Empuje hacia adelante (homología)

En topología algebraica , el avance de una función continua  : entre dos espacios topológicos es un homomorfismo entre los grupos de homología para . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

La homología es un funtor que convierte un espacio topológico en una secuencia de grupos de homología . (A menudo, se hace referencia a la colección de todos estos grupos utilizando la notación ; esta colección tiene la estructura de un anillo graduado ). En cualquier categoría , un funtor debe inducir un morfismo correspondiente . El impulso hacia delante es el morfismo correspondiente al funtor de homología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}\left(X\right)}$ ${\displaystyle H_{*}\left(X\right)}$

Definición de homología singular y simplicial

Construimos el homomorfismo pushforward de la siguiente manera (para homología singular o simplicial ):

En primer lugar, el mapa induce un homomorfismo entre el complejo de cadena singular o simplicial y definido al componer cada n- símplex singular con para obtener un n-símplex singular de , , y extendiéndolo linealmente a través de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle C_{n}\left(X\right)}$ ${\displaystyle C_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{X}\colon \Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{\#}\left(\sigma _{X}\right)=f\sigma _{X}\colon \Delta ^{n}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{\#}\left(\sum _{t}n_{t}\sigma _{t}\right)=\sum _{t}n_{t}f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)}$

Los mapas satisfacen donde es el operador de límite entre grupos de cadenas, por lo que define un mapa de cadena . ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}\left(X\right)\rightarrow C_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle f_{\#}\partial =\partial f_{\#}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \partial f_{\#}}$

Por lo tanto, convierte los ciclos en ciclos, ya que implica . También convierte los límites en límites ya que . ${\displaystyle f_{\#}}$ ${\displaystyle \partial \alpha =0}$ ${\displaystyle \partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0}$ ${\displaystyle f_{\#}}$ ${\displaystyle f_{\#}\left(\partial \beta \right)=\partial f_{\#}\left(\beta \right)}$

Por lo tanto, se induce un homomorfismo entre los grupos de homología para . ${\displaystyle f_{\#}}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Propiedades e invariancia de homotopía

Las dos propiedades básicas del empuje hacia adelante son:

1. ${\displaystyle \left(f\circ g\right)_{*}=f_{*}\circ g_{*}}$para la composición de mapas . ${\displaystyle X{\overset {g}{\rightarrow }}Y{\overset {f}{\rightarrow }}Z}$
2. ${\displaystyle \left({\text{id}}_{X}\right)_{*}={\text{id}}}$donde  : se refiere a la función identidad de y se refiere al isomorfismo identidad de los grupos de homología. ${\displaystyle {\text{id}}_{X}}$ ${\displaystyle X\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{id}}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(X\right)}$

(Esto demuestra la funcionalidad del empuje hacia adelante.)

Un resultado principal del empuje hacia adelante es la invariancia de homotopía : si dos mapas son homotópicos , entonces inducen el mismo homomorfismo . ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{*}=g_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$

Esto implica inmediatamente (por las propiedades anteriores) que los grupos de homología de los espacios equivalentes de homotopía son isomorfos: los mapas inducidos por una equivalencia de homotopía son isomorfismos para todos los . ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Retroceso (cohomología)

Referencias

• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0