Álgebra diferencial graduada

Estructura algebraica en álgebra homológica

En matemáticas , en particular en álgebra homológica , un álgebra graduada diferencial es un álgebra asociativa graduada con una estructura compleja en cadena añadida que respeta la estructura del álgebra .

Definición

Un álgebra graduada diferencial (o álgebra DG para abreviar) A es un álgebra graduada equipada con un mapa que tiene grado 1 (convención de complejo de cocadena) o grado −1 (convención de complejo de cadena) que satisface dos condiciones: ${\displaystyle d\colon A\to A}$

1. ${\displaystyle d\circ d=0}$.
   Esto dice que d le da a A la estructura de un complejo de cadena o complejo de cocadena (en consecuencia, a medida que el diferencial reduce o aumenta el grado).
2. ${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)}$, donde es el grado de elementos homogéneos. ${\displaystyle \operatorname {deg} }$
   Esto dice que el diferencial d respeta la regla graduada de Leibniz .

Una forma más sucinta de expresar la misma definición es decir que un álgebra DG es un objeto monoide en la categoría monoide de complejos de cadena . Un morfismo DG entre álgebras DG es un homomorfismo de álgebra graduado que respeta el diferencial d .

Un álgebra aumentada graduada diferencial (también llamada álgebra DGA , álgebra DG aumentada o simplemente DGA ) es un álgebra DG equipada con un morfismo DG en el anillo de tierra (la terminología se debe a Henri Cartan ). ^[1]

Advertencia: algunas fuentes utilizan el término DGA para un álgebra DG.

Ejemplos de álgebras DG

Álgebra tensorial

El álgebra tensorial es un álgebra DG con diferencial similar al del complejo de Koszul . Para un espacio vectorial sobre un campo, existe un espacio vectorial graduado definido como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

dónde . ${\displaystyle V^{\otimes 0}=K}$

Si es una base para que exista un diferencial en el álgebra tensorial definido componente a componente ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)}$

enviando elementos base a

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

En particular tenemos y así ${\displaystyle d(e_{i})=(-1)^{i}}$

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

complejo koszul

Uno de los ejemplos fundamentales de álgebra diferencial graduada, ampliamente utilizado en álgebra conmutativa y geometría algebraica , es el complejo de Koszul . Esto se debe a su amplia gama de aplicaciones, incluida la construcción de resoluciones planas de intersecciones completas y, desde una perspectiva derivada , proporcionan el álgebra derivada que representa un lugar crítico derivado.

Álgebra de De-Rham

Las formas diferenciales en una variedad , junto con la derivación exterior y el producto exterior , forman un álgebra DG. Estos tienen amplias aplicaciones, incluso en la teoría de la deformación derivada. ^[2] Véase también cohomología de De Rham .

Cohomología singular

• La cohomología singular de un espacio topológico con coeficientes en es un álgebra DG: el diferencial está dado por el homomorfismo de Bockstein asociado a la secuencia exacta corta , y el producto está dado por el producto de copa . Esta álgebra diferencial graduada se utilizó para ayudar a calcular la cohomología de los espacios de Eilenberg-MacLane en el seminario de Cartan. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

Otros datos sobre las álgebras DG

• La homología de un álgebra DG es un álgebra graduada. La homología de un álgebra DGA es un álgebra aumentada . ${\displaystyle H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)}$ ${\displaystyle (A,d)}$

Ver también

• Álgebra asociativa de homotopía
• Categoría de calificación diferencial
• Álgebra de Lie diferencial graduada
• Esquema de calificación diferencial
• Módulo de calificación diferencial

Referencias

1. Cartan, Henri (1954). "Sobre los grupos de Eilenberg-Mac Lane H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} ". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 40 (6): 467–471. doi : 10.1073/pnas.40.6.467 . PMC  534072 . PMID  16589508.
2. Manetti, Marco. "Álgebras de Lie de grado diferencial y teoría de la deformación formal" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 16 de junio de 2013.
3. Cartan, Henri (1954-1955). "DGA-algèbres et DGA-módulos". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
4. Cartan, Henri (1954-1955). "Módulos DGA (suite), noción de construcción". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–11.

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, ver apartados V.3 y V.5.6