Anillo graduado

Tipo de estructura algebraica

En matemáticas , en particular en álgebra abstracta , un anillo graduado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos tales que ⁠ ⁠ . El conjunto índice suele ser el conjunto de números enteros no negativos o el conjunto de números enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición de suma directa suele denominarse gradación o calificación . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

Un módulo graduado se define de manera similar (ver más abajo la definición precisa). Generaliza los espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra graduada . Un anillo graduado también podría verse como un ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -álgebra graduada.

La asociatividad no es importante (de hecho, no se utiliza en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por lo tanto, la noción se aplica también a álgebras no asociativas ; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada .

Primeras propiedades

En general, se supone que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de números enteros no negativos, a menos que se especifique explícitamente lo contrario. Este es el caso en este artículo.

Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

de grupos aditivos , tales que

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

para todos los números enteros no negativos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Se dice que un elemento distinto de cero de es homogéneo de grado ⁠ ⁠ . Por definición de suma directa, cada elemento distinto de cero de se puede escribir de forma única como una suma donde cada uno es 0 u homogéneo de grado ⁠ ⁠ . Los distintos de cero son los componentes homogéneos de  ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

Algunas propiedades básicas son:

• ${\displaystyle R_{0}}$es un subanillo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle R}$ ; en particular, la identidad multiplicativa es un elemento homogéneo de grado cero. ${\displaystyle 1}$
• Para cualquier , es un módulo bilateral ⁠ ⁠ , y la descomposición en suma directa es una suma directa de ⁠ ⁠ -módulos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$es un álgebra asociativa ${\displaystyle R_{0}}$ .​

Un ideal es homogéneo si para cada ⁠ ⁠ , los componentes homogéneos de también pertenecen a ⁠ ⁠ . (Equivalentemente, si es un submódulo graduado de ⁠ ⁠ ; ver § Módulo graduado.) La intersección de un ideal homogéneo con es un ⁠ ⁠ - submódulo de llamado parte homogénea de grado de ⁠ ⁠ . Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas. ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Si es un ideal homogéneo bilateral en ⁠ ⁠ , entonces es también un anillo graduado, descompuesto como ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

donde es la parte homogénea del grado de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos básicos

• A cualquier anillo R (no graduado) se le puede dar una gradación haciendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{0}=R}$ , y para i ≠ 0. Esto se llama gradación trivial en  R . ${\displaystyle R_{i}=0}$
• El anillo polinomial se clasifica por grado : es una suma directa de polinomios homogéneos de grado i . ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• Sea S el conjunto de todos los elementos homogéneos distintos de cero en un dominio integral graduado R. Entonces la localización de R con respecto a S es un anillo graduado. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonces un anillo graduado se denomina anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normal a lo largo de la subvariedad definida por I . ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Sea X un espacio topológico , H ⁱ ( X ; R ) el i ésimo grupo de cohomología con coeficientes en un anillo R . Entonces H ^* ( X ; R ), el anillo de cohomología de X con coeficientes en R , es un anillo graduado cuyo grupo subyacente tiene la estructura multiplicativa dada por el producto de copa . ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

Módulo calificado

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

y

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

para cada i y j .

Ejemplos:

• Un espacio vectorial graduado es un ejemplo de un módulo graduado sobre un cuerpo (donde el cuerpo tiene una graduación trivial).
• Un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo graduado es homogéneo si y solo si es un submódulo graduado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.
• Dado un ideal I en un anillo conmutativo R y un R -módulo M , la suma directa es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado . ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Un morfismo de módulos graduados, llamado morfismo graduado u homomorfismo graduado , es un homomorfismo de los módulos subyacentes que respeta la gradación; es decir, ⁠ ⁠ . Un submódulo graduado es un submódulo que es un módulo graduado por derecho propio y tal que la inclusión de teoría de conjuntos es un morfismo de módulos graduados. Explícitamente, un módulo graduado N es un submódulo graduado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface ⁠ ⁠ . El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados. ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Observación: Dar un morfismo graduado de un anillo graduado a otro anillo graduado con la imagen en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra graduada al último anillo.

Dado un módulo graduado , la -torsión de es un módulo graduado definido por (cf. el haz retorcido de Serre en geometría algebraica ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Sean M y N módulos graduados. Si es un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si . Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de un morfismo de este tipo que tiene grado 1. ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Invariantes de los módulos graduados

Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , se puede asociar la serie de potencias formales ⁠ ⁠ ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$ :

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(suponiendo que son finitos). Se llama serie de Hilbert-Poincaré de M . ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Se dice que un módulo graduado es finitamente generado si el módulo subyacente es finitamente generado . Los generadores pueden considerarse homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).

Supóngase que R es un anillo polinómico, k un cuerpo y M un módulo graduado finitamente generado sobre él. Entonces la función se llama función de Hilbert de M. La función coincide con el polinomio de valor entero para n grande llamado polinomio de Hilbert de M. ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

Álgebra graduada

Un álgebra asociativa A sobre un anillo R es un álgebra graduada si se califica como un anillo.

En el caso habitual en el que el anillo R no está graduado (en particular si R es un cuerpo), se le da la graduación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por lo tanto, y las piezas graduadas son R -módulos. ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

En el caso en que el anillo R también sea un anillo graduado, entonces se requiere que

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

En otras palabras, requerimos que A sea un módulo izquierdo graduado sobre R.

Los ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:

• Anillos polinómicos . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
• El álgebra tensorial de un espacio vectorial V . Los elementos homogéneos de grado n son los tensores de orden n , ⁠ ⁠ . ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• El álgebra exterior y el álgebra simétrica también son álgebras graduadas. ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• El anillo de cohomología en cualquier teoría de cohomología también está graduado, siendo la suma directa de los grupos de cohomología . ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (cf. Anillo de coordenadas homogéneo ).

GRAMO-Anillos graduados y álgebras

Las definiciones anteriores se han generalizado a anillos graduados utilizando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo graduado G R es un anillo con una descomposición de suma directa

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

de tal manera que

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Los elementos de R que se encuentran dentro de algún se dice que son homogéneos de grado i . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un anillo graduado, donde es el monoide de los números naturales bajo la adición. Las definiciones de módulos graduados y álgebras también se pueden extender de esta manera reemplazando el conjunto de indexación con cualquier monoide G . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Observaciones:

• Si no requerimos que el anillo tenga un elemento identidad, los semigrupos pueden reemplazar a los monoides.

Ejemplos:

• Un grupo clasifica naturalmente el anillo de grupo correspondiente ; de ​​manera similar, los anillos monoides se clasifican por el monoide correspondiente.
• Una superálgebra (asociativa) es otro término para un álgebra de grado -grado. Algunos ejemplos incluyen las álgebras de Clifford . Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Anticonmutatividad

Algunos anillos graduados (o álgebras) están dotados de una estructura anticonmutativa . Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo de , el cuerpo con dos elementos. Específicamente, un monoide con signo consiste en un par donde es un monoide y es un homomorfismo de monoides aditivos. Un anillo graduado anticonmutativo es un anillo A graduado con respecto a tal que: ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

para todos los elementos homogéneos x e y .

Ejemplos

• Un álgebra exterior es un ejemplo de un álgebra anticommutativa, graduada con respecto a la estructura donde es la función cociente. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Un álgebra supercommutativa (a veces llamada anillo asociativo anticommutativo ) es lo mismo que un álgebra graduada anticommutativa, donde es el mapa identidad de la estructura aditiva de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Monoide graduado

Intuitivamente, un monoide graduado es el subconjunto de un anillo graduado, , generado por el 's, sin utilizar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide graduado es . ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Formalmente, un monoide graduado ^[1] es un monoide , con una función de gradación tal que . Nótese que la gradación de es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que cuando m no es la identidad. ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Suponiendo que las gradaciones de elementos no identidades no son cero, el número de elementos de gradación n es como máximo donde g es la cardinalidad de un conjunto generador G del monoide. Por lo tanto, el número de elementos de gradación n o menor es como máximo (para ) o bien. De hecho, cada uno de esos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y solo existen esos productos. De manera similar, el elemento identidad no puede escribirse como el producto de dos elementos no identidades. Es decir, no hay divisor de unidades en un monoide graduado de ese tipo. ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Serie de potencias indexada por un monoide graduado

Estas nociones nos permiten extender la noción de anillo de series de potencias . En lugar de que la familia de indexación sea , la familia de indexación podría ser cualquier monoide graduado, suponiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada entero n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Más formalmente, sea un semianillo arbitrario y un monoide graduado. Entonces denota el semianillo de series de potencias con coeficientes en K indexados por R . Sus elementos son funciones de R a K . La suma de dos elementos se define puntualmente, es la función que envía a , y el producto es la función que envía a la suma infinita . Esta suma está correctamente definida (es decir, finita) porque, para cada m , solo hay un número finito de pares ( p , q ) tales que pq = m . ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

Monoide libre

En la teoría del lenguaje formal , dado un alfabeto A , el monoide libre de palabras sobre A puede considerarse como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.

Véase también

• Anillo graduado asociado
• Álgebra graduada diferencial
• Álgebra filtrada , una generalización
• Calificado (matemáticas)
• Categoría calificada
• Espacio vectorial graduado
• Álgebra tensorial
• Módulo graduado diferencial

Notas

Citas

1. Sakarovitch, Jacques (2009). "Parte II: El poder del álgebra". Elementos de la teoría de autómatas . Traducido por Thomas, Reuben. Cambridge University Press. p. 384. ISBN 978-0-521-84425-3.Zbl1188.68177  .​

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556.
• Bourbaki, N. (1974). "Capítulos 1–3, 3 §3". Álgebra I. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Steenbrink, J. (1977). "Forma de intersección para singularidades cuasi homogéneas" (PDF) . Composición Matemática . 34 (2): 211–223 Véase pág. 211. ISSN  0010-437X.
• Matsumura, H. (1989). "Teoría de las cinco dimensiones §S3 Anillos graduados, la función de Hilbert y la función de Samuel". Teoría de anillos conmutativos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido por Reid, M. (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71712-1.