Secuencia de Mayer-Vietoris

Herramienta algebraica para calcular invariantes de espacios topológicos.

En matemáticas , particularmente en topología algebraica y teoría de la homología , la secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta algebraica para ayudar a calcular invariantes algebraicos de espacios topológicos , conocidos como sus grupos de homología y cohomología . El resultado se debe a dos matemáticos austriacos , Walther Mayer y Leopold Vietoris . El método consiste en dividir un espacio en subespacios , para los cuales los grupos de homología o cohomología pueden ser más fáciles de calcular. La secuencia relaciona los grupos de (co)homología del espacio con los grupos de (co)homología de los subespacios. Es una secuencia natural larga y exacta , cuyas entradas son los grupos de (co)homología de todo el espacio, la suma directa de los grupos de (co)homología de los subespacios y los grupos de (co)homología de la intersección de los subespacios.

La secuencia de Mayer-Vietoris es válida para una variedad de teorías de cohomología y homología , incluida la homología simple y la cohomología singular . En general, la secuencia es válida para aquellas teorías que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod , y tiene variaciones tanto para la (co)homología reducida como para la relativa . Debido a que la (co)homología de la mayoría de los espacios no se puede calcular directamente a partir de sus definiciones, se utilizan herramientas como la secuencia de Mayer-Vietoris con la esperanza de obtener información parcial. Muchos espacios que se encuentran en topología se construyen uniendo parches muy simples. Elegir cuidadosamente los dos subespacios de cobertura para que, junto con su intersección, tengan (co)homología más simple que la de todo el espacio puede permitir una deducción completa de la (co)homología del espacio. En ese sentido, la secuencia de Mayer-Vietoris es análoga al teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental , y existe una relación precisa para la homología de dimensión uno.

Antecedentes, motivación e historia.

Leopold Vietoris en su 110 cumpleaños

De manera similar al grupo fundamental o los grupos de homotopía superior de un espacio, los grupos de homología son invariantes topológicos importantes. Aunque algunas teorías de (co)homología son computables utilizando herramientas de álgebra lineal , muchas otras teorías de (co)homología importantes, especialmente la (co)homología singular, no son computables directamente a partir de su definición de espacios no triviales. Para la (co)homología singular, los grupos de (co)cadenas y (co)ciclos singulares suelen ser demasiado grandes para manejarlos directamente. Se hacen necesarios enfoques más sutiles e indirectos. La secuencia de Mayer-Vietoris es un enfoque de este tipo, que brinda información parcial sobre los grupos de (co)homología de cualquier espacio al relacionarlo con los grupos de (co)homología de dos de sus subespacios y su intersección.

La forma más natural y conveniente de expresar la relación implica el concepto algebraico de secuencias exactas : secuencias de objetos (en este caso grupos ) y morfismos (en este caso homomorfismos de grupo ) entre ellos de manera que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del próximo. En general, esto no permite calcular completamente los grupos de (co)homología de un espacio. Sin embargo, debido a que muchos espacios importantes que se encuentran en topología son variedades topológicas , complejos simpliciales o complejos CW , que se construyen uniendo parches muy simples, un teorema como el de Mayer y Vietoris tiene potencialmente una aplicabilidad amplia y profunda.

Mayer conoció la topología gracias a su colega Vietoris cuando asistía a sus conferencias en 1926 y 1927 en una universidad local de Viena . ^[1] Le informaron sobre el resultado conjeturado y una forma de resolverlo, y resolvió la cuestión de los números de Betti en 1929. ^[2] Aplicó sus resultados al toro considerado como la unión de dos cilindros. ^{[3] [4]} Vietoris demostró más tarde el resultado completo de los grupos de homología en 1930, pero no lo expresó como una secuencia exacta. ^[5] El concepto de secuencia exacta sólo apareció impreso en el libro de 1952 Foundations of Algebraic Topology de Samuel Eilenberg y Norman Steenrod , ^[6] donde los resultados de Mayer y Vietoris se expresaron en la forma moderna. ^[7]

Versiones básicas para homología singular.

Sean X un espacio topológico y A , B dos subespacios cuyos interiores cubren X. (Los interiores de A y B no necesitan estar separados). La secuencia de Mayer-Vietoris en homología singular para la tríada ( X , A , B ) es una secuencia larga y exacta que relaciona los grupos de homología singulares (con el grupo de coeficientes los números enteros Z ) de los espacios X , A , B y la intersección A ∩ B . ^[8] Existe una versión reducida y otra no reducida.

Versión no reducida

Para una homología no reducida, la secuencia de Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta: ^[9]

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

Aquí , y son mapas de inclusión y denotan la suma directa de grupos abelianos . ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

mapa de límites

Ilustración del mapa de límites ∂ _∗ en el toro donde el ciclo 1 x = u + v es la suma de dos cadenas 1 cuyo límite se encuentra en la intersección de A y B.

Los mapas de límites ∂ _∗ que reducen la dimensión se pueden definir de la siguiente manera. ^[10] Un elemento en H _n ( X ) es la clase de homología de un n -ciclo x que, por subdivisión baricéntrica, por ejemplo, puede escribirse como la suma de dos n -cadenas u y v cuyas imágenes se encuentran completamente en A y B , respectivamente. Por lo tanto, ∂ x = ∂ ( u + v ) = 0, de modo que ∂ u = −∂ v . Esto implica que las imágenes de ambos ciclos límite ( n − 1 ) están contenidas en la intersección A ∩ B . Entonces ∂ _∗ ([ x ]) se puede definir como la clase de ∂ u en H _{n −1} ( A ∩ B ). Elegir otra descomposición x = u′ + v′ no afecta [∂ u ], ya que ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u′ + ∂ v′ , lo que implica ∂ u − ∂ u′ = ∂( v′ − v ), y por lo tanto ∂ u y ∂ u′ se encuentran en la misma clase de homología; tampoco elegir un representante diferente x′ , ya que entonces ∂ x′ = ∂ x = 0. Observe que los mapas en la secuencia de Mayer-Vietoris dependen de la elección de un orden para A y B. En particular, el mapa de límites cambia de signo si se intercambian A y B.

Versión reducida

Para homología reducida también existe una secuencia de Mayer-Vietoris, bajo el supuesto de que A y B tienen una intersección no vacía . ^[11] La secuencia es idéntica para dimensiones positivas y termina como:

${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}$

Analogía con el teorema de Seifert-van Kampen

Existe una analogía entre la secuencia de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homología de dimensión 1) y el teorema de Seifert-van Kampen . ^{[10] [12]} Siempre que está conectado por caminos , la secuencia reducida de Mayer-Vietoris produce el isomorfismo ${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})}$

donde, por exactitud,

${\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).}$

Éste es precisamente el enunciado abelianizado del teorema de Seifert-van Kampen. Compárese con el hecho de que es la abelianización del grupo fundamental cuando está conectado por camino. ^[13] ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones básicas

k -esfera

La descomposición para X = S ²

Para calcular completamente la homología de la k -esfera X = S ^k , sean A y B dos hemisferios de X con homotopía de intersección equivalente a una esfera ecuatorial de ( k − 1) dimensión. Dado que los hemisferios k -dimensionales son homeomorfos a los k -discos, que son contráctiles , los grupos de homología para A y B son triviales . La secuencia de Mayer-Vietoris para grupos de homología reducida produce entonces

${\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }$

La exactitud implica inmediatamente que el mapa ∂ _* es un isomorfismo. Utilizando la homología reducida de la esfera 0 (dos puntos) como caso base , se sigue ^[14]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}}$

donde δ es el delta de Kronecker . Una comprensión tan completa de los grupos de homología para esferas contrasta marcadamente con el conocimiento actual de los grupos de homotopía de esferas , especialmente para el caso n > k sobre el cual se sabe poco. ^[15]

botella klein

La botella de Klein ( polígono fundamental con identificaciones de bordes apropiadas) descompuesta en dos tiras de Möbius A (en azul) y B (en rojo).

Una aplicación un poco más difícil de la secuencia de Mayer-Vietoris es el cálculo de los grupos de homología de la botella de Klein X. Se utiliza la descomposición de X como la unión de dos tiras de Möbius A y B pegadas a lo largo de su círculo límite (ver ilustración a la derecha). Entonces A , B y su intersección A ∩ B son homotópicamente equivalentes a círculos, por lo que la parte no trivial de la secuencia produce ^[16]

${\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0}$

y la parte trivial implica una homología que desaparece para dimensiones mayores que 2. El mapa central α envía 1 a (2, −2) ya que el círculo límite de una banda de Möbius gira dos veces alrededor del círculo central. En particular, α es inyectivo , por lo que la homología de la dimensión 2 también desaparece. Finalmente, eligiendo (1, 0) y (1, −1) como base para Z ² , se sigue

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}}$

Sumas de cuña

Esta descomposición de la suma de cuña X de dos 2 esferas K y L produce todos los grupos de homología de X.

Sea X la suma de cuña de dos espacios K y L , y supongamos además que el punto base identificado es una retracción de deformación de vecindades abiertas U ⊆ K y V ⊆ L. Dejando A = K ∪ V y B = U ∪ L se sigue que A ∪ B = X y A ∩ B = U ∪ V , que es contráctil por construcción. La versión reducida de la secuencia produce (por exactitud) ^[17]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}$

para todas las dimensiones n . La ilustración de la derecha muestra X como la suma de dos 2 esferas K y L. Para este caso específico, usando el resultado anterior para 2 esferas, se tiene

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2,\\0&{\mbox{if }}n\neq 2.\end{matrix}}\right.}$

suspensiones

Esta descomposición de la suspensión X de la esfera 0 Y produce todos los grupos de homología de X.

Si X es la suspensión SY de un espacio Y , sean A y B los complementos en X de los 'vértices' superior e inferior del doble cono, respectivamente. Entonces X es la unión A ∪ B , siendo A y B contráctiles. Además, la intersección A ∩ B es homotópica equivalente a Y . Por tanto, la secuencia de Mayer-Vietoris produce, para todo n , ^[18]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}$

La ilustración de la derecha muestra la X de 1 esfera como suspensión de la Y de 0 esferas . Teniendo en cuenta en general que la k -esfera es la suspensión de la ( k − 1) -esfera, es fácil derivar los grupos de homología de la k -esfera por inducción, como se indicó anteriormente.

Más discusión

forma relativa

También existe una forma relativa de la secuencia de Mayer-Vietoris. Si Y ⊂ X y es la unión de los interiores de C ⊂ A y D ⊂ B , entonces la secuencia exacta es: ^[19]

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }$

Naturalidad

Los grupos de homología son naturales en el sentido de que si es un mapa continuo , entonces hay un mapa canónico de avance de grupos de homología tal que la composición de los avances es el avance de una composición: es decir, la secuencia de Mayer-Vietoris también es natural en la sensación de que si ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})}$ ${\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}}$,

luego, el morfismo conector de la secuencia Mayer-Vietoris conmuta con . ^[20] Es decir, el siguiente diagrama conmuta ^[21] (los mapas horizontales son los habituales): ${\displaystyle \partial _{*},}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}$

Versiones cohomológicas

La secuencia exacta larga de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singulares con grupo de coeficientes G es dual a la versión homológica. Es el siguiente: ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots }$

donde los mapas que preservan la dimensión son mapas de restricción inducidos a partir de inclusiones, y los mapas (co)límites se definen de manera similar a la versión homológica. También hay una formulación relativa.

Como caso especial importante cuando G es el grupo de números reales R y el espacio topológico subyacente tiene la estructura adicional de una variedad suave , la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham es

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots }$

donde { U , V } es una cubierta abierta de X, ρ denota el mapa de restricción y Δ es la diferencia. El mapa se define de manera similar al mapa de arriba. Se puede describir brevemente de la siguiente manera. Para una clase de cohomología [ ω ] representada por la forma cerrada ω en U ∩ V , exprese ω como una diferencia de formas a través de una partición de unidad subordinada a la cubierta abierta { U , V } , por ejemplo. La derivada exterior dω _U y dω _V concuerdan en U ∩ V y por lo tanto juntas definen una forma n + 1 σ en X . Entonces se tiene d ^∗ ([ ω ]) = [ σ ] . ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle \partial _{*}}$ ${\displaystyle \omega _{U}-\omega _{V}}$

Para la cohomología de De Rham con soportes compactos, existe una versión "invertida" de la secuencia anterior:

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots }$

donde , son como arriba, es el mapa de inclusión con signo donde extiende una forma con soporte compacto a una forma por cero, y es la suma. ^[23] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )}$ ${\displaystyle i^{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Derivación

Considere la secuencia exacta larga asociada a las secuencias exactas cortas de grupos de cadenas (grupos constituyentes de complejos de cadenas )

${\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0}$,

donde α( x ) = ( x , − x ), β( x , y ) = x + y , y C _n ( A + B ) es el grupo de cadenas que consta de sumas de cadenas en A y cadenas en B . ^[9] Es un hecho que los n -símplices singulares de X cuyas imágenes están contenidas en A o B generan todo el grupo de homología H _n ( X ). ^[24] En otras palabras, H _n ( A + B ) es isomorfo a H _n ( X ). Esto da la secuencia de Mayer-Vietoris para homología singular.

El mismo cálculo se aplicó a las secuencias cortas exactas de espacios vectoriales de formas diferenciales.

${\displaystyle 0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0}$

produce la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham. ^[25]

Desde un punto de vista formal, la secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para las teorías de homología utilizando la secuencia larga exacta en homología . ^[26]

Otras teorías de homología

La derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris a partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod no requiere el axioma de dimensión , ^[27] por lo que, además de existir en las teorías de cohomología ordinaria , se cumple en las teorías de cohomología extraordinarias (como la teoría K topológica y el cobordismo ). .

Cohomología de la gavilla

Desde el punto de vista de la cohomología de la gavilla , la secuencia de Mayer-Vietoris está relacionada con la cohomología de Čech . Específicamente, surge de la degeneración de la secuencia espectral que relaciona la cohomología de Čech con la cohomología de gavilla (a veces llamada secuencia espectral de Mayer-Vietoris) en el caso en que la cubierta abierta utilizada para calcular la cohomología de Čech consta de dos conjuntos abiertos. ^[28] Esta secuencia espectral existe en topoi arbitrarios . ^[29]

Ver también

• Teorema de escisión
• Lema en zig-zag

Notas

1. Hirzebruch 1999
2. Mayer 1929
3. Dieudonné 1989, pag. 39
4. Mayer 1929, pag. 41
5. Vietoris 1930
6. Corry 2004, pag. 345
7. Eilenberg y Steenrod 1952, teorema 15.3
8. Eilenberg y Steenrod 1952, §15
9. Hatcher 2002, pág. 149
10. Hatcher 2002, pág. 150
11. Español 1966, pag. 187
12. Massey 1984, pag. 240
13. Hatcher 2002, Teorema 2A.1, pág. 166
14. Hatcher 2002, ejemplo 2.46, pág. 150
15. Hatcher 2002, pag. 384
16. Hatcher 2002, pag. 151
17. Hatcher 2002, ejercicio 31 en la página 158
18. Hatcher 2002, ejercicio 32 en la página 158
19. Hatcher 2002, pag. 152
20. Massey 1984, pag. 208
21. Eilenberg y Steenrod 1952, teorema 15.4
22. Hatcher 2002, pag. 203
23. Bott, Raoul (16 de mayo de 1995). Formas diferenciales en topología algebraica. Tu, Loring W. Nueva York. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC  7597142.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
24. Hatcher 2002, Proposición 2.21, p. 119
25. Bott y Tu 1982, §I.2
26. Hatcher 2002, pag. 162
27. Kōno y Tamaki 2006, págs. 25-26
28. Dimca 2004, págs. 35-36
29. Verdier 1972 (SGA 4.V.3)

Referencias

• Bott, Raúl ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
• Corry, Leo (2004), Álgebra moderna y el auge de las estructuras matemáticas , Birkhäuser, p. 345, ISBN 3-7643-7002-5.
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• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Fundamentos de la topología algebraica , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07965-3.
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• Massey, William (1984), Topología algebraica: una introducción , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90271-5.
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Otras lecturas

• Reitberger, Heinrich (2002), "Leopold Vietoris (1891-2002)" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 49 (20), ISSN  0002-9920.