Anillo monoide

Estructura algebraica

En álgebra abstracta , un anillo monoide es un anillo construido a partir de un anillo y un monoide , así como un anillo de grupo se construye a partir de un anillo y un grupo .

Definición

Sea R un anillo y sea G un monoide. El anillo monoide o álgebra monoide de G sobre R , denotado R [ G ] o RG , es el conjunto de sumas formales , donde para cada y r _g = 0 para todos excepto un número finito de g , equipado con adición coeficiente a coeficiente, y la multiplicación en la que los elementos de R conmutan con los elementos de G . Más formalmente, R [ G ] es el R -módulo libre en el conjunto G , dotado de multiplicación R -lineal definida en los elementos base por g·h  := gh , donde el lado izquierdo se entiende como la multiplicación en R [ G ] y el lado derecho se entiende como la multiplicación en G . ${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$ ${\displaystyle r_{g}\in R}$ ${\displaystyle g\in G}$

Alternativamente, se puede identificar el elemento con la función e _g que asigna g a 1 y cada otro elemento de G a 0. De esta manera, R [ G ] se identifica con el conjunto de funciones φ: G → R tales que { g  : φ( g ) ≠ 0 } es finito. equipado con adición de funciones, y con multiplicación definida por ${\displaystyle g\in R[G]}$

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

Si G es un grupo , entonces R [ G ] también se llama anillo de grupo de G sobre R.

Propiedad universal

Dados R y G , hay un homomorfismo de anillo α: R → R [ G ] que envía cada r a r 1 (donde 1 es el elemento identidad de G ), y un homomorfismo de monoide β: G → R [ G ] (donde este último se considera un monoide bajo multiplicación) que envía cada g a 1 g (donde 1 es la identidad multiplicativa de R ). Tenemos que α( r ) conmuta con β( g ) para todo r en R y g en G .

La propiedad universal del anillo monoide establece que dado un anillo S , un homomorfismo de anillo α': R → S , y un homomorfismo de monoide β': G → S al monoide multiplicativo de S , tal que α'( r ) conmuta con β'( g ) para todo r en R y g en G , existe un único homomorfismo de anillo γ: R [ G ] → S tal que al componer α y β con γ se obtienen α' y β '.

Aumento

El aumento es el homomorfismo de anillo η : R [ G ] → R definido por

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

El núcleo de η se denomina ideal de aumento . Es un módulo R libre cuya base consiste en 1 –  g para todos los g en G distintos de 1.

Ejemplos

Dado un anillo R y el monoide (aditivo) de números naturales N (o { x ⁿ } visto multiplicativamente), obtenemos el anillo R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] de polinomios sobre R . El monoide N ⁿ (con la adición) da el anillo de polinomios con n variables: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Generalización

Si G es un semigrupo , la misma construcción produce un anillo de semigrupo R [ G ].

Véase también

• Álgebra libre
• Serie Puiseux

Referencias

• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 211 (Rev. 3.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95385-X.

Lectura adicional

• R. Gilmer. Anillos de semigrupos conmutativos . University of Chicago Press, Chicago–Londres, 1984