prueba utiliza argumentos de búsqueda de diagramas similares a los anteriores. Dichos argumentos también se utilizan para demostrar que la secuencia en homología es exacta en cada grupo.

Véase también

• Secuencia de Mayer-Vietoris

Referencias

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• Munkres, James R. (1993). Elementos de topología algebraica . Nueva York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.