Álgebra filtrada

En matemáticas , un álgebra filtrada es una generalización del concepto de álgebra graduada . Existen ejemplos en muchas ramas de las matemáticas , especialmente en el álgebra homológica y la teoría de la representación .

Un álgebra filtrada sobre el cuerpo es un álgebra sobre que tiene una secuencia creciente de subespacios de tal manera que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

y que es compatible con la multiplicación en el siguiente sentido:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

Álgebra graduada asociada

En general, existe la siguiente construcción que produce un álgebra graduada a partir de un álgebra filtrada.

Si es un álgebra filtrada, entonces el álgebra graduada asociada se define de la siguiente manera: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

• Como un espacio vectorial

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,}$

  dónde,

  ${\displaystyle G_{0}=F_{0},}$ y

  ${\displaystyle \forall n>0,\ G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,}$

• La multiplicación se define por

  ${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  para todos y . (Más precisamente, el mapa de multiplicación se combina a partir de los mapas ${\displaystyle x\in F_{n}}$ ${\displaystyle y\in F_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)}$

  ${\displaystyle (F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  para todos y .) ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

La multiplicación está bien definida y le confiere la estructura de un álgebra graduada, con gradación Además, si es asociativa , entonces también lo es . Además, si es unital , de modo que la unidad se encuentra en , entonces también será unital. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

Como álgebras y son distintas (con excepción del caso trivial que se gradúa), pero como espacios vectoriales son isomorfos . (Se puede demostrar por inducción que es isomorfo a como espacios vectoriales). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Ejemplos

Cualquier álgebra graduada por , por ejemplo , tiene una filtración dada por . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

Un ejemplo de un álgebra filtrada es el álgebra de Clifford de un espacio vectorial dotado de una forma cuadrática. El álgebra graduada asociada es , el álgebra exterior de ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle V.}$

El álgebra simétrica sobre el dual de un espacio afín es un álgebra filtrada de polinomios ; en un espacio vectorial , se obtiene en cambio un álgebra graduada.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie también se filtra de forma natural. El teorema PBW establece que el álgebra graduada asociada es simplemente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

Los operadores diferenciales escalares sobre una variedad forman un álgebra filtrada donde la filtración está dada por el grado de los operadores diferenciales. El álgebra graduada asociada es el álgebra conmutativa de funciones suaves sobre el fibrado cotangente que son polinómicas a lo largo de las fibras de la proyección . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

El álgebra de grupo de un grupo con una función de longitud es un álgebra filtrada.

Véase también

• Filtración (matemáticas)
• Función de longitud

Referencias

• Abe, Eiichi (1980). Álgebras de Hopf. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0.

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