Álgebra de Steenrod

Topología algebraica

En topología algebraica , Henri Cartan (1955) definió el álgebra de Steenrod  como el álgebra de operaciones de cohomología estable para la cohomología mod . ${\displaystyle p}$

Para un número primo dado , el álgebra de Steenrod es el álgebra de Hopf graduada sobre el campo de orden , que consta de todas las operaciones de cohomología estables para la cohomología mod . Es generado por los cuadrados de Steenrod introducidos por Norman Steenrod (1947) para , y por las potencias reducidas de Steenrod introducidas en Steenrod (1953a, 1953b) y el homomorfismo de Bockstein para . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

El término "álgebra de Steenrod" también se utiliza a veces para el álgebra de operaciones de cohomología de una teoría de cohomología generalizada .

Operaciones de cohomología

Una operación de cohomología es una transformación natural entre funtores de cohomología. Por ejemplo, si tomamos cohomología con coeficientes en un anillo , la operación de elevación al cuadrado del producto de taza produce una familia de operaciones de cohomología: ${\displaystyle R}$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

Las operaciones de cohomología no tienen por qué ser homomorfismos de anillos graduados; vea la fórmula de Cartan a continuación.

Estas operaciones no conmutan con suspensión , es decir, son inestables. (Esto se debe a que si es una suspensión de un espacio , el producto de copa en la cohomología de es trivial). Steenrod construyó operaciones estables ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

para todo mayor que cero. La notación y su nombre, los cuadrados de Steenrod, provienen del hecho de que el cuadrado de copa está restringido a clases de grado . Existen operaciones análogas para coeficientes primarios impares, generalmente denotadas y llamadas operaciones de potencia -ésima reducida: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Sq}$ ${\displaystyle Sq^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

Generan un álgebra graduada conectada sobre , donde la multiplicación viene dada por la composición de operaciones. Esta es el álgebra de Steenrod mod 2. En el caso , el álgebra mod de Steenrod se genera mediante la operación de Bockstein asociada a la secuencia corta exacta ${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$.

En este caso , el elemento de Bockstein es y la potencia -ésima reducida es . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle Sq^{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$

Como anillo de cohomología

Podemos resumir las propiedades de las operaciones de Steenrod como generadoras en el anillo de cohomología de los espectros de Eilenberg-Maclane.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}$,

ya que hay un isomorfismo

${\displaystyle {\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}$

dando una descomposición suma directa de todas las operaciones de cohomología posibles con coeficientes en . Tenga en cuenta que el límite inverso de los grupos de cohomología aparece porque es un cálculo en el rango estable de grupos de cohomología de los espacios de Eilenberg-Maclane. Este resultado ^[1] fue calculado originalmente ^[2] por Cartan (1954-1955, p. 7) y Serre (1953). ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Tenga en cuenta que existe una caracterización dual ^[3] que utiliza homología para el álgebra dual de Steenrod .

Observación sobre la generalización a teorías de cohomología generalizadas.

Cabe observar que si el espectro de Eilenberg-Maclane se reemplaza por un espectro arbitrario , entonces existen muchos desafíos para estudiar el anillo de cohomología . En este caso, se debe considerar el álgebra dual generalizada de Steenrod porque tiene propiedades mucho mejores y puede estudiarse fácilmente en muchos casos (como ). ^[4] De hecho, estos espectros de anillo son conmutativos y los bimódulos son planos. En este caso, se trata de una coacción canónica de on para cualquier espacio , de modo que esta acción se comporta bien con respecto a la categoría de homotopía estable, es decir, hay un isomorfismo ${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}}$$

${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}$$

${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$

Caracterización axiomática

Norman Steenrod y David BA Epstein (1962) demostraron que los cuadrados de Steenrod se caracterizan por los siguientes 5 axiomas: ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$

1. Naturalidad: es un homomorfismo aditivo y es natural respecto de cualquier , por lo que . ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$es el homomorfismo de identidad.
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$para . ${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$
4. Si entonces ${\displaystyle n>\deg(x)}$ ${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan: ${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

Además los cuadrados de Steenrod tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle Sq^{1}}$es el homomorfismo de Bockstein de la secuencia exacta ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$conmuta con el morfismo conector de la secuencia exacta larga en cohomología. En particular, conmuta respecto de la suspensión. ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• Satisfacen las relaciones Adem, que se describen a continuación.

De manera similar, los siguientes axiomas caracterizan las potencias -ésimas reducidas para . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

1. Naturalidad: es un homomorfismo aditivo y natural. ${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$
2. ${\displaystyle P^{0}}$es el homomorfismo de identidad.
3. ${\displaystyle P^{n}}$es la potencia de copa en clases de grado . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2n}$
4. Si entonces ${\displaystyle 2n>\deg(x)}$ ${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan: ${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

Como antes, las potencias p -ésimas reducidas también satisfacen las relaciones de Adem y conmutan con los operadores de suspensión y límite.

Relaciones adem

Las relaciones de Adem para fueron conjeturadas por Wen-tsün Wu  (1952) y establecidas por José Adem  (1952). son dados por ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}$

por todo eso . (Los coeficientes binomiales deben interpretarse mod 2.) Las relaciones de Adem permiten escribir una composición arbitraria de cuadrados de Steenrod como una suma de elementos básicos de Serre-Cartan. ${\displaystyle i,j>0}$ ${\displaystyle i<2j}$

Por extraño que parezca, las relaciones de Adem son ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

para un < pb y

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

para . ${\displaystyle a\leq pb}$

Identidades de Bullett-Macdonald

Shaun R. Bullett e Ian G. Macdonald  (1982) reformularon las relaciones Adem como las siguientes identidades.

para poner ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

entonces las relaciones de Adem son equivalentes a

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

para poner ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

entonces las relaciones de Adem son equivalentes a la afirmación de que

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

es simétrico en y . Aquí está la operación Bockstein y . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$

Interpretación geométrica

Hay una interpretación geométrica sencilla y agradable de los cuadrados de Steenrod utilizando variedades que representan clases de cohomología. Supongamos que es una variedad suave y considere una clase de cohomología representada geométricamente como una subvariedad suave . Cohomológicamente, si dejamos representar la clase fundamental de entonces el mapa pushforward ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$ ${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

da una representación de . Además, asociado a esta inmersión hay un paquete de vectores real llamado paquete normal . Ahora se pueden entender los cuadrados de Steenrod : son el avance de la clase Stiefel-Whitney del paquete normal. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

lo que da una razón geométrica de por qué los productos Steenrod eventualmente desaparecen. Tenga en cuenta que debido a que los mapas de Steenrod son homomorfismos de grupo, si tenemos una clase que puede representarse como una suma ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

donde se representan como variedades, podemos interpretar los cuadrados de las clases como sumas de los avances de los paquetes normales de sus variedades suaves subyacentes, es decir, ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

Además, esta equivalencia está fuertemente relacionada con la fórmula de Wu .

Cálculos

Espacios proyectivos complejos

En el plano proyectivo complejo , solo existen los siguientes grupos de cohomología no triviales, ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$,

como se puede calcular mediante una descomposición celular. Esto implica que el único producto Steenrod posible no trivial es el activado, ya que proporciona al producto de copa la cohomología. Como la estructura del producto de la taza no es trivial, este cuadrado no lo es. Hay un cálculo similar en el espacio proyectivo complejo , donde los únicos cuadrados no triviales son las operaciones de elevación al cuadrado en los grupos de cohomología que representan el producto de taza . En la plaza ${\displaystyle Sq^{2}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$ ${\displaystyle Sq^{0}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle H^{2i}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$

se puede calcular utilizando las técnicas geométricas descritas anteriormente y la relación entre las clases de Chern y las clases de Stiefel-Whitney; tenga en cuenta que representa la clase distinta de cero en . También se puede calcular directamente usando la fórmula de Cartan desde y ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}$

Espacio proyectivo real infinito

Las operaciones de Steenrod para espacios proyectivos reales se pueden calcular fácilmente utilizando las propiedades formales de los cuadrados de Steenrod. Recordar que

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

donde Para las operaciones sabemos que ${\displaystyle \deg(x)=1.}$ ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

La relación de Cartan implica que el cuadrado total

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

es un homomorfismo de anillo

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

Por eso

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

Como solo hay un componente de grado de la suma anterior, tenemos que ${\displaystyle n+i}$

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}$

Construcción

Supongamos que es cualquier subgrupo de grados del grupo simétrico en puntos, una clase de cohomología en , un grupo abeliano sobre el que actúa y una clase de cohomología en . Steenrod (1953a, 1953b) mostró cómo construir una potencia reducida en , de la siguiente manera. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{q}(X,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$ ${\displaystyle u^{n}/c}$ ${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$

1. Tomando el producto externo de consigo mismo por tiempos se obtiene un cociclo equivariante con coeficientes en . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
2. Elija ser un espacio contráctil sobre el cual actúa libremente y un mapa equivariante de a Al retroceder por este mapa se obtiene un cociclo equivariante en y por lo tanto un cociclo de con coeficientes en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle X^{n}.}$ ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle E/\pi \times X}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
3. Tomando el producto inclinado con in se obtiene un cociclo con coeficientes en . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$

Los cuadrados de Steenrod y las potencias reducidas son casos especiales de esta construcción donde hay un grupo cíclico de orden primo que actúa como una permutación cíclica de elementos, y los grupos y son cíclicos de orden , por lo que también son cíclicos de orden . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$ ${\displaystyle p}$

Propiedades del álgebra de Steenrod

Además de la estructura axiomática que satisface el álgebra de Steenrod, tiene una serie de propiedades útiles adicionales.

Bases del álgebra de Steenrod

Jean-Pierre Serre (1953) (para ) y Henri Cartan (1954, 1955) (para ) describieron la estructura del álgebra de Steenrod de operaciones de cohomología mod estable, mostrando que es generada por el homomorfismo de Bockstein junto con las potencias reducidas de Steenrod, y las relaciones Adem generan el ideal de relaciones entre estos generadores. En particular, encontraron una base explícita para el álgebra de Steenrod. Esta base se basa en una cierta noción de admisibilidad de secuencias de números enteros. decimos una secuencia ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

Es admisible si para cada uno tenemos eso . Entonces los elementos ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

donde es una secuencia admisible, forma una base (la base de Serre-Cartan) para el álgebra de Steenrod mod 2, llamada base admisible . Existe un fundamento similar para el caso consistente en los elementos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}$,

tal que

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

Estructura del álgebra de Hopf y base de Milnor

El álgebra de Steenrod tiene más estructura que un álgebra graduada. También es un álgebra de Hopf , por lo que en particular existe una aplicación diagonal o de comultiplicación. ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}$

inducida por la fórmula de Cartan para la acción del álgebra de Steenrod sobre el producto de copa. Este mapa es más fácil de describir que el mapa del producto y está dado por

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }$.

Estas fórmulas implican que el álgebra de Steenrod es co-commutativa .

El dual lineal de convierte el dual lineal (graduado) de A en un álgebra. John Milnor  (1958) demostró, para , que es un álgebra polinómica , con un generador de grado , para cada k , y para el álgebra dual de Steenrod es el producto tensorial del álgebra polinómica en generadores de grado y el álgebra exterior en generadores τ _k de grado . La base monomial para entonces da otra opción de base para A , llamada base de Milnor. A menudo es más conveniente trabajar con el álgebra dual del Steenrod, porque la multiplicación es (súper) conmutativa. La comultiplicación de es el dual del producto de A ; esta dado por ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$ ${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$dónde y ${\displaystyle \xi _{0}=1}$

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$si . ${\displaystyle p>2}$

Los únicos elementos primitivos de for son los elementos de la forma , y estos son duales con respecto a (los únicos indecomponibles de A ). ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$ ${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$

Relación con grupos formales

Las álgebras duales de Steenrod son álgebras de Hopf superconmutativas, por lo que sus espectros son esquemas de supergrupos de álgebra. Estos esquemas de grupo están estrechamente relacionados con los automorfismos de grupos formales aditivos unidimensionales. Por ejemplo, si entonces el álgebra dual de Steenrod es el esquema de grupo de automorfismos del esquema de grupo formal aditivo unidimensional que son la identidad de primer orden. Estos automorfismos son de la forma ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

Álgebras finitas de sub-Hopf

El álgebra de Steenrod admite una filtración por álgebras finitas de sub-Hopf. Como lo generan los elementos ^[5] ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$,

podemos formar subálgebras generadas por los cuadrados de Steenrod ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$,

dando la filtración

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

Estas álgebras son importantes porque pueden usarse para simplificar muchos cálculos de secuencias espectrales de Adams, como para y . ^[6] ${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$

Construcción algebraica

Larry Smith (2007) dio la siguiente construcción algebraica del álgebra de Steenrod sobre un campo finito de orden q . Si V es un espacio vectorial , escriba SV para el álgebra simétrica de V. Hay un homomorfismo de álgebra. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

donde F es el endomorfismo de Frobenius de SV . si ponemos

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

o

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

porque entonces, si V es de dimensión infinita, los elementos generan un isomorfismo de álgebra para la subálgebra del álgebra de Steenrod generada por las potencias p′th reducidas para p impar, o los cuadrados pares de Steenrod para . ${\displaystyle f\in SV}$ ${\displaystyle P^{I}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle p=2}$

Aplicaciones

Las primeras aplicaciones del álgebra de Steenrod fueron los cálculos de Jean-Pierre Serre de algunos grupos de esferas homotópicas, utilizando la compatibilidad de diferenciales transgresores en la secuencia espectral de Serre con las operaciones de Steenrod, y la clasificación de René Thom de variedades suaves hasta el cobordismo, mediante la identificación del anillo graduado de clases de bordismo con los grupos de homotopía de los complejos de Thom, en un rango estable. Este último fue perfeccionado por CTC Wall para el caso de colectores orientados . Una aplicación famosa de las operaciones de Steenrod, que implica factorizaciones mediante operaciones de cohomología secundaria asociadas a relaciones apropiadas de Adem, fue la solución de J. Frank Adams al problema del invariante uno de Hopf . Una aplicación del álgebra de Steenrod mod 2 que es bastante elemental es el siguiente teorema.

Teorema . Si hay un mapa de Hopf invariante uno , entonces n es una potencia de 2. ${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$

La prueba utiliza el hecho de que cada uno es descomponible para k que no es una potencia de 2; es decir, dicho elemento es producto de cuadrados de grado estrictamente menor. ${\displaystyle Sq^{k}}$

Michael A. Mandell demostró el siguiente teorema estudiando el álgebra de Steenrod (con coeficientes en la clausura algebraica de ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Teorema . El funtor de cocadena singular con coeficientes en el cierre algebraico de induce una equivalencia contravariante de la categoría de homotopía de espacios nilpotentes completos conectados de tipo finito a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de [[ -álgebras]] con coeficientes en el cierre algebraico de . ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Conexión con la secuencia espectral de Adams y los grupos de esferas de homotopía

La cohomología del álgebra de Steenrod es el término para la secuencia espectral de Adams ( p -local ) , cuyo soporte es el componente p de los grupos de esferas de homotopía estable. Más específicamente, el término de esta secuencia espectral puede identificarse como ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

Esto es lo que se entiende por el aforismo "la cohomología del álgebra de Steenrod es una aproximación a los grupos de esferas de homotopía estable".

Ver también

• Operación de cohomología de Pontryagin
• Álgebra dual de Steenrod
• Operación de cohomología

Referencias

1. "at.topología algebraica - (Co)homología de los espacios de Eilenberg-MacLane K (G, n)". Desbordamiento matemático . Consultado el 15 de enero de 2021 .
2. Adams (1974), pág. 277.
3. Adams (1974), pág. 279.
4. Adams (1974), pág. 280.
5. Mosher y Tangora (2008), pág. 47.
6. Ravenel (1986), págs. 63–67.

Pedagógico

• Malkiewich, Cary, The Steenrod Algebra (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 15 de agosto de 2017
• Clases de características: contiene más cálculos, como para variedades Wu
• Cuadrados de Steenrod en la secuencia espectral de Adams: contiene interpretaciones de términos Ext y cuadrados de Streenrod

entorno motivador

• Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica.
• Cohomología motívica con coeficientes Z/2
• Espacios Motivic Eilenberg-Maclane
• La homotopía de C {\displaystyle \mathbb {C} } -formas modulares motívicas - se relaciona con motivic tmf ${\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}$

Referencias

• Adams, J. Frank (1974). Homotopía estable y homología generalizada . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-00523-2. OCLC  1083550.
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• Bullett, Shaun R.; Macdonald, Ian G. (1982), "Sobre las relaciones Adem", Topología , 21 (3): 329–332, doi : 10.1016/0040-9383(82)90015-5 , ISSN  0040-9383, SEÑOR  0649764
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• Cartan, Henri (1955), "Sur l'itération des opérations de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici , 29 (1): 40–58, doi :10.1007/BF02564270, ISSN  0010-2571, MR  0068219, S2CID  124558011
• Cartan, Henri (1954-1955). "Détermination des algèbres H ∗ ( π , n ; Z 2 ) {\displaystyle H_{*}(\pi ,n;Z_{2})} y H ∗ ( π , n ; Z 2 ) {\displaystyle H^{ *}(\pi,n;Z_{2})} ; grupos estables módulo p {\displaystyle p} " (PDF) . Séminario Henri Cartan (en francés). 7 (1): 1–8.
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