Álgebra de Steenrod

Topología algebraica

En topología algebraica , Henri Cartan (1955) definió un álgebra de Steenrod  como el álgebra de operaciones de cohomología estable para la cohomología mod . ${\displaystyle p}$

Para un número primo dado , el álgebra de Steenrod es el álgebra de Hopf graduada sobre el cuerpo de orden , que consiste en todas las operaciones de cohomología estables para la cohomología mod . Se genera por los cuadrados de Steenrod introducidos por Norman Steenrod (1947) para , y por las potencias th reducidas de Steenrod introducidas en Steenrod (1953a, 1953b) y el homomorfismo de Bockstein para . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

El término "álgebra de Steenrod" también se utiliza a veces para el álgebra de operaciones de cohomología de una teoría de cohomología generalizada .

Operaciones de cohomología

Una operación de cohomología es una transformación natural entre funtores de cohomología. Por ejemplo, si tomamos una cohomología con coeficientes en un anillo , la operación de elevar al cuadrado el producto de copa produce una familia de operaciones de cohomología: ${\displaystyle R}$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

Las operaciones de cohomología no necesitan ser homomorfismos de anillos graduados; consulte la fórmula de Cartan a continuación.

Estas operaciones no conmutan con la suspensión , es decir, son inestables. (Esto se debe a que si es una suspensión de un espacio , el producto de copa en la cohomología de es trivial). Steenrod construyó operaciones estables ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

para todos los mayores que cero. La notación y su nombre, los cuadrados de Steenrod, provienen del hecho de que el cuadrado de copa está restringido a las clases de grado . Existen operaciones análogas para los coeficientes primarios impares, generalmente denotadas y llamadas operaciones de potencia reducida: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Sq}$ ${\displaystyle Sq^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

Generar un álgebra graduada conectada sobre , donde la multiplicación se da por composición de operaciones. Esta es el álgebra de Steenrod mod 2. En el caso , el álgebra de Steenrod mod se genera por y la operación de Bockstein asociada a la secuencia exacta corta ${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$.

En el caso , el elemento Bockstein es y la potencia reducida es . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle Sq^{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$

Como un anillo de cohomología

Podemos resumir las propiedades de las operaciones de Steenrod como generadores en el anillo de cohomología de los espectros de Eilenberg-Maclane

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}$,

ya que hay un isomorfismo

${\displaystyle {\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}$

dando una descomposición de suma directa de todas las posibles operaciones de cohomología con coeficientes en . Nótese que el límite inverso de los grupos de cohomología aparece porque es un cálculo en el rango estable de los grupos de cohomología de los espacios de Eilenberg-Maclane. Este resultado ^[1] fue calculado originalmente ^[2] por Cartan (1954–1955, p. 7) y Serre (1953). ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Obsérvese que hay una caracterización dual ^[3] que utiliza homología para el álgebra de Steenrod dual .

Observación sobre la generalización de teorías de cohomología generalizadas

Debe observarse que si el espectro de Eilenberg-Maclane se reemplaza por un espectro arbitrario , entonces hay muchos desafíos para estudiar el anillo de cohomología . En este caso, se debe considerar en cambio el álgebra dual generalizada de Steenrod porque tiene propiedades mucho mejores y se puede estudiar de manera manejable en muchos casos (como ). ^[4] De hecho, estos espectros de anillo son conmutativos y los bimódulos son planos. En este caso, se trata de una coacción canónica de en para cualquier espacio , de modo que esta acción se comporta bien con respecto a la categoría de homotopía estable, es decir, hay un isomorfismo, por lo tanto, podemos usar la unidad del espectro del anillo para obtener una coacción de en . ${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}}$$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}$$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$

Caracterización axiomática

Norman Steenrod y David BA Epstein (1962) demostraron que los cuadrados de Steenrod se caracterizan por los siguientes 5 axiomas: ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$

1. Naturalidad: es un homomorfismo aditivo y es natural con respecto a cualquier , por lo que . ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$es el homomorfismo de identidad.
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$para . ${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$
4. Si entonces ${\displaystyle n>\deg(x)}$ ${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan: ${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

Además, los cuadrados de Steenrod tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle Sq^{1}}$es el homomorfismo de Bockstein de la secuencia exacta ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$conmuta con el morfismo conector de la secuencia exacta larga en cohomología. En particular, conmuta con respecto a la suspensión ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• Satisfacen las relaciones Adem, descritas a continuación

De manera similar, los siguientes axiomas caracterizan las potencias reducidas para . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

1. Naturalidad: es un homomorfismo aditivo y natural. ${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$
2. ${\displaystyle P^{0}}$es el homomorfismo de identidad.
3. ${\displaystyle P^{n}}$es la copa -ésima potencia en clases de grado . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2n}$
4. Si entonces ${\displaystyle 2n>\deg(x)}$ ${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan: ${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

Como antes, las potencias p -ésimas reducidas también satisfacen las relaciones Adem y conmutan con los operadores de suspensión y límite.

Relaciones Adem

Las relaciones de Adem para fueron conjeturadas por Wen-tsün Wu  (1952) y establecidas por José Adem  (1952). Están dadas por ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}$

para todos aquellos que . (Los coeficientes binomiales deben interpretarse módulo 2.) Las relaciones de Adem permiten escribir una composición arbitraria de cuadrados de Steenrod como una suma de elementos de base de Serre-Cartan. ${\displaystyle i,j>0}$ ${\displaystyle i<2j}$

Por extraño que parezca, las relaciones con Adem son ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

para un < pb y

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

para . ${\displaystyle a\leq pb}$

Identidades de Bullett y Macdonald

Shaun R. Bullett e Ian G. Macdonald  (1982) reformularon las relaciones de Adem como las siguientes identidades.

Para poner ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

entonces las relaciones Adem son equivalentes a

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

Para poner ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

Entonces las relaciones de Adem son equivalentes a la afirmación de que

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

es simétrica en y . Aquí está la operación de Bockstein y . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$

Interpretación geométrica

Existe una interpretación geométrica sencilla y agradable de los cuadrados de Steenrod utilizando variedades que representan clases de cohomología. Supongamos que es una variedad suave y consideramos una clase de cohomología representada geométricamente como una subvariedad suave . Cohomológicamente, si dejamos que represente la clase fundamental de entonces la función pushforward ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$ ${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

da una representación de . Además, asociado a esta inmersión hay un fibrado vectorial real llamado fibrado normal . Ahora se pueden entender los cuadrados de Steenrod de : son el empuje hacia delante de la clase Stiefel-Whitney del fibrado normal ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

lo que da una razón geométrica de por qué los productos de Steenrod finalmente desaparecen. Nótese que debido a que las funciones de Steenrod son homomorfismos de grupo, si tenemos una clase que se puede representar como una suma ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

donde se representan como variedades, podemos interpretar los cuadrados de las clases como sumas de los empujes hacia delante de los fibrados normales de sus variedades suaves subyacentes, es decir, ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

Además, esta equivalencia está fuertemente relacionada con la fórmula de Wu .

Cálculos

Espacios proyectivos complejos

En el plano proyectivo complejo , solo existen los siguientes grupos de cohomología no triviales, ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$,

como se puede calcular utilizando una descomposición celular. Esto implica que el único producto de Steenrod no trivial posible es en ya que da el producto de taza en la cohomología. Como la estructura del producto de taza en no es trivial, este cuadrado no es trivial. Hay un cálculo similar en el espacio proyectivo complejo , donde los únicos cuadrados no triviales son y las operaciones de elevación al cuadrado en los grupos de cohomología que representan el producto de taza . En el cuadrado ${\displaystyle Sq^{2}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$ ${\displaystyle Sq^{0}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle H^{2i}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$

se puede calcular utilizando las técnicas geométricas descritas anteriormente y la relación entre las clases de Chern y las clases de Stiefel–Whitney; tenga en cuenta que representa la clase distinta de cero en . También se puede calcular directamente utilizando la fórmula de Cartan ya que y ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}$

Espacio proyectivo real infinito

Las operaciones de Steenrod para espacios proyectivos reales se pueden calcular fácilmente utilizando las propiedades formales de los cuadrados de Steenrod. Recordemos que

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

donde Para las operaciones sobre sabemos que ${\displaystyle \deg(x)=1.}$ ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

La relación de Cartan implica que el cuadrado total

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

es un homomorfismo de anillo

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

Por eso

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

Como solo hay un componente de grado de la suma anterior, tenemos que ${\displaystyle n+i}$

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}$

Construcción

Supóngase que es cualquier subgrupo de grado del grupo simétrico en puntos, una clase de cohomología en , un grupo abeliano sobre el que actúa , y una clase de cohomología en . Steenrod (1953a, 1953b) mostró cómo construir una potencia reducida en , de la siguiente manera. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{q}(X,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$ ${\displaystyle u^{n}/c}$ ${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$

1. Tomando el producto externo de por sí mismo por da un cociclo equivariante en con coeficientes en . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
2. Elija ser un espacio contráctil en el que actúa libremente y un mapa equivariante de a Al retroceder mediante este mapa se obtiene un cociclo equivariante en y, por lo tanto, un cociclo de con coeficientes en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle X^{n}.}$ ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle E/\pi \times X}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
3. Tomando el producto inclinado con en se obtiene un cociclo de con coeficientes en . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$

Los cuadrados de Steenrod y las potencias reducidas son casos especiales de esta construcción donde es un grupo cíclico de orden primo que actúa como una permutación cíclica de elementos, y los grupos y son cíclicos de orden , por lo que también es cíclico de orden . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$ ${\displaystyle p}$

Propiedades del álgebra de Steenrod

Además de la estructura axiomática que satisface el álgebra de Steenrod, tiene una serie de propiedades útiles adicionales.

Fundamento del álgebra de Steenrod

Jean-Pierre Serre (1953) (para ) y Henri Cartan (1954, 1955) (para ) describieron la estructura del álgebra de Steenrod de operaciones de cohomología de módulos estables, mostrando que se genera por el homomorfismo de Bockstein junto con las potencias reducidas de Steenrod, y las relaciones de Adem generan el ideal de relaciones entre estos generadores. En particular, encontraron una base explícita para el álgebra de Steenrod. Esta base se basa en una cierta noción de admisibilidad para secuencias de números enteros. Decimos que una secuencia ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

es admisible si para cada , tenemos que . Entonces los elementos ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

donde es una secuencia admisible, forma una base (la base de Serre-Cartan) para el álgebra de Steenrod módulo 2, llamada base admisible . Existe una base similar para el caso que consta de los elementos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}$,

de tal manera que

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

La estructura del álgebra de Hopf y la base de Milnor

El álgebra de Steenrod tiene más estructura que un álgebra graduada. También es un álgebra de Hopf , por lo que en particular hay una función diagonal o de comultiplicación . ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}$

inducida por la fórmula de Cartan para la acción del álgebra de Steenrod sobre el producto de taza. Este mapa es más fácil de describir que el mapa del producto y está dado por

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }$.

Estas fórmulas implican que el álgebra de Steenrod es co-commutativa .

El dual lineal de convierte el dual lineal (graduado) de A en un álgebra. John Milnor  (1958) demostró, para , que es un álgebra polinómica , con un generador de grado , para cada k , y para el álgebra dual de Steenrod es el producto tensorial del álgebra polinómica en generadores de grado y el álgebra exterior en generadores τ _k de grado . La base monomial para entonces da otra opción de base para A , llamada la base de Milnor. El dual del álgebra de Steenrod es a menudo más conveniente para trabajar, porque la multiplicación es (super) conmutativa. La comultiplicación para es el dual del producto en A ; está dada por ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$ ${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$donde , y ${\displaystyle \xi _{0}=1}$

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$si . ${\displaystyle p>2}$

Los únicos elementos primitivos de for son los elementos de la forma , y estos son duales a (los únicos indecomponibles de A ). ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$ ${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$

Relación con grupos formales

Las álgebras duales de Steenrod son álgebras de Hopf superconmutativas, por lo que sus espectros son esquemas de supergrupos de álgebras. Estos esquemas de grupos están estrechamente relacionados con los automorfismos de grupos formales aditivos unidimensionales. Por ejemplo, si entonces el álgebra dual de Steenrod es el esquema de grupo de automorfismos del esquema de grupo formal aditivo unidimensional que son la identidad de primer orden. Estos automorfismos son de la forma ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

Álgebras sub-Hopf finitas

El álgebra de Steenrod admite una filtración por subálgebras de Hopf finitas. Como se genera por los elementos ^[5] ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$,

Podemos formar subálgebras generadas por los cuadrados de Steenrod. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$,

dando la filtración

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

Estas álgebras son importantes porque se pueden utilizar para simplificar muchos cálculos de secuencias espectrales de Adams, como para , y . ^[6] ${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$

Construcción algebraica

Larry Smith (2007) dio la siguiente construcción algebraica del álgebra de Steenrod sobre un cuerpo finito de orden q . Si V es un espacio vectorial sobre entonces escribe SV para el álgebra simétrica de V . Existe un homomorfismo de álgebra ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

donde F es el endomorfismo de Frobenius de SV . Si ponemos

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

o

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

porque entonces si V es de dimensión infinita los elementos generan un isomorfismo algebraico al subálgebra del álgebra de Steenrod generada por las potencias p′- ésimas reducidas para p impar, o los cuadrados de Steenrod pares para . ${\displaystyle f\in SV}$ ${\displaystyle P^{I}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle p=2}$

Aplicaciones

Las primeras aplicaciones del álgebra de Steenrod fueron los cálculos de Jean-Pierre Serre de algunos grupos de homotopía de esferas, utilizando la compatibilidad de diferenciales transgresivas en la secuencia espectral de Serre con las operaciones de Steenrod, y la clasificación de René Thom de variedades suaves hasta el cobordismo, a través de la identificación del anillo graduado de clases de bordismo con los grupos de homotopía de complejos de Thom, en un rango estable. Esto último fue refinado al caso de variedades orientadas por CTC Wall . Una famosa aplicación de las operaciones de Steenrod, que involucra factorizaciones a través de operaciones de cohomología secundaria asociadas a relaciones de Adem apropiadas, fue la solución por J. Frank Adams del problema del uno invariante de Hopf . Una aplicación del álgebra de Steenrod mod 2 que es bastante elemental es el siguiente teorema.

Teorema . Si existe una función de Hopf invariante uno , entonces n es una potencia de 2. ${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$

La prueba utiliza el hecho de que cada uno es descomponible para k que no es una potencia de 2; es decir, tal elemento es un producto de cuadrados de grado estrictamente menor. ${\displaystyle Sq^{k}}$

Michael A. Mandell dio una prueba del siguiente teorema estudiando el álgebra de Steenrod (con coeficientes en el cierre algebraico de ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Teorema . El funtor cocadena singular con coeficientes en el cierre algebraico de induce una equivalencia contravariante de la categoría de homotopía de espacios nilpotentes -completos conexos de tipo finito a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de [[ -álgebras]] con coeficientes en el cierre algebraico de . ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Conexión con la secuencia espectral de Adams y los grupos de homotopía de esferas

La cohomología del álgebra de Steenrod es el término para la secuencia espectral de Adams ( p -local ) , cuyo punto de apoyo es el componente p de los grupos de homotopía estable de esferas. Más específicamente, el término de esta secuencia espectral puede identificarse como ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

Esto es lo que se quiere decir con el aforismo "la cohomología del álgebra de Steenrod es una aproximación a los grupos de homotopía estable de las esferas".

Véase también

• Operación de cohomología de Pontryagin
• Álgebra dual de Steenrod
• Operación de cohomología

Referencias

1. "topología at.algebraica – (Co)homología de los espacios de Eilenberg–MacLane K(G,n)". MathOverflow . Consultado el 15 de enero de 2021 .
2. Adams (1974), pág. 277.
3. Adams (1974), pág. 279.
4. Adams (1974), pág. 280.
5. Mosher y Tangora (2008), pág. 47.
6. Ravenel (1986), págs. 63–67.

Pedagógico

• Malkiewich, Cary, El álgebra de Steenrod (PDF) , archivado (PDF) del original el 2017-08-15
• Clases características: contiene más cálculos, como por ejemplo para variedades Wu
• Cuadrados de Steenrod en la secuencia espectral de Adams: contiene interpretaciones de los términos Ext y los cuadrados de Steenrod

Configuración motívica

• Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica
• Cohomología motívica con coeficientes Z/2
• Espacios de Motivic Eilenberg-Maclane
• La homotopía de las formas modulares motívicas C {\displaystyle \mathbb {C} } se relaciona con las tmf motívicas ${\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}$

Referencias

• Adams, J. Frank (1974). Homotopía estable y homología generalizada . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-00523-2.OCLC 1083550  .
• Adem, José (1952), "La iteración de los cuadrados de Steenrod en topología algebraica", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 38 (8): 720–726, Bibcode :1952PNAS...38..720A, doi : 10.1073/pnas.38.8.720 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88494, MR  0050278, PMC  1063640 , PMID  16589167
• Bullett, Shaun R.; Macdonald, Ian G. (1982), "Sobre las relaciones Adem", Topología , 21 (3): 329–332, doi : 10.1016/0040-9383(82)90015-5 , ISSN  0040-9383, MR  0649764
• Cartan, Henri (1954), "Sobre los grupos de Eilenberg–Mac Lane. II", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 40 (8): 704–707, Bibcode :1954PNAS...40..704C, doi : 10.1073/pnas.40.8.704 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88981, MR  0065161, PMC  534145 , PMID  16589542
• Cartan, Henri (1955), "Sur l'itération des opérations de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici , 29 (1): 40–58, doi :10.1007/BF02564270, ISSN  0010-2571, MR  0068219, S2CID  124558011
• Cartan, Henri (1954-1955). "Détermination des algèbres H ∗ ( π , n ; Z 2 ) {\displaystyle H_{*}(\pi ,n;Z_{2})} y H ∗ ( π , n ; Z 2 ) {\displaystyle H^{ *}(\pi ,n;Z_{2})} ; grupo estable módulo p {\displaystyle p} " (PDF) . Séminario Henri Cartan (en francés). 7 (1): 1–8.
• Allen Hatcher , Topología algebraica . Cambridge University Press, 2002. Disponible en línea de forma gratuita desde la página de inicio del autor.
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