Álgebra de Lie graduada diferencial

En matemáticas , en particular en álgebra abstracta y topología , un álgebra de Lie graduada diferencial (o álgebra de Lie dg o dgla ) es un espacio vectorial graduado con álgebra de Lie agregada y estructuras complejas en cadena que son compatibles. Tales objetos tienen aplicaciones en la teoría de la deformación ^[1] y la teoría de la homotopía racional .

Definición

Un álgebra de Lie graduada diferencial es un espacio vectorial graduado sobre un cuerpo de característica cero junto con un mapa bilineal y una diferencial que satisface ${\displaystyle L=\bigoplus L_{i}}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}}$ ${\displaystyle d:L_{i}\to L_{i-1}}$

${\displaystyle [x,y]=(-1)^{|x||y|+1}[y,x],}$

La identidad graduada de Jacobi :

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

y la regla graduada de Leibniz :

${\displaystyle d[x,y]=[dx,y]+(-1)^{|x|}[x,dy]}$

para cualquier elemento homogéneo x , y y z en L . Nótese aquí que la diferencial baja el grado y por lo tanto esta álgebra de Lie diferencial graduada se considera homológicamente graduada. Si en cambio la diferencial aumenta el grado, se dice que el álgebra de Lie diferencial graduada es cohomológicamente graduada (usualmente para reforzar este punto la graduación se escribe en superíndice: ). La elección de la graduación cohomológica usualmente depende de la preferencia personal o de la situación ya que son equivalentes: un espacio homológicamente graduado puede convertirse en uno cohomológico al establecer . ${\displaystyle L^{i}}$ ${\displaystyle L^{i}=L_{-i}}$

Las definiciones alternativas equivalentes de un álgebra de Lie graduada diferencial incluyen:

1. un objeto del álgebra de Lie interno a la categoría de complejos de cadenas ;
2. un álgebra estricta. ${\displaystyle L_{\infty }}$

Un morfismo de álgebras de Lie graduadas diferenciales es una función lineal graduada que conmuta con el corchete y la diferencial, es decir, y . Las álgebras de Lie graduadas diferenciales y sus morfismos definen una categoría . ${\displaystyle f:L\to L^{\prime }}$ ${\displaystyle f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}}$ ${\displaystyle f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)}$

Productos y coproductos

El producto de dos álgebras de Lie graduadas diferenciales, , se define de la siguiente manera: tome la suma directa de los dos espacios vectoriales graduados , y equípela con el corchete y el diferencial . ${\displaystyle L\times L^{\prime }}$ ${\displaystyle L\oplus L^{\prime }}$ ${\displaystyle [(x,x^{\prime }),(y,y^{\prime })]=([x,y],[x^{\prime },y^{\prime }])}$ ${\displaystyle D(x,x^{\prime })=(dx,d^{\prime }x^{\prime })}$

El coproducto de dos álgebras de Lie graduadas diferenciales, , se suele denominar producto libre. Se define como el álgebra de Lie graduada libre sobre los dos espacios vectoriales subyacentes con la diferencial única que extiende los dos originales módulo las relaciones presentes en cualquiera de las dos álgebras de Lie originales. ${\displaystyle L*L^{\prime }}$

Conexión con la teoría de la deformación

La principal aplicación es la teoría de la deformación sobre cuerpos de característica cero (en particular sobre los números complejos ). La idea se remonta al trabajo de Daniel Quillen sobre la teoría de la homotopía racional . Una forma de formular esta tesis (debida a Vladimir Drinfeld , Boris Feigin , Pierre Deligne , Maxim Kontsevich y otros) podría ser: ^[1]

Cualquier problema de deformación formal razonable en característica cero puede describirse mediante elementos de Maurer-Cartan de un álgebra de Lie diferencial graduada apropiada.

Un elemento de Maurer-Cartan es un elemento de grado −1, , que es una solución a la ecuación de Maurer-Cartan : ${\displaystyle x\in L_{-1}}$

${\displaystyle dx+{\frac {1}{2}}[x,x]=0.}$

Véase también

• Álgebra graduada diferencial (DGA)
• Álgebra de Lie simple
• Álgebra de Lie de homotopía

Referencias

1. Hinich, Vladimir (2001). "Coalgebras DG como pilas formales". Revista de álgebra pura y aplicada . 162 (2–3): 209–250. arXiv : math/9812034 . doi :10.1016/S0022-4049(00)00121-3. MR  1843805. S2CID  15720862.

• Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Anales de Matemáticas , 90 (2): 205–295, doi :10.2307/1970725, JSTOR  1970725, MR  0258031

Lectura adicional

• Jacob Lurie , Problemas de módulos formales, sección 2.1

Enlaces externos

• Álgebra de Lie diferencial graduada en el laboratorio n
• Estructura del modelo en álgebras de Lie de la DG en el laboratorio n