Reglas de diferenciación

Reglas para calcular derivadas de funciones

Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .

Reglas elementales de diferenciación

A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas ^{[1] [2]} —incluido el caso de números complejos ( C ) . ^[3]

Regla del término constante

Para cualquier valor de , donde , si es la función constante dada por , entonces . ^[4] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=c}$ ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}$

Prueba

Sea y . Por la definición de la derivada, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la derivada de cualquier función constante es 0.

Explicación intuitiva (geométrica)

La derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. La pendiente de la función constante es cero, porque la recta tangente a la función constante es horizontal y su ángulo es cero.

En otras palabras, el valor de la función constante, y, no cambiará a medida que el valor de x aumente o disminuya.

En cada punto, la derivada es la pendiente de una línea que es tangente a la curva en ese punto. Nota: la derivada en el punto A es positiva donde el color es verde y tiene rayas y puntos, negativa donde el color es rojo y tiene rayas, y cero donde el color es negro y tiene trazos continuos.

La diferenciación es lineal

Para cualquier función y y cualquier número real y , la derivada de la función con respecto a es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

En la notación de Leibniz esto se escribe así: $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

Los casos especiales incluyen:

• La regla del factor constante $${\displaystyle (af)'=af'}$$
• La regla de la suma $${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$$
• La regla de la diferencia $${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

La regla del producto

Para las funciones y , la derivada de la función con respecto a es En la notación de Leibniz esto se escribe ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$ $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

La regla de la cadena

La derivada de la función es ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

En la notación de Leibniz, esto se escribe como: a menudo abreviado como $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

Centrándonos en la noción de mapas, y siendo el diferencial un mapa , esto se escribe de una manera más concisa como: ${\displaystyle {\text{D}}}$ $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}$$

La regla de la función inversa

Si la función f tiene una función inversa g , es decir que y entonces ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f(g(y))=y,}$ $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

En notación de Leibniz, esto se escribe como $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos

La regla de la potencia polinómica o elemental

Si , para cualquier número real entonces ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Cuando esto se convierte en el caso especial de que si entonces ${\displaystyle r=1,}$ ${\displaystyle f(x)=x,}$ ${\displaystyle f'(x)=1.}$

La combinación de la regla de potencia con las reglas de suma y múltiplo constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca

La derivada de para cualquier función f (no nula) es: ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$dondequiera que f sea distinto de cero.

En la notación de Leibniz, esto se escribe

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de la regla de la potencia y la regla de la cadena.

La regla del cociente

Si f y g son funciones, entonces:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$donde g no es cero.

Esto se puede derivar de la regla del producto y de la regla recíproca.

Regla de potencia generalizada

La regla de potencia elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

donde ambos lados estén bien definidos.

Casos especiales

• Si , entonces cuando a es cualquier número real distinto de cero y x es positivo. ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$
• La regla recíproca puede derivarse como el caso especial donde . ${\textstyle g(x)=-1\!}$

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

La ecuación anterior es verdadera para todo c , pero la derivada para produce un número complejo. ${\textstyle c<0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

La ecuación anterior también es verdadera para todos los c , pero produce un número complejo si . ${\textstyle c<0\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad }$¿Dónde está la función W de Lambert? ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}$

Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra forma de enunciar la regla para diferenciar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$dondequiera que f sea positivo.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar realmente la derivada. ^{[ cita requerida ]}

Los logaritmos se pueden utilizar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir divisiones en restas, cada uno de los cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.

Derivadas de funciones trigonométricas

Las derivadas en la tabla anterior son para cuando el rango de la secante inversa es y cuando el rango de la cosecante inversa es ${\displaystyle [0,\pi ]\!}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Es común definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos . Su valor se encuentra en el rango y refleja el cuadrante del punto. Para el primer y cuarto cuadrante (es decir, ) uno tiene Sus derivadas parciales son ${\displaystyle \arctan(y,x).}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle (x,y).}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).}$

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

Consulte Funciones hiperbólicas para conocer las restricciones sobre estas derivadas.

Derivadas de funciones especiales

Función gamma

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}$

siendo la función digamma , expresada por la expresión entre paréntesis a la derecha de en la línea anterior. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Función zeta de Riemann

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$

Derivadas de integrales

Supongamos que se requiere diferenciar con respecto a x la función

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

donde las funciones y son ambas continuas en ambos y en alguna región del plano, incluyendo , y las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces para : ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t,x)}$ ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y puede derivarse utilizando el teorema fundamental del cálculo .

Derivados denorteel orden

Existen algunas reglas para calcular la derivada n -ésima de funciones, donde n es un entero positivo. Entre ellas se incluyen:

La fórmula de Faà di Bruno

Si f y g son n veces diferenciables, entonces donde y el conjunto consiste en todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica . $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$$ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Regla general de Leibniz

Si f y g son n veces diferenciables, entonces $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$$

Véase también

• Función diferenciable  – Función matemática cuya derivada existe
• Diferencial de una función  – Noción en cálculo
• Diferenciación de integrales  – Problema de matemáticas
• Diferenciación bajo el signo integral  – Fórmula de diferenciación bajo el signo integralPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funciones hiperbólicas  – Nombre colectivo de 6 funciones matemáticas
• Funciones hiperbólicas inversas  – Funciones matemáticas
• Funciones trigonométricas inversas  : funciones inversas de seno, coseno, tangente, etc.
• Listas de integrales
• Lista de funciones matemáticas
• Cálculo matricial  : notación especializada para cálculo multivariable
• Funciones trigonométricas  – Funciones de un ángulo
• Identidades del cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Referencias

1. Cálculo (5.ª edición) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-150861-2 .
2. Cálculo avanzado (tercera edición) , R. Wrede, MR Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 . 
3. Variables complejas , MR Spiegel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 
4. "Reglas de diferenciación". Universidad de Waterloo – CEMC Open Courseware . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

Fuentes y lecturas adicionales

Estas reglas se dan en muchos libros, tanto de cálculo elemental como avanzado, de matemáticas puras y aplicadas. Las que aparecen en este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:

• Manual matemático de fórmulas y tablas (3.ª edición) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 . 
• El manual de Cambridge de fórmulas de física , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Métodos matemáticos para la física y la ingeniería , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
• Manual NIST de funciones matemáticas , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 

Enlaces externos

• Calculadora de derivadas con simplificación de fórmulas