Teoría K topológica

Rama de la topología algebraica

En matemáticas , la teoría K topológica es una rama de la topología algebraica . Fue fundado para estudiar haces de vectores en espacios topológicos , mediante ideas ahora reconocidas como teoría K (general) que fueron introducidas por Alexander Grothendieck . Los primeros trabajos sobre la teoría K topológica se deben a Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch .

Definiciones

Sea X un espacio compacto de Hausdorff y o . Entonces se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de clases de isomorfismo de haces de k -vectores de dimensión finita sobre X bajo la suma de Whitney . El producto tensorial de haces le da a la teoría K una estructura de anillo conmutativa . Sin subíndices, normalmente denota teoría K compleja, mientras que la teoría K real a veces se escribe como . El resto de la discusión se centra en la teoría K compleja . ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K_{k}(X)}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle KO(X)}$

Como primer ejemplo, observe que la teoría K de un punto son los números enteros. Esto se debe a que los paquetes de vectores sobre un punto son triviales y, por lo tanto, se clasifican por su rango y el grupo de Grothendieck de los números naturales son los números enteros.

También hay una versión reducida de la teoría K , definida para X un espacio puntiagudo compacto (cf. homología reducida ). Esta teoría reducida es intuitivamente paquetes triviales de módulo K ( X ) . Se define como el grupo de clases de paquetes de equivalencia estable. Se dice que dos paquetes E y F son isomorfos estables si hay paquetes triviales y , de modo que . Esta relación de equivalencia da como resultado un grupo, ya que cada paquete de vectores se puede completar en un paquete trivial sumando con su complemento ortogonal. Alternativamente, puede definirse como el núcleo del mapa inducido por la inclusión del punto base x ₀ en X . ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ ${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$

La teoría K forma una teoría de cohomología multiplicativa (generalizada) de la siguiente manera. La secuencia exacta corta de un par de espacios puntiagudos ( X , A )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

se extiende a una secuencia larga y exacta

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Sea S ⁿ la enésima suspensión reducida de un espacio y luego defina

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Se eligen índices negativos para que los mapas de colímites aumenten de dimensión.

A menudo resulta útil tener una versión no reducida de estos grupos, simplemente definiendo:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Aquí se muestra un punto base separado con la etiqueta '+' adjunto. ^[1] ${\displaystyle X_{+}}$ ${\displaystyle X}$

Finalmente, el teorema de periodicidad de Bott , tal como se formula a continuación, extiende las teorías a números enteros positivos.

Propiedades

• ${\displaystyle K^{n}}$(respectivamente, ) es un funtor contravariante de la categoría de homotopía de espacios (puntiagudos) a la categoría de anillos conmutativos. Así, por ejemplo, la teoría K sobre espacios contráctiles siempre es ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• El espectro de la teoría K es (con la topología discreta en ), es decir, donde [,] denota clases de homotopía puntuales y BU es el colímite de los espacios de clasificación de los grupos unitarios : de manera similar, ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(X)\cong \left[X_{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$
  $${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$
  Para la teoría K real , utilice BO .
• Existe un homomorfismo de anillo natural , el carácter de Chern , de modo que es un isomorfismo. ${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$ ${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$
• El equivalente de las operaciones de Steenrod en la teoría K son las operaciones de Adams . Se pueden utilizar para definir clases de características en la teoría K topológica .
• El principio de división de la teoría K topológica permite reducir afirmaciones sobre haces de vectores arbitrarios a afirmaciones sobre sumas de haces de líneas.
• El teorema del isomorfismo de Thom en la teoría K topológica es
  $${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$
  donde T ( E ) es el espacio Thom del paquete de vectores E sobre X . Esto es válido siempre que E sea un paquete de espines.
• La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch permite el cálculo de grupos K a partir de grupos de cohomología ordinarios.
• La teoría K topológica se puede generalizar ampliamente a un funtor en álgebras C* , consulte la teoría K del operador y la teoría KK .

Periodicidad del bot

El fenómeno de la periodicidad que lleva el nombre de Raoul Bott (ver teorema de la periodicidad de Bott ) se puede formular de esta manera:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$y donde H es la clase del paquete tautológico, es decir , en la esfera de Riemann . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$
• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

En la teoría K real existe una periodicidad similar, pero de módulo 8.

Aplicaciones

Las dos aplicaciones más famosas de la teoría K topológica se deben a Frank Adams . Primero resolvió el problema del invariante uno de Hopf haciendo un cálculo con sus operaciones de Adams . Luego demostró un límite superior para el número de campos vectoriales linealmente independientes en esferas .

personaje negro

Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch demostraron un teorema que relaciona la teoría K topológica de un complejo CW finito con su cohomología racional. En particular, demostraron que existe un homomorfismo ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Existe un análogo algebraico que relaciona el grupo de Grothendieck de haces coherentes y el anillo de Chow de una variedad proyectiva suave . ${\displaystyle X}$

Ver también

• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (herramienta computacional para encontrar grupos de teoría K)
• teoría KR
• Teorema del índice Atiyah-Singer
• teorema de snaith
• Teoría K algebraica

Referencias

1. Nacedor. Paquetes de vectores y teoría K (PDF) . pag. 57 . Consultado el 27 de julio de 2017 .

• Atiyah, Michael Francis (1989). Teoría K. Clásicos del libro avanzado (2ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. SEÑOR  1043170.
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Manual de teoría K. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. SEÑOR  2182598.
• Karoubi, Max (1978). Teoría K: una introducción . Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : matemáticas/0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Paquetes de vectores y teoría K".
• Stykow, Maxim (2013). "Conexiones de la teoría K con la geometría y la topología".