Regla del producto

Fórmula para la derivada de un producto.

Ilustración geométrica de una prueba de la regla del producto.

En cálculo , la regla del producto (o regla de Leibniz ^[1] o regla del producto de Leibniz ) es una fórmula utilizada para encontrar las derivadas de productos de dos o más funciones . Para dos funciones, puede expresarse en la notación de Lagrange como

$${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$$

la notación de Leibniz

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$

La regla puede extenderse o generalizarse a productos de tres o más funciones, a una regla para derivadas de orden superior de un producto y a otros contextos.

Descubrimiento

El descubrimiento de esta regla se atribuye a Gottfried Leibniz , quien la demostró utilizando diferenciales . ^[2] (Sin embargo, JM Child, un traductor de los artículos de Leibniz, ^[3] sostiene que se debe a Isaac Barrow .) Aquí está el argumento de Leibniz: Sean u ( x ) y v ( x ) dos funciones diferenciables de x . Entonces el diferencial de uv es

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

Dado que el término du · dv es "insignificante" (comparado con du y dv ), Leibniz concluyó que

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}$

y ésta es, de hecho, la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por el diferencial dx , obtenemos

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

que también se puede escribir en la notación de Lagrange como

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$

Ejemplos

• Supongamos que queremos diferenciar. Usando la regla del producto, se obtiene la derivada (ya que la derivada de es y la derivada de la función seno es la función coseno). ${\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}$ ${\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2x,}$
• Un caso especial de la regla del producto es la regla del múltiplo constante , que establece: si c es un número y es una función diferenciable, entonces también es diferenciable y su derivada es. Esto se deduce de la regla del producto ya que la derivada de cualquier constante es cero. Esto, combinado con la regla de la suma para las derivadas, muestra que la diferenciación es lineal . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c\cdot f(x)}$ ${\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}$
• La regla de integración por partes se deriva de la regla del producto, al igual que (una versión débil de) la regla del cociente . (Es una versión "débil" porque no prueba que el cociente sea diferenciable, sino que sólo dice cuál es su derivada si es diferenciable).

Pruebas

Definición límite de derivada

Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y suponga que f y g son diferenciables en x . Queremos demostrar que h es derivable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , está dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para hacer esto, (que es cero, y por lo tanto no cambia el valor) se suma al numerador para permitir su factorización, y luego se usan propiedades de límites. ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

El hecho de que esto se deduzca del hecho de que las funciones diferenciables son continuas. ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

Aproximaciones lineales

Por definición, si son diferenciables en , entonces podemos escribir aproximaciones lineales : ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}$$

$${\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}$$

htambién escritos ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$ ${\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}$ ${\displaystyle o(h).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Cuartos de cuadrados

Esta prueba utiliza la regla de la cadena y la función del cuarto de cuadrado con derivada . Tenemos: ${\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$ ${\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}$

${\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}$

y diferenciando ambos lados se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}$

Regla de la cadena multivariable

La regla del producto puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena para varias variables, aplicada a la función de multiplicación : ${\displaystyle m(u,v)=uv}$

${\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}$

Análisis no estándar

Sean u y v funciones continuas en x , y sean dx , du y dv infinitesimales en el marco del análisis no estándar , específicamente los números hiperreales . Usando st para denotar la función parcial estándar que asocia a un número hiperreal finito el real infinitamente cercano a él, esto da

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$

Esta fue esencialmente la prueba de Leibniz que explotaba la ley trascendental de homogeneidad (en lugar de la parte estándar anterior).

Análisis infinitesimal suave

En el contexto del enfoque de Lawvere sobre los infinitesimales, sea un infinitesimal nilcuadrado. Entonces y , para que ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du=u'\ dx}$ ${\displaystyle dv=v'\ dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\,\!\end{aligned}}}$

ya que dividir por entonces da o . ${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

Diferenciación logarítmica

Dejar . Tomando el valor absoluto de cada función y el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}$

Aplicando propiedades del valor absoluto y logaritmos,

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}$

Tomando la derivada logarítmica de ambos lados y luego resolviendo para : ${\displaystyle h'(x)}$

${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

Resolviendo y sustituyendo da : ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle f(x)g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

Nota: Es necesario tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica de funciones que pueden tener valores negativos, ya que los logaritmos solo tienen valores reales para argumentos positivos. Esto funciona porque , lo que justifica tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica. ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$

Generalizaciones

Producto de más de dos factores.

La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$

Para una colección de funciones , tenemos ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una prueba directa que no implica ninguna recursividad . La derivada logarítmica de una función f , denotada aquí Logder( f ) , es la derivada del logaritmo de la función. Resulta que

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$

Usando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para las derivadas da inmediatamente

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$

La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de ${\displaystyle f_{i}.}$

Derivados superiores

También se puede generalizar a la regla general de Leibniz para la enésima derivada de un producto de dos factores, expandiendo simbólicamente según el teorema del binomio :

${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$

Aplicada en un punto específico x , la fórmula anterior da:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Además, para la enésima derivada de un número arbitrario de factores, se tiene una fórmula similar con coeficientes multinomiales :

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$

Derivadas parciales superiores

Para derivadas parciales , tenemos ^[4]

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

donde el índice S recorre los 2 ⁿ subconjuntos de {1, ..., n } y | S | es la cardinalidad de S . Por ejemplo, cuando n = 3 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

espacio banach

Supongamos que X , Y y Z son espacios de Banach (que incluye el espacio euclidiano ) y B  : X × Y → Z es un operador bilineal continuo . Entonces B es diferenciable, y su derivada en el punto ( x , y ) en X × Y es el mapa lineal D _{( x , y )} B  : X × Y → Z dado por

${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$

Este resultado puede extenderse ^[5] a espacios vectoriales topológicos más generales.

En cálculo vectorial

La regla del producto se extiende a varias operaciones producto de funciones vectoriales en : ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Para multiplicación escalar :
  $${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$$
• Para producto escalar :
  $${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$$
• Para producto cruzado de funciones vectoriales en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
  $${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$$

También hay análogos para otros análogos de la derivada: si f y g son campos escalares, entonces existe una regla del producto con el gradiente :

$${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Esta regla será válida para cualquier operación de producto bilineal continua . Sea B  : X × Y → Z un mapa bilineal continuo entre espacios vectoriales, y sean f y g funciones diferenciables en X e Y , respectivamente. Las únicas propiedades de la multiplicación utilizadas en la prueba utilizando la definición límite de derivada es que la multiplicación es continua y bilineal. Entonces, para cualquier operación bilineal continua,

$${\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}$$

Derivaciones en álgebra abstracta y geometría diferencial.

En álgebra abstracta , la regla del producto es la propiedad definitoria de una derivación . En esta terminología, la regla del producto establece que el operador derivativo es una derivación de funciones.

En geometría diferencial , un vector tangente a una variedad M en un punto p puede definirse de manera abstracta como un operador en funciones de valores reales que se comporta como una derivada direccional en p : es decir, una funcional lineal v que es una derivación,

${\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}$

Generalizando (y dualizando) las fórmulas del cálculo vectorial a una variedad M de n dimensiones , se pueden tomar formas diferenciales de grados k y l , denotadas , con la operación de cuña o producto exterior , así como la derivada exterior . Entonces se tiene la regla graduada de Leibniz : ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

Aplicaciones

Entre las aplicaciones de la regla del producto hay una prueba de que

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

cuando n es un número entero positivo (esta regla es cierta incluso si n no es positivo o no es un número entero, pero la prueba de ello debe depender de otros métodos). La prueba es por inducción matemática sobre el exponente n . Si n  = 0 entonces x ⁿ es constante y nx ^{n  − 1} = 0. La regla se cumple en ese caso porque la derivada de una función constante es 0. Si la regla se cumple para cualquier exponente particular n , entonces para el siguiente valor, n  + 1, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(the product rule is used here)}}\\[12pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(the induction hypothesis is used here)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si la proposición es verdadera para n , también lo es para  n  + 1, y por tanto para todo n natural .

Ver también

• Diferenciación de integrales  – Problema en matemáticas
• Diferenciación de funciones trigonométricas  : proceso matemático para encontrar la derivada de una función trigonométrica
• Reglas de diferenciación  : reglas para calcular derivadas de funciones
• Distribución (matemáticas)  : término de análisis matemático similar a función generalizada
• Regla general de Leibniz  : generalización de la regla del producto en cálculo
• Integración por partes  – Método matemático en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de diferenciación  – Propiedad de cálculo
• Regla de potencia  : método para derivar polinomios de un solo término
• Regla del cociente  : fórmula para la derivada de una razón de funciones
• Tabla de derivadas  : reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades de cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Referencias

1. "Regla de Leibniz - Enciclopedia de Matemáticas".
2. Michelle Cirillo (agosto de 2007). "Humanizando el Cálculo" . El profesor de matemáticas . 101 (1): 23–27. doi :10.5951/MT.101.1.0023.
3. Leibniz, GW (2005) [1920], Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz (PDF) , traducido por JM Child, Dover, p. 28, nota al pie 58, ISBN 978-0-486-44596-0
4. Micheal Hardy (enero de 2006). "Combinatoria de Derivados Parciales" (PDF) . La Revista Electrónica de Combinatoria . 13 . arXiv : matemáticas/0601149 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 1149H.
5. Kreigl, Andreas; Micor, Peter (1997). El entorno conveniente del análisis global (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 59.ISBN _ 0-8218-0780-3.
6. Stewart, James (2016), Cálculo (8 ed.), Cengage, Sección 13.2.