Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Propiedades que tienen en común las teorías de homología de espacios topológicos

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , los axiomas de Eilenberg-Steenrod son propiedades que tienen en común las teorías de homología de espacios topológicos . El ejemplo por excelencia de una teoría de homología que satisface los axiomas es la homología singular , desarrollada por Samuel Eilenberg y Norman Steenrod .

Se puede definir una teoría de homología como una secuencia de funtores que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod. El enfoque axiomático, que se desarrolló en 1945, permite probar resultados, como la secuencia de Mayer-Vietoris , que son comunes a todas las teorías de homología que satisfacen los axiomas. ^[1]

Si se omite el axioma de la dimensión (que se describe a continuación), entonces los axiomas restantes definen lo que se llama una teoría de homología extraordinaria . Las extraordinarias teorías de cohomología surgieron por primera vez en la teoría K y el cobordismo .

Definicion formal

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod se aplican a una secuencia de functores desde la categoría de pares de espacios topológicos hasta la categoría de grupos abelianos , junto con una transformación natural llamada mapa de límites (aquí hay una abreviatura de ). Los axiomas son: ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle \partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$ ${\displaystyle H_{i-1}(A)}$ ${\displaystyle H_{i-1}(A,\varnothing )}$

1. Homotopía : los mapas homotópicos inducen el mismo mapa en homología. Es decir, si es homotópico de , entonces sus homomorfismos inducidos son los mismos. ${\displaystyle g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$ ${\displaystyle h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$
2. Escisión : sies un par y U es un subconjunto de A tal que el cierre de U está contenido en el interior de A , entonces el mapa de inclusióninduce un isomorfismo en la homología. ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle i\colon (X\setminus U,A\setminus U)\to (X,A)}$
3. Dimensión : Sea P el espacio de un punto; entonces para todos . ${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$
4. Aditividad : Si , la unión disjunta de una familia de espacios topológicos , entonces ${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$
5. Exactitud : Cada par (X, A) induce una secuencia exacta larga en homología, a través de las inclusiones y : ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle j\colon X\to (X,A)}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\,{\xrightarrow {i_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {j_{*}}}\,H_{n}(X,A)\,{\xrightarrow {\partial }}\,H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

Si P es el espacio de un punto, entonces se llama grupo de coeficientes . Por ejemplo, la homología singular (tomada con coeficientes enteros, como es más común) tiene como coeficientes los números enteros. ${\displaystyle H_{0}(P)}$

Consecuencias

Algunos hechos sobre los grupos de homología se pueden derivar directamente de los axiomas, como el hecho de que los espacios homotópicamente equivalentes tienen grupos de homología isomórficos.

La homología de algunos espacios relativamente simples, como las n-esferas , se puede calcular directamente a partir de los axiomas. A partir de esto se puede demostrar fácilmente que la ( n  − 1 ) -esfera no es una retracción del n -disco. Esto se utiliza en una demostración del teorema del punto fijo de Brouwer .

Axioma de dimensión

Una teoría "similar a una homología" que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de dimensión se denomina teoría de homología extraordinaria (doble, teoría de cohomología extraordinaria ). En la década de 1950 se encontraron ejemplos importantes de estos, como la teoría K topológica y la teoría del cobordismo , que son teorías de cohomología extraordinarias y vienen con teorías de homología duales.

Ver también

• Lema en zig-zag

Notas

1. Weibel, Charles A. (1999). "Historia del álgebra homológica". En James, IM (ed.). Historia de la Topología . Ámsterdam: Elsevier. págs. 797–836. ISBN 0-444-82375-1.

Referencias

• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1945). "Enfoque axiomático de la teoría de la homología". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 31 (4): 117–120. Código bibliográfico : 1945PNAS...31..117E. doi : 10.1073/pnas.31.4.117 . SEÑOR  0012228. PMC  1078770 . PMID  16578143.
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1952). Fundamentos de topología algebraica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . SEÑOR  0050886.
• Bredon, Glen (1993). Topología y Geometría . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 139. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6848-0. ISBN 0-387-97926-3. SEÑOR  1224675.