Identidad de polarización

Fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno.

Vectores implicados en la identidad de polarización. ${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$

En álgebra lineal , una rama de las matemáticas , la identidad de polarización es cualquiera de una familia de fórmulas que expresan el producto interno de dos vectores en términos de la norma de un espacio vectorial normado . Si una norma surge de un producto interno, entonces la identidad de polarización puede usarse para expresar este producto interno completamente en términos de la norma. La identidad de polarización muestra que una norma puede surgir como máximo de un producto interno; sin embargo, existen normas que no surgen de ningún producto interno.

La norma asociada con cualquier espacio de productos internos satisface la ley del paralelogramo : de hecho, como observó John von Neumann , ^[1] la ley del paralelogramo caracteriza aquellas normas que surgen de los productos internos. Dado un espacio normado , la ley del paralelogramo se cumple si y sólo si existe un producto interno tal que para todos, en cuyo caso este producto interno está determinado únicamente por la norma a través de la identidad de polarización. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$ ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H,}$

Identidades de polarización

Cualquier producto interno en un espacio vectorial induce una norma mediante la ecuación. Las identidades de polarización invierten esta relación, recuperando el producto interno de la norma. Cada producto interior satisface: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

Resolviendo se obtiene la fórmula Si el producto interno es real, entonces esta fórmula se convierte en una identidad de polarización para productos internos reales. ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle }$

Espacios vectoriales reales

Si el espacio vectorial está sobre los números reales , entonces las identidades de polarización son: ^[4] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Estas diversas formas son todas equivalentes según la ley del paralelogramo : ^{[prueba 1]} $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Esto implica además que la clase no es un espacio de Hilbert siempre que ⁠ ⁠ , ya que no se cumple la ley del paralelogramo. A modo de contraejemplo, considere y para dos subconjuntos disjuntos cualesquiera de dominio general y calcule la medida de ambos conjuntos según la ley del paralelogramo. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle x=1_{A}}$ ${\displaystyle y=1_{B}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Espacios vectoriales complejos

Para espacios vectoriales sobre números complejos , las fórmulas anteriores no son del todo correctas porque no describen la parte imaginaria del producto interno (complejo). Sin embargo, una expresión análoga garantiza que se conserven tanto las partes reales como las imaginarias. La parte compleja del producto interno depende de si es antilineal en el primer o segundo argumento. Se supondrá que la notación que se usa comúnmente en física es antilineal en el primer argumento, mientras que la notación que se usa comúnmente en matemáticas se asumirá que es antilineal en el segundo argumento. Están relacionados por la fórmula: ${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$ $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

La parte real de cualquier producto interno (sin importar qué argumento sea antilineal y sin importar si es real o complejo) es una función bilineal simétrica que para cualquiera siempre es igual a: ^{[4] [prueba 1]} ${\displaystyle x,y\in H}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Siempre es un mapa simétrico , lo que significa que ^{[prueba 1]} y también satisface: ^{[prueba 1]} Así ⁠ ⁠ , que en lenguaje sencillo dice que para mover un factor de al otro argumento, introduce un signo negativo. $${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ $${\displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ ${\displaystyle i}$

A diferencia de su parte real, la parte imaginaria de un producto interno complejo depende de qué argumento es antilineal.

Antilineal en el primer argumento.

Las identidades de polarización para el producto interno que es antilineal en el primer argumento, son ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

donde La penúltima igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real: ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Antilineal en el segundo argumento.

Las identidades de polarización para el producto interno que es antilineal en el segundo argumento se derivan de la de por la relación: Entonces, para cualquier ^[4] ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$ ${\displaystyle x,y\in H,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Esta expresión se puede expresar simétricamente como: ^[5] $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Resumen de ambos casos

Por lo tanto, si denota las partes real e imaginaria del valor de algún producto interno en el punto de su dominio, entonces su parte imaginaria será: donde el escalar siempre se ubica en el mismo argumento en el que el producto interno es antilineal. ${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$ $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle i}$

Usando ⁠ ⁠ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ , la fórmula anterior para la parte imaginaria se convierte en: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

Reconstrucción del producto interior.

En un espacio normado , si se cumple la ley del paralelogramo , entonces existe un producto interno único tal que para todos ^{[4] [1]} ${\displaystyle (H,\|\cdot \|),}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$

Prueba

Aquí sólo daremos el caso real; la prueba para espacios vectoriales complejos es análoga.

Según las fórmulas anteriores, si la norma se describe mediante un producto interno (como esperamos), entonces debe satisfacer lo que puede servir como definición del único candidato para el papel de producto interno adecuado. De esta forma se garantiza la unicidad. $${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Queda por demostrar que esta fórmula define efectivamente un producto interno y que este producto interno induce la norma. Explícitamente se mostrará lo siguiente: ${\displaystyle \|\cdot \|.}$

1. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H}$
2. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H}$
3. ${\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,}$
4. ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R} }$

(Esta axiomatización omite la positividad , que está implícita en (1) y el hecho de que es una norma). ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Para las propiedades (1) y (2), sustituya: y ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.}$

Para la propiedad (3), es conveniente trabajar a la inversa. Queda por demostrar que o de manera equivalente, $${\displaystyle \|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.}$$

Ahora aplicamos la identidad del paralelogramo: Por lo tanto, queda por verificar: $${\displaystyle 2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}}$$ $${\displaystyle {\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$

Pero esta última afirmación se puede verificar restando las dos aplicaciones siguientes de la identidad del paralelogramo: $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

Por tanto, (3) se cumple.

Se puede verificar por inducción que (3) implica (4), siempre y cuando Pero "(4) cuando " implique "(4) cuando ". Y cualquier forma bilineal definida positiva y de valor real satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz , por lo que es continua. Por tanto, también debe ser lineal. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca una determinada norma es que la norma satisfaga la desigualdad de Ptolomeo , que es: ^[6] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Aplicaciones y consecuencias

Si es un espacio de Hilbert complejo entonces es real si y sólo si su parte imaginaria es ⁠ ⁠ , lo que ocurre si y sólo si ⁠ ⁠ . De manera similar, es (puramente) imaginario si y solo si ⁠ ⁠ . Por ejemplo, de ello se puede concluir que es real y que es puramente imaginario. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle 0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\Vert x+iy\Vert ^{2}-\Vert x-iy\Vert ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \Vert x+iy\Vert =\Vert x-iy\Vert }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert }$ ${\displaystyle \|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|}$ ${\displaystyle \langle x|x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x|ix\rangle }$

Isometrias

Si es una isometría lineal entre dos espacios de Hilbert ( para todos ), entonces las isometrías lineales conservan los productos internos. ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$

Si en cambio es una isometría antilineal entonces ${\displaystyle A:H\to Z}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

Relación con la ley de los cosenos

La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Esta es esencialmente una forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$ . En particular, ¿dónde está el ángulo entre los vectores y ⁠ ⁠ ? $${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$

La ecuación es numéricamente inestable si u y v son similares debido a una cancelación catastrófica y debe evitarse para el cálculo numérico.

Derivación

La relación básica entre la norma y el producto escalar viene dada por la ecuación $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

Luego y de manera similar $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización ahora siguen resolviendo estas ecuaciones para ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$ , mientras que la forma (3) se obtiene restando estas dos ecuaciones. (La suma de estas dos ecuaciones da la ley del paralelogramo).

Generalizaciones

Formas bilineales simétricas

Las identidades de polarización no se limitan a productos internos. Si es cualquier forma bilineal simétrica en un espacio vectorial y es la forma cuadrática definida por entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

El llamado mapa de simetrización generaliza la última fórmula, reemplazándolo por un polinomio homogéneo de grado definido por donde es un mapa lineal simétrico. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Las fórmulas anteriores se aplican incluso en el caso en que el campo de escalares tiene la característica dos, aunque en este caso los lados izquierdos son todos cero. En consecuencia, en la característica dos no existe una fórmula para una forma bilineal simétrica en términos de una forma cuadrática, y de hecho son nociones distintas, hecho que tiene importantes consecuencias en la teoría L ; Para abreviar, en este contexto las "formas bilineales simétricas" a menudo se denominan "formas simétricas".

Estas fórmulas también se aplican a formas bilineales en módulos sobre un anillo conmutativo , aunque nuevamente solo se puede resolver si 2 es invertible en el anillo; de lo contrario, estas son nociones distintas. Por ejemplo, entre los números enteros, se distinguen las formas cuadráticas integrales de las formas simétricas integrales , que son una noción más limitada. ${\displaystyle B(u,v)}$

De manera más general, en presencia de una involución anular o cuando 2 no es invertible, se distinguen formas -cuadráticas y formas -simétricas ; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se llama " mapa de simetrización " y, en general, no es un isomorfismo. Históricamente, esta ha sido una distinción sutil: sobre los números enteros no fue hasta la década de 1950 que se entendió la relación entre "dos afuera" ( forma cuadrática integral) y "dos adentro" (forma simétrica integral); ver discusión en forma cuadrática integral ; y en la algebraización de la teoría de la cirugía , Mishchenko originalmente usó grupos L simétricos , en lugar de los grupos L cuadráticos correctos (como en Wall y Ranicki); ver discusión en L-theory . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Polinomios homogéneos de mayor grado.

Finalmente, en cualquiera de estos contextos estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (es decir, formas algebraicas ) de grado arbitrario , donde se conoce como fórmula de polarización , y se revisa con mayor detalle en el artículo sobre la polarización de un algebraico. forma .

Ver también

• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de Hilbert
• Ley de los cosenos  : propiedad de todos los triángulos en un plano euclidiano
• Teorema de Mazur-Ulam
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normado
• Ley del paralelogramo  : la suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelogramo es igual a la de las 2 diagonales
• La desigualdad de Ptolomeo

notas y referencias

1. Lax 2002, pág. 53.
2. Philippe Blanchard , Erwin Brüning (2003). "Proposición 14.1.2 (Fréchet – von Neumann – Jordan)". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert y métodos variacionales . Birkhäuser. pag. 192.ISBN​ 0817642285.
3. Gerald Teschl (2009). "Teorema 0,19 (Jordan-von Neumann)". Métodos matemáticos en mecánica cuántica: con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. Librería de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 19.ISBN​ 978-0-8218-4660-5.
4. Schechter 1996, págs.
5. Mayordomo, Jon (20 de junio de 2013). "norma - ¿Derivación de las identidades de polarización?". Intercambio de pilas de matemáticas . Archivado desde el original el 14 de octubre de 2020 . Consultado el 14 de octubre de 2020 .Vea la respuesta de Harald Hanche-Olson.
6. Apóstol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista Matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
7. Butler 2013. Consulte la respuesta de Keith Conrad (KCd).

1. Puede encontrar una prueba aquí.

Bibliografía

• Laxo, Peter D. (2002). Análisis funcional (PDF) . Matemática Pura y Aplicada. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Consultado el 22 de julio de 2020 .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.