Teoría de la homotopía racional

Teoría matemática de los espacios topológicos

En matemáticas y específicamente en topología , la teoría de homotopía racional es una versión simplificada de la teoría de homotopía para espacios topológicos , en la que se ignora toda torsión en los grupos de homotopía . ^[1] Fue fundada por Dennis Sullivan  (1977) y Daniel Quillen  (1969). ^[1] Esta simplificación de la teoría de homotopía hace que ciertos cálculos sean mucho más fáciles.

Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conexos se pueden identificar con (clases de isomorfismo de) ciertos objetos algebraicos llamados modelos mínimos de Sullivan, que son álgebras graduadas diferenciales conmutativas sobre los números racionales que satisfacen ciertas condiciones.

Una aplicación geométrica fue el teorema de Sullivan y Micheline Vigué-Poirrier (1976): toda variedad riemanniana cerrada simplemente conexa X cuyo anillo de cohomología racional no es generado por un elemento tiene infinitas geodésicas cerradas geométricamente distintas . ^[2] La prueba utilizó la teoría de homotopía racional para mostrar que los números de Betti del espacio de bucles libres de X son ilimitados. El teorema se deduce entonces de un resultado de 1969 de Detlef Gromoll y Wolfgang Meyer.

Espacios racionales

Un mapa continuo de espacios topológicos simplemente conexos se llama equivalencia de homotopía racional si induce un isomorfismo en grupos de homotopía tensados ​​con los números racionales . ^[1] Equivalentemente: f es una equivalencia de homotopía racional si y solo si induce un isomorfismo en grupos de homología singulares con coeficientes racionales. ^[3] La categoría de homotopía racional (de espacios simplemente conexos) se define como la localización de la categoría de espacios simplemente conexos con respecto a las equivalencias de homotopía racional. El objetivo de la teoría de la homotopía racional es comprender esta categoría (es decir, determinar la información que se puede recuperar de las equivalencias de homotopía racional). ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un resultado básico es que la categoría de homotopía racional es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de los espacios topológicos, la subcategoría de los espacios racionales. Por definición, un espacio racional es un complejo CW simplemente conexo cuyos grupos de homotopía son espacios vectoriales sobre los números racionales. Para cualquier complejo CW simplemente conexo , existe un espacio racional , único hasta la equivalencia de homotopía , con una función que induce un isomorfismo sobre los grupos de homotopía tensados ​​con los números racionales. ^[4] El espacio se denomina racionalización de . Este es un caso especial de la construcción de Sullivan de la localización de un espacio en un conjunto dado de números primos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X}$

Se obtienen definiciones equivalentes utilizando grupos de homología en lugar de grupos de homotopía. Es decir, un complejo CW simplemente conexo es un espacio racional si y solo si sus grupos de homología son espacios vectoriales racionales para todos los . ^[5] La racionalización de un complejo CW simplemente conexo es el único espacio racional (hasta la equivalencia de homotopía) con una función que induce un isomorfismo en la homología racional. Por lo tanto, se tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }}$

y

${\displaystyle H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

Para todos . ${\displaystyle i>0}$

Estos resultados para espacios simplemente conexos se extienden con pocos cambios a los espacios nilpotentes (espacios cuyo grupo fundamental es nilpotente y actúa nilpotentemente sobre los grupos de homotopía superiores).

El cálculo de los grupos de homotopía de esferas es un problema central abierto en la teoría de la homotopía. Sin embargo, los grupos de homotopía racionales de esferas fueron calculados por Jean-Pierre Serre en 1951:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a{\text{ or }}i=4a-1\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Esto sugiere la posibilidad de describir toda la categoría de homotopía racional de una manera prácticamente computable. La teoría de la homotopía racional ha logrado gran parte de ese objetivo.

En la teoría de homotopía, las esferas y los espacios de Eilenberg-MacLane son dos tipos muy diferentes de espacios básicos a partir de los cuales se pueden construir todos los espacios. En la teoría de homotopía racional, estos dos tipos de espacios se vuelven mucho más cercanos. En particular, el cálculo de Serre implica que es el espacio de Eilenberg-MacLane . De manera más general, sea X cualquier espacio cuyo anillo de cohomología racional sea un álgebra conmutativa graduada libre (un producto tensorial de un anillo de polinomios en generadores de grado par y un álgebra exterior en generadores de grado impar). Entonces la racionalización es un producto de espacios de Eilenberg-MacLane. La hipótesis sobre el anillo de cohomología se aplica a cualquier grupo de Lie compacto (o más generalmente, a cualquier espacio de bucles ). ^[6] Por ejemplo, para el grupo unitario SU( n ) , ${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,2a-1)}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

Anillo de cohomología y álgebra de Lie de homotopía

Hay dos invariantes básicos de un espacio X en la categoría de homotopía racional: el anillo de cohomología racional y el álgebra de Lie de homotopía . La cohomología racional es un álgebra conmutativa graduada sobre , y los grupos de homotopía forman un álgebra de Lie graduada mediante el producto de Whitehead . (Más precisamente, escribiendo para el espacio de bucles de X , tenemos que es un álgebra de Lie graduada sobre . En vista del isomorfismo , esto solo equivale a un desplazamiento de la gradación por 1.) Por ejemplo, el teorema de Serre anterior dice que es el álgebra de Lie graduada libre en un generador de grado . ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n-1}$

Otra forma de pensar en el álgebra de Lie de homotopía es que la homología del espacio de bucles de X es el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de homotopía: ^[7]

${\displaystyle H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).}$

Por el contrario, se puede reconstruir el álgebra de Lie de homotopía racional a partir de la homología del espacio de bucles como el subespacio de elementos primitivos en el álgebra de Hopf . ^[8] ${\displaystyle H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

Un resultado central de la teoría es que la categoría de homotopía racional puede describirse de una manera puramente algebraica; de hecho, de dos maneras algebraicas diferentes. Primero, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de las álgebras de Lie graduadas diferenciales conexas . (El álgebra de Lie graduada asociada es el álgebra de Lie de homotopía). Segundo, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de las coalgebras co-conmutativas graduadas diferenciales 1-conexas . ^[9] (La coalgebra asociada es la homología racional de X como coalgebra; el espacio vectorial dual es el anillo de cohomología racional). Estas equivalencias estuvieron entre las primeras aplicaciones de la teoría de categorías modelo de Quillen . ${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$

En particular, la segunda descripción implica que para cualquier álgebra conmutativa graduada A de la forma ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,}$

con cada espacio vectorial de dimensión finita, existe un espacio simplemente conexo X cuyo anillo de cohomología racional es isomorfo a A . (Por el contrario, hay muchas restricciones, no completamente entendidas, sobre los anillos de cohomología integrales o mod p de los espacios topológicos, para números primos p .) En el mismo espíritu, Sullivan demostró que cualquier álgebra conmutativa graduada con que satisface la dualidad de Poincaré es el anillo de cohomología de alguna variedad cerrada suave simplemente conexa , excepto en la dimensión 4 a ; en ese caso, también es necesario suponer que el apareamiento de intersección en es de la forma sobre . ^[10] ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A^{1}=0}$ ${\displaystyle A^{2a}}$ ${\displaystyle \sum \pm x_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Uno puede preguntarse cómo pasar de una descripción algebraica a otra de la categoría de homotopía racional. En resumen, un álgebra de Lie determina un álgebra conmutativa graduada mediante la cohomología del álgebra de Lie , y un álgebra conmutativa aumentada determina un álgebra de Lie graduada mediante la cohomología reducida de André-Quillen . En términos más generales, existen versiones de estas construcciones para álgebras graduadas diferenciales. Esta dualidad entre álgebras conmutativas y álgebras de Lie es una versión de la dualidad de Koszul .

Álgebras de Sullivan

Para los espacios cuya homología racional en cada grado tiene dimensión finita, Sullivan clasificó todos los tipos de homotopía racional en términos de objetos algebraicos más simples, las álgebras de Sullivan. Por definición, un álgebra de Sullivan es un álgebra graduada diferencial conmutativa sobre los racionales , cuya álgebra subyacente es el álgebra graduada conmutativa libre sobre un espacio vectorial graduado. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n>0}V^{n},}$

que satisface la siguiente "condición de nilpotencia" en su diferencial d : el espacio V es la unión de una serie creciente de subespacios graduados, , donde en y está contenido en . En el contexto de las álgebras graduadas diferenciales A , "conmutativo" se utiliza para significar conmutativo-graduado; es decir, ${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle V(0)}$ ${\displaystyle d(V(k))}$ ${\displaystyle \bigwedge (V(k-1))}$

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

para a en y b en . ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle A^{j}}$

El álgebra de Sullivan se llama mínima si la imagen de d está contenida en , donde es la suma directa de los subespacios de grado positivo de . ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

Un modelo de Sullivan para un álgebra graduada diferencial conmutativa A es un álgebra de Sullivan con un homomorfismo que induce un isomorfismo en la cohomología. Si , entonces A tiene un modelo de Sullivan mínimo que es único hasta el isomorfismo. (Advertencia: un álgebra de Sullivan mínima con la misma álgebra de cohomología que A no necesita ser un modelo de Sullivan mínimo para A : también es necesario que el isomorfismo de la cohomología sea inducido por un homomorfismo de álgebras graduadas diferenciales. Hay ejemplos de modelos de Sullivan mínimos no isomorfos con álgebras de cohomología isomorfas). ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle \bigwedge (V)\to A}$ ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

El modelo mínimo de Sullivan de un espacio topológico

Para cualquier espacio topológico X , Sullivan definió un álgebra diferencial graduada conmutativa , llamada álgebra de formas diferenciales polinómicas en X con coeficientes racionales. Un elemento de esta álgebra consiste (aproximadamente) en una forma polinómica en cada símplex singular de X , compatible con las funciones de caras y degeneración. Esta álgebra suele ser muy grande (dimensión incontable) pero puede ser reemplazada por un álgebra mucho más pequeña. Más precisamente, cualquier álgebra diferencial graduada con el mismo modelo mínimo de Sullivan que se llama modelo para el espacio X . Cuando X es simplemente conexo, dicho modelo determina el tipo de homotopía racional de X . ${\displaystyle A_{PL}(X)}$ ${\displaystyle A_{PL}(X)}$

Para cualquier complejo CW simplemente conexo X con todos los grupos de homología racionales de dimensión finita, existe un modelo de Sullivan mínimo para , que tiene la propiedad de que y todos los tienen dimensión finita. Esto se llama modelo mínimo de Sullivan de X ; es único hasta isomorfismo. ^[11] Esto da una equivalencia entre los tipos de homotopía racional de tales espacios y tales álgebras, con las propiedades: ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle A_{PL}(X)}$ ${\displaystyle V^{1}=0}$ ${\displaystyle V^{k}}$

• La cohomología racional del espacio es la cohomología de su modelo mínimo de Sullivan.
• Los espacios de indecomponibles en V son los duales de los grupos de homotopía racional del espacio X.
• El producto de Whitehead sobre homotopía racional es el dual de la "parte cuadrática" de la diferencial d .
• Dos espacios tienen el mismo tipo de homotopía racional si y sólo si sus álgebras de Sullivan mínimas son isomorfas.
• Existe un espacio simplemente conexo X correspondiente a cada posible álgebra de Sullivan con y todas las de dimensión finita. ${\displaystyle V^{1}=0}$ ${\displaystyle V^{k}}$

Cuando X es una variedad suave, el álgebra diferencial de formas diferenciales suaves en X (el complejo de De Rham ) es casi un modelo para X ; más precisamente, es el producto tensorial de un modelo para X con los reales y, por lo tanto, determina el tipo de homotopía real . Se puede ir más allá y definir el tipo de homotopía p -completada de X para un número primo p . El "cuadrado aritmético" de Sullivan reduce muchos problemas en la teoría de la homotopía a la combinación de la teoría de homotopía racional y p -completada, para todos los primos p . ^[12]

La construcción de modelos mínimos de Sullivan para espacios simplemente conexos se extiende a espacios nilpotentes. Para grupos fundamentales más generales, las cosas se complican; por ejemplo, los grupos de homotopía racional de un complejo CW finito (como la cuña ) pueden ser espacios vectoriales de dimensión infinita. ${\displaystyle S^{1}\vee S^{2}}$

Espacios formales

Un álgebra diferencial graduada conmutativa A , nuevamente con , se llama formal si A tiene un modelo con diferencial nulo. Esto es equivalente a requerir que el álgebra de cohomología de A (vista como un álgebra diferencial con diferencial trivial) sea un modelo para A (aunque no tiene que ser el modelo mínimo ). Por lo tanto, el tipo de homotopía racional de un espacio formal está completamente determinado por su anillo de cohomología. ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

Entre los ejemplos de espacios formales se incluyen esferas, espacios H , espacios simétricos y variedades de Kähler compactas . ^[13] La formalidad se conserva bajo productos y sumas en cuña . Para las variedades, la formalidad se conserva mediante sumas conexas .

Por otra parte, las nilvariedades cerradas casi nunca son formales: si M es una nilvariedad formal, entonces M debe ser el toro de alguna dimensión. ^[14] El ejemplo más simple de una nilvariedad no formal es la variedad de Heisenberg , el cociente del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores reales 3×3 con 1 en la diagonal por su subgrupo de matrices con coeficientes enteros. Las variedades simplécticas cerradas no necesitan ser formales: el ejemplo más simple es la variedad de Kodaira–Thurston (el producto de la variedad de Heisenberg con un círculo). También hay ejemplos de variedades cerradas simplécticas no formales, simplemente conexas. ^[15]

La no formalidad se puede detectar a menudo mediante productos de Massey . De hecho, si un álgebra graduada diferencial A es formal, entonces todos los productos de Massey (de orden superior) deben desaparecer. Lo inverso no es cierto: la formalidad significa, en términos generales, la desaparición "uniforme" de todos los productos de Massey. El complemento de los anillos borromeos es un espacio no formal: admite un producto Massey triple no trivial.

Ejemplos

• Si X es una esfera de dimensión impar , su modelo mínimo de Sullivan tiene un generador a de grado con , y una base de elementos 1, a . ${\displaystyle 2n+1>1}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle da=0}$
• Si X es una esfera de dimensión par , su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores a y b de grados y , con , , y una base de elementos , , , donde la flecha indica la acción de d . ${\displaystyle 2n>0}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle db=a^{2}}$ ${\displaystyle da=0}$ ${\displaystyle 1,a,b\to a^{2}}$ ${\displaystyle ab\to a^{3}}$ ${\displaystyle a^{2}b\to a^{4},\ldots }$
• Si X es el espacio proyectivo complejo con , su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores u y x de grados 2 y , con y . Tiene una base de elementos , , . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle du=0}$ ${\displaystyle dx=u^{n+1}}$ ${\displaystyle 1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}}$ ${\displaystyle x\to u^{n+1}}$ ${\displaystyle xu\to u^{n+2},\ldots }$
• Supóngase que V tiene 4 elementos a , b , x , y de grados 2, 3, 3 y 4 con diferenciales , , , . Entonces esta álgebra es un álgebra de Sullivan minimal que no es formal. El álgebra de cohomología tiene componentes no triviales solo en dimensión 2, 3, 6, generados respectivamente por a , b y . Cualquier homomorfismo de V a su álgebra de cohomología mapearía y a 0 y x a un múltiplo de b ; por lo que mapearía a 0. Por lo tanto, V no puede ser un modelo para su álgebra de cohomología. Los espacios topológicos correspondientes son dos espacios con anillos de cohomología racional isomorfos pero diferentes tipos de homotopía racional. Nótese que está en el producto de Massey . ${\displaystyle da=0}$ ${\displaystyle db=0}$ ${\displaystyle dx=a^{2}}$ ${\displaystyle dy=ab}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle \langle [a],[a],[b]\rangle }$

Espacios elípticos e hiperbólicos

La teoría de homotopía racional reveló una dicotomía inesperada entre los complejos CW finitos: o bien los grupos de homotopía racionales son cero en grados suficientemente altos, o bien crecen exponencialmente . Es decir, sea X un espacio simplemente conexo tal que es un espacio vectorial -de dimensión finita (por ejemplo, un complejo CW finito tiene esta propiedad). Definamos que X es racionalmente elíptico si es también un espacio vectorial -de dimensión finita , y en caso contrario racionalmente hiperbólico . Luego, Félix y Halperin demostraron: si X es racionalmente hiperbólico, entonces hay un número real y un entero N tales que ${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C>1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}}$

para todos . ^[16] ${\displaystyle n\geq N}$

Por ejemplo, las esferas, los espacios proyectivos complejos y los espacios homogéneos para grupos de Lie compactos son elípticos. Por otra parte, "la mayoría" de los complejos finitos son hiperbólicos. Por ejemplo:

• El anillo de cohomología racional de un espacio elíptico satisface la dualidad de Poincaré. ^[17]
• Si X es un espacio elíptico cuyo grupo de cohomología racional no nulo superior está en grado n , entonces cada número de Betti es como máximo el coeficiente binomial (con igualdad para el toro n -dimensional). ^[18] ${\displaystyle b_{i}(X)}$ ${\displaystyle {\binom {n}{i}}}$
• La característica de Euler de un espacio elíptico X no es negativa. Si la característica de Euler es positiva, entonces todos los números de Betti impares son cero y el anillo de cohomología racional de X es un anillo de intersección completo . ^[19] ${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$

Existen muchas otras restricciones sobre el anillo de cohomología racional de un espacio elíptico. ^[20]

La conjetura de Bott predice que toda variedad de Riemann cerrada, simplemente conexa y con curvatura seccional no negativa debería ser racionalmente elíptica. Se sabe muy poco sobre esta conjetura, aunque es válida para todos los ejemplos conocidos de tales variedades. ^[21]

La conjetura de Halperin afirma que la secuencia espectral racional de Serre de una secuencia de fibras de espacios simplemente conexos con fibra elíptica racional de característica de Euler distinta de cero se desvanece en la segunda página.

Un complejo finito simplemente conexo X es racionalmente elíptico si y solo si la homología racional del espacio de bucles crece como máximo de forma polinómica. De manera más general, X se denomina integralmente elíptico si la homología módulo p de crece como máximo de forma polinómica, para cada número primo p . Todas las variedades de Riemann conocidas con curvatura seccional no negativa son, de hecho, integralmente elípticas. ^[22] ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Véase también

• Teorema de Mandell: análogo de la teoría de homotopía racional en contextos p-ádicos
• Teoría de la homotopía cromática

Notas

1. Hess 1999, pág. 757.
2. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 5.13.
3. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 8.6.
4. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.7.
5. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.3.
6. Félix, Halperin y Thomas (2001), Corolario de la Proposición 16.7.
7. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5(i).
8. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5(iii).
9. Quillen (1969), Corolario II.6.2.
10. Sullivan (1977), Teorema 13.2.
11. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 12.10.
12. Mayo y Ponto (2012), sección 13.1.
13. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 4.43.
14. Félix, Oprea y Tanré (2008), Observación 3.21.
15. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 8.29.
16. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 33.2.
17. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 38.3.
18. Pavlov (2002), Teorema 1.
19. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 32.10.
20. Félix, Halperin y Thomas (2001), sección 32.
21. Félix, Oprea y Tanré (2008), Conjetura 6.43.
22. Félix, Halperin y Thomas (1993), sección 3.

Referencias

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