Producto de taza

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el producto de copa es un método de unir dos cociclos de grado p y q para formar un cociclo compuesto de grado p + q . Esto define una operación de producto conmutativo graduado asociativo (y distributivo) en cohomología, convirtiendo la cohomología de un espacio X en un anillo graduado, H ^∗ ( X ), llamado anillo de cohomología . El producto de copa fue introducido en el trabajo de JW Alexander , Eduard Čech y Hassler Whitney de 1935 a 1938 y, en general, de Samuel Eilenberg en 1944.

Definición

En cohomología singular , el producto de copa es una construcción que da un producto en el anillo de cohomología graduado H ^∗ ( X ) de un espacio topológico X.

La construcción comienza con un producto de cocadenas : si es una p -cocadena y es una q -cocadena, entonces ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

donde σ es un simplex ( p + q ) singular y es la incrustación canónica del simplex abarcado por S en el simplex cuyos vértices están indexados por . ${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$

Informalmente, es la p -ésima cara frontal y la q -ésima cara posterior de σ, respectivamente. ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$ ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$

El colímite del producto de copa de las cocadenas y está dado por ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

El producto de taza de dos cociclos es nuevamente un cociclo, y el producto de un colímite con un cociclo (en cualquier orden) es un colímite. La operación del producto en copa induce una operación bilineal en cohomología,

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

Propiedades

La operación del producto en copa en cohomología satisface la identidad

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

de modo que la multiplicación correspondiente sea conmutativa graduada .

El producto de copa es funcional , en el siguiente sentido: si

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

es una función continua y

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

es el homomorfismo inducido en cohomología, entonces

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

para todas las clases α, β en H ^* ( Y ). En otras palabras, f ^{* es un} homomorfismo de anillo (graduado) .

Interpretación

Es posible ver el producto en taza inducido a partir de la siguiente composición: ${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

en términos de los complejos de cadenas de y , donde el primer mapa es el mapa de Künneth y el segundo es el mapa inducido por la diagonal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$

Esta composición pasa al cociente para dar una aplicación bien definida en términos de cohomología, este es el producto de taza. Este enfoque explica la existencia de un producto de copa para cohomología pero no para homología: induce un mapa pero también induciría un mapa , lo que va en sentido contrario para permitirnos definir un producto. Sin embargo, esto es útil para definir el producto límite . ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$

La bilinealidad se desprende de esta presentación del producto en taza, es decir, y ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$ ${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

Ejemplos

Los productos de copa se pueden utilizar para distinguir variedades de cuñas de espacios con grupos de cohomología idénticos. El espacio tiene los mismos grupos de cohomología que el toro T , pero con un producto de copa diferente. En el caso de X, la multiplicación de las cocadenas asociadas a las copias de es degenerada, mientras que en T la multiplicación en el primer grupo de cohomología se puede utilizar para descomponer el toro como un diagrama de 2 celdas, teniendo así un producto igual a Z (más generalmente M donde este es el módulo base). ${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Otras definiciones

Producto de copa y formas diferenciales.

En la cohomología de De Rham , el producto de copa de formas diferenciales es inducido por el producto de cuña . En otras palabras, el producto cuña de dos formas diferenciales cerradas pertenece a la clase de De Rham del producto de copa de las dos clases originales de De Rham.

Producto de copa e intersecciones geométricas.

El número de enlace se puede definir en términos de un producto de copa que no desaparece en el complemento de un enlace. El complemento de estos dos círculos vinculados en la deformación se retrae a una suma de cuña de un toro y 2 esferas, que tiene un producto de copa que no desaparece en grado 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para variedades orientadas, existe una heurística geométrica que dice que "el producto de copa es dual a las intersecciones". ^{[1] [2]}

De hecho, sea una variedad lisa y orientada de dimensión . Si dos subvariedades de codimensión y se cruzan transversalmente , entonces su intersección es nuevamente una subvariedad de codimensión . Al tomar las imágenes de las clases de homología fundamentales de estas variedades bajo inclusión, se puede obtener un producto bilineal de homología. Este producto es Poincaré dual al producto taza, en el sentido de que tomando los emparejamientos de Poincaré entonces existe la siguiente igualdad: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle i+j}$ ${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$. ^[1]

De manera similar, el número de enlace se puede definir en términos de intersecciones, cambiando las dimensiones en 1, o alternativamente en términos de un producto de copa que no desaparece en el complemento de un enlace.

productos Massey

Los productos Massey generalizan el producto en taza, lo que permite definir "números de enlace de orden superior", las invariantes de Milnor .

El producto de copa es una operación binaria (2-aria); se puede definir una operación ternaria (3-aria) y de orden superior llamada producto de Massey , que generaliza el producto de taza. Esta es una operación de cohomología de orden superior , que está sólo parcialmente definida (sólo definida para algunos triples).

Ver también

• Homología singular
• Teoría de la homología
• Producto de tapa
• Producto Massey
• grupo torelli

Referencias

1. Hutchings, Michael. "Producto de Copa e Intersecciones" (PDF) .
2. Ciencias TV (10 de diciembre de 2016), Charla informal en Geometría Derivada (Jacob Lurie), archivado desde el original el 21 de diciembre de 2021 , consultado el 26 de abril de 2018

• James R. Munkres, "Elementos de topología algebraica", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (tapa dura) ISBN 0-201-62728-0 (rústica)  
• Glen E. Bredon , "Topología y geometría", Springer-Verlag, Nueva York (1993) ISBN 0-387-97926-3 
• Allen Hatcher, "Topología algebraica", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0