Espacio vectorial graduado

Estructura algebraica descompuesta en suma directa

En matemáticas , un espacio vectorial graduado es un espacio vectorial que tiene la estructura adicional de una gradación o gradación , que es una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de subespacios vectoriales , generalmente indexados por números enteros .

Para espacios vectoriales "puros", el concepto se ha introducido en el álgebra homológica y se utiliza ampliamente para álgebras graduadas , que son espacios vectoriales graduados con estructuras adicionales.

Gradación entera

Sea el conjunto de los números enteros no negativos . Un espacio vectorial graduado , a menudo llamado simplemente espacio vectorial graduado sin el prefijo , es un espacio vectorial V junto con una descomposición en una suma directa de la forma ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

donde cada uno es un espacio vectorial. Para un n dado, los elementos de se denominan elementos homogéneos de grado n . ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado  n .

Graduación general

Los subespacios de un espacio vectorial graduado no necesitan estar indexados por el conjunto de números naturales y pueden estar indexados por los elementos de cualquier conjunto I. Un espacio vectorial V de grado I es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por los elementos i del conjunto I :

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

Por lo tanto, un espacio vectorial graduado, como se definió anteriormente, es simplemente un espacio vectorial graduado I donde está el conjunto I (el conjunto de números naturales ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

El caso en el que I es el anillo (los elementos 0 y 1) es particularmente importante en física . Un espacio vectorial graduado también se conoce como espacio supervectorial . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

Homomorfismos

Para conjuntos de índices generales I , un mapa lineal entre dos espacios vectoriales graduados I f  : V → W se llama mapa lineal graduado si conserva la graduación de elementos homogéneos. Un mapa lineal graduado también se llama homomorfismo (o morfismo ) de espacios vectoriales graduados, o mapa lineal homogéneo :

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ por todo yo en yo .

Para un campo fijo y un conjunto de índices fijos, los espacios vectoriales graduados forman una categoría cuyos morfismos son los mapas lineales graduados.

Cuando I es un monoide conmutativo (como los números naturales), entonces se pueden definir de manera más general aplicaciones lineales que sean homogéneas de cualquier grado i en I mediante la propiedad

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ para todo j en I ,

donde "+" denota la operación monoide. Si además I satisface la propiedad de cancelación de modo que pueda integrarse en un grupo abeliano A que genera (por ejemplo, los números enteros si I son los números naturales), entonces también se pueden definir aplicaciones lineales que sean homogéneas de grado i en A por la misma propiedad (pero ahora "+" denota la operación de grupo en A ). Específicamente, para i en I una aplicación lineal será homogénea de grado − i si

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ para todo j en I , mientras

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ si j − i no está en I .

Así como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a sí mismo forma un álgebra asociativa (el álgebra de endomorfismos del espacio vectorial), los conjuntos de aplicaciones lineales homogéneas de un espacio a sí mismo (ya sea restringiendo los grados a I o permitiendo cualquier grado en el grupo A : forma álgebras graduadas asociativas sobre esos conjuntos de índices.

Operaciones en espacios vectoriales graduados

Algunas operaciones en espacios vectoriales también se pueden definir para espacios vectoriales graduados.

Dados dos espacios vectoriales V y W con calificación I , su suma directa tiene un espacio vectorial subyacente V  ⊕  W con gradación

( V  ⊕  W ) _yo = V _yo  ⊕  W _yo  .

Si I es un semigrupo , entonces el producto tensorial de dos espacios vectoriales de grado I V y W es otro espacio vectorial de grado I , con gradación ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

Serie de Hilbert-Poincaré

Dado un espacio vectorial graduado que es de dimensión finita para cada su serie de Hilbert-Poincaré es la serie de potencias formales ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

De las fórmulas anteriores, la serie de Hilbert-Poincaré de una suma directa y de un producto tensorial de espacios vectoriales graduados (de dimensión finita en cada grado) son, respectivamente, la suma y el producto de la correspondiente serie de Hilbert-Poincaré.

Ver también

• Calificado (matemáticas)
• álgebra graduada
• comodulo
• módulo calificado
• Regla de Littlewood-Richardson

Referencias

• Bourbaki, N. (1974) Álgebra I (Capítulos 1-3), ISBN  978-3-540-64243-5 , Capítulo 2, Sección 11; Capítulo 3.