Producto Massey

El producto de Massey es una generalización algebraica del fenómeno de los anillos borromeos .

En topología algebraica , el producto de Massey es una operación de cohomología de orden superior introducida en (Massey 1958), que generaliza el producto de copa . El producto de Massey fue creado por William S. Massey , un topólogo algebraico estadounidense.

Producto triple Massey

Sean elementos del álgebra de cohomología de un álgebra diferencial graduada . Si , el producto de Massey es un subconjunto de , donde . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle ab=bc=0}$ ${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$ ${\displaystyle H^{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}$

El producto de Massey se define algebraicamente, elevando los elementos a clases de equivalencia de elementos de , tomando los productos de Massey de estos y luego empujando hacia abajo hasta la cohomología. Esto puede dar como resultado una clase de cohomología bien definida o puede dar como resultado indeterminación. ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Defina como . La clase de cohomología de un elemento de se denotará por . El producto triple de Massey de tres clases de cohomología se define por ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle [u]}$

${\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}$

El producto de Massey de tres clases de cohomología no es un elemento de , sino un conjunto de elementos de , posiblemente vacío y que posiblemente contenga más de un elemento. Si tienen grados , entonces el producto de Massey tiene grado , y el proviene de la diferencial . ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle i+j+k-1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d}$

El producto Massey no es vacío si los productos y son ambos exactos, en cuyo caso todos sus elementos están en el mismo elemento del grupo cociente ${\displaystyle uv}$ ${\displaystyle vw}$

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}$

Por lo tanto, el producto de Massey puede considerarse como una función definida en triples de clases tales que el producto de las dos primeras o las dos últimas es cero, tomando valores en el grupo de cocientes anterior.

Más casualmente, si los dos productos por pares y ambos se desvanecen en homología ( ), es decir, y para algunas cadenas y , entonces el producto triple se desvanece "por dos razones diferentes" — es el límite de y (ya que y porque los elementos de homología son ciclos). Las cadenas límite y tienen indeterminación, que desaparece cuando uno pasa a la homología, y dado que y tienen el mismo límite, restarlos (la convención de signos es manejar correctamente la gradación) da un cociclo (el límite de la diferencia se desvanece), y así se obtiene un elemento bien definido de cohomología — este paso es análogo a definir la homotopía st o el grupo de homología en términos de indeterminación en homotopías nulas/homologías nulas de mapas/cadenas n -dimensionales. ${\displaystyle [u][v]}$ ${\displaystyle [v][w]}$ ${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$ ${\displaystyle uv=ds}$ ${\displaystyle vw=dt}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [u][v][w]}$ ${\displaystyle sw}$ ${\displaystyle ut}$ ${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$ ${\displaystyle [dw]=0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle sw}$ ${\displaystyle ut}$ ${\displaystyle n+1}$

Geométricamente, en la cohomología singular de una variedad, se puede interpretar el producto dualmente en términos de variedades límite e intersecciones, siguiendo la dualidad de Poincaré : duales a cociclos son ciclos, a menudo representables como variedades cerradas (sin límite), duales a producto son intersección, y duales a la resta de los productos límite es pegar las dos variedades límite juntas a lo largo del límite, obteniendo una variedad cerrada que representa la clase de homología dual del producto de Massey. En realidad, las clases de homología de las variedades no siempre se pueden representar por variedades – un ciclo que las represente puede tener singularidades – pero con esta salvedad la imagen dual es correcta.

Productos Massey de orden superior

De manera más general, el producto Massey n -vez de n elementos de se define como el conjunto de elementos de la forma ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$

${\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}$

para todas las soluciones de las ecuaciones

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$,

con y , donde denota . ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ ${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$

El producto Massey de orden superior puede considerarse como la obstrucción para resolver el último sistema de ecuaciones para todos los , en el sentido de que contiene la clase de cohomología 0 si y solo si estas ecuaciones son solucionables. Este producto Massey de n -veces es una operación de cohomología de orden, lo que significa que para que no esté vacío, muchas operaciones Massey de orden inferior tienen que contener 0 y, además, las clases de cohomología que representa difieren todas en términos que involucran operaciones de orden inferior. El producto Massey de 2-veces es simplemente el producto de taza habitual y es una operación de cohomología de primer orden, y el producto Massey de 3-veces es el mismo que el producto Massey triple definido anteriormente y es una operación de cohomología secundaria . ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n-1}$

J. Peter May  (1969) describió una generalización adicional llamada productos Matric Massey , que pueden utilizarse para describir los diferenciales de la secuencia espectral de Eilenberg-Moore .

Aplicaciones

El complemento de los anillos borromeos tiene un producto Massey no trivial.

El complemento de los anillos borromeos ^[1] da un ejemplo donde el producto triple de Massey está definido y no es cero. Nótese que la cohomología del complemento puede calcularse usando la dualidad de Alexander . Si u , v y w son 1-cocadenas duales a los 3 anillos, entonces el producto de dos cualesquiera es un múltiplo del número de enlace correspondiente y por lo tanto es cero, mientras que el producto de Massey de los tres elementos es distinto de cero, lo que muestra que los anillos borromeos están enlazados. El álgebra refleja la geometría: los anillos no están enlazados por pares, lo que corresponde a que los productos por pares (2 veces) se anulen, pero están enlazados en general, lo que corresponde a que el producto triple no se anule.

Los enlaces Brunnian no triviales corresponden a productos Massey que no desaparecen.

En términos más generales, los enlaces Brunnian de n componentes (enlaces tales que cualquier subenlace de un componente está desvinculado, pero el enlace general de n componentes está vinculado de manera no trivial) corresponden a productos Massey de n componentes, donde el desvinculación del subenlace de un componente corresponde a la desaparición de los productos Massey de n componentes, y el enlace general de n componentes corresponde a la no desaparición del producto Massey de n componentes. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Uehara y Massey (1957) utilizaron el producto triple de Massey para demostrar que el producto de Whitehead satisface la identidad de Jacobi .

Los productos Massey de orden superior aparecen cuando se calcula la teoría K retorcida por medio de la secuencia espectral Atiyah–Hirzebruch (AHSS). En particular, si H es la clase 3 de torsión, Atiyah y Segal (2006) demostraron que, racionalmente, los diferenciales de orden superior en la AHSS que actúan sobre una clase x están dados por el producto Massey de p copias de H con una sola copia de x . ${\displaystyle d_{2p+1}\ }$

Si una variedad es formal (en el sentido de Dennis Sullivan ), entonces todos los productos Massey en el espacio deben anularse; por lo tanto, una estrategia para demostrar que una variedad dada no es formal es exhibir un producto Massey no trivial. Aquí una variedad formal es aquella cuyo tipo de homotopía racional puede deducirse ("formalmente") a partir de un "modelo mínimo" de dimensión finita de su complejo de De Rham . Deligne et al. (1975) demostraron que las variedades compactas de Kähler son formales.

Salvatore y Longoni (2005) utilizan un producto de Massey para demostrar que el tipo de homotopía del espacio de configuración de dos puntos en un espacio de lentes depende de manera no trivial del tipo de homotopía simple del espacio de lentes.

Véase también

• Soporte de toda

Referencias

1. Massey, William S. (1998-05-01). "Números de enlace de orden superior" (PDF) . Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 07 (3): 393–414. doi :10.1142/S0218216598000206. ISSN  0218-2165. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2021.

• Atiyah, Michael ; Segal, Graeme (2006), "Teoría K retorcida y cohomología", Inspirado por SS Chern , Nankai Tracts in Mathematics, vol. 11, Hackensack, NJ: World Scientific Publishers, págs. 5–43, arXiv : math.KT/0510674 , doi :10.1142/9789812772688_0002, ISBN 978-981-270-061-2, MR  2307274, S2CID  119726615
• Deligne, Pierre ; Griffiths, Phillip ; Morgan, John ; Sullivan, Dennis (1975), "Teoría de homotopía real de las variedades de Kähler", Inventiones Mathematicae , 29 (3): 245–274, Bibcode :1975InMat..29..245D, doi :10.1007/BF01389853, MR  0382702, S2CID  1357812
• Massey, William S. (1958), "Algunas operaciones de cohomología de orden superior", Simposio internacional de topología algebraica (Simposio internacional sobre topología algebraica) , Ciudad de México: Universidad Nacional Autónoma de México y UNESCO, págs. 145-154, MR  0098366
• May, J. Peter (1969), "Productos de Matric Massey", Journal of Algebra , 12 (4): 533–568, doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 , MR  0238929
• McCleary, John (2001), Guía del usuario de secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, MR  1793722, Capítulo 8, "Productos Massey", págs. 302–304; "Productos Massey de orden superior", págs. 305–310; "Productos Massey Matric", págs. 311–312{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son homotópicamente invariantes", Topology , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002, MR  2114713, S2CID  15874513
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "La identidad de Jacobi para productos de Whitehead", Geometría algebraica y topología. Un simposio en honor de S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. 361–377, MR  0091473

Enlaces externos

• He Wang (4 de octubre de 2012). "Producto Massey y sus aplicaciones" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2 de febrero de 2021.– contiene muchos ejemplos explícitos
• RR Bruner (2 de junio de 2009). "An Adams Spectral Sequence Primer" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de enero de 2013.– Notas de Bruner
• Juan S (1 de agosto de 2012). "Productos Massey en la secuencia espectral de Adams". Stack Exchange .– contiene referencias útiles para comprender cómo realizar estos cálculos
• Daniel Grady (25 de febrero de 2015). "Productos Massey y estructuras A ∞ {\displaystyle A_{\infty }}". MathOverflow .