Álgebra de Lie de homotopía

En matemáticas , en particular álgebra abstracta y topología , un álgebra de Lie homotópica (o -álgebra ) es una generalización del concepto de álgebra de Lie diferencial graduada . Para ser un poco más específico, la identidad de Jacobi sólo resiste la homotopía. Por lo tanto, un álgebra de Lie diferencial graduada puede verse como un álgebra de Lie homotópica donde la identidad de Jacobi se mantiene en la nariz. Estas álgebras de homotopía son útiles para clasificar problemas de deformación sobre la característica 0 en la teoría de la deformación porque los functores de deformación se clasifican mediante clases de cuasi-isomorfismos de -álgebras. ^[1] Esto fue posteriormente ampliado a todas las características por Jonathan Pridham. ^[2] ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Las álgebras de Homotopía Lie tienen aplicaciones dentro de las matemáticas y la física matemática ; están vinculados, por ejemplo, al formalismo de Batalin-Vilkovisky de forma muy similar a como lo están las álgebras de Lie de grado diferencial.

Definición

Existen varias definiciones diferentes de álgebra de Lie homotópica, algunas particularmente adecuadas para determinadas situaciones más que otras. La definición más tradicional es mediante mapas multilineales simétricos, pero también existe una definición geométrica más sucinta que utiliza el lenguaje de la geometría formal . Aquí se hace la suposición general de que el campo subyacente es de característica cero.

Definición geométrica

Un álgebra de Lie homotópica en un espacio vectorial graduado es una derivación continua, de orden que se eleva a cero en la variedad formal . Aquí está el álgebra simétrica completa, es la suspensión de un espacio vectorial graduado y denota el dual lineal. Por lo general, se describe como álgebra de Lie homotópica y con el diferencial como representación del álgebra graduada diferencial conmutativa. ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle (V,m)}$ ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle m}$

Usando esta definición de álgebra de Lie homotópica, se define un morfismo de álgebras de Lie homotópicas, como un morfismo de sus álgebras graduadas diferenciales conmutativas representativas que conmutan con el campo vectorial, es decir ,. Las álgebras de Homotopía de Lie y sus morfismos definen una categoría . ${\displaystyle f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})}$ ${\displaystyle f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}}$ ${\displaystyle f\circ m_{V}=m_{W}\circ f}$

Definición mediante mapas multilineales

La definición más tradicional de un álgebra de Lie homotópica es a través de una colección infinita de mapas multilineales simétricos que a veces se denomina definición entre corchetes más altos. Cabe señalar que las dos definiciones son equivalentes.

Un álgebra de Lie homotópica ^[3] en un espacio vectorial graduado es una colección de mapas multilineales simétricos de grado , a veces llamado paréntesis -ario, para cada uno . Además, los mapas satisfacen la identidad generalizada de Jacobi: ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V}$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l_{n}}$

${\displaystyle \sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,}$

para cada n. Aquí la suma interna se desborda y es la firma de la permutación. La fórmula anterior tiene interpretaciones significativas para valores bajos de ; por ejemplo, cuando dice que eleva al cuadrado cero (es decir, es un diferencial de ), cuando dice que es una derivación de , y cuando dice que satisface la identidad de Jacobi hasta un término exacto de (es decir, cumple con la homotopía). Observe que cuando los corchetes superiores desaparecen , se recupera la definición de un álgebra de Lie graduada diferencial . ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{3}}$ ${\displaystyle l_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle V}$

Utilizando el enfoque a través de mapas multilineales, un morfismo de álgebras de Lie de homotopía se puede definir mediante una colección de mapas multilineales simétricos que satisfacen ciertas condiciones. ${\displaystyle f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W}$

Definición mediante óperas

También existe una definición más abstracta de álgebra de homotopía utilizando la teoría de operadas : es decir, un álgebra de Lie de homotopía es un álgebra sobre una operada en la categoría de complejos de cadenas sobre la operada. ${\displaystyle L_{\infty }}$

(Cuasi) isomorfismos y modelos mínimos

Se dice que un morfismo de álgebras de Lie homotópicas es un (cuasi) isomorfismo si su componente lineal es un (cuasi) isomorfismo, donde los diferenciales de y son solo los componentes lineales de y . ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle m_{V}}$ ${\displaystyle m_{W}}$

Una clase especial importante de álgebras de Lie con homotopía son las llamadas álgebras de Lie con homotopía mínima , que se caracterizan por la desaparición de su componente lineal . Esto significa que cualquier cuasi isomorfismo de álgebras de Lie de homotopía mínima debe ser un isomorfismo. Cualquier álgebra de Lie homotópica es cuasiisomorfa a una mínima, que debe ser única hasta el isomorfismo y por eso se le llama modelo mínimo . ${\displaystyle l_{1}}$

Ejemplos

Debido a que las álgebras tienen una estructura tan compleja, describir incluso casos simples puede ser una tarea no trivial en la mayoría de los casos. Afortunadamente, existen casos simples que provienen de álgebras de Lie de grado diferencial y casos que provienen de ejemplos de dimensión finita. ${\displaystyle L_{\infty }}$

Álgebras de Lie graduadas diferenciales

Una de las clases accesibles de ejemplos de -álgebras proviene de la incorporación de álgebras de Lie de grado diferencial en la categoría de -álgebras. Esto se puede describir dando la derivación, la estructura del álgebra de Lie y el resto de los mapas. ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{k}=0}$

Dos términos L∞álgebras

En grados 0 y 1

Una clase notable de ejemplos son las álgebras que sólo tienen dos espacios vectoriales subyacentes distintos de cero . Luego, al generar la definición de -álgebras, esto significa que hay un mapa lineal ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle d\colon V_{1}\to V_{0}}$,

mapas bilineales

${\displaystyle l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}}$, dónde , ${\displaystyle 0\leq i+j\leq 1}$

y un mapa trilineal

${\displaystyle l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}}$

que satisfacen una multitud de identidades. ^{[4] pg 28} En particular, el mapa implica que tiene una estructura de álgebra de mentira hasta una homotopía. Esto está dado por el diferencial de ya que da la estructura de álgebra implica ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle V_{0}\times V_{0}\to V_{0}}$ ${\displaystyle l_{3}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que es un grupo de Lie más alto. De hecho, algunos autores escriben los mapas como , por lo que la ecuación anterior podría leerse como ${\displaystyle l_{n}}$ ${\displaystyle [-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }}$

${\displaystyle d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que el diferencial de los 3 corchetes indica que el 2 corchetes no es una estructura de álgebra de Lie. Es sólo un álgebra de Lie hasta la homotopía. Si tomamos el complejo entonces tiene una estructura de álgebra de Lie a partir del mapa inducido de . ${\displaystyle H_{*}(V_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle H_{0}(V_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle [-,-]_{2}}$

En grados 0 y n

En este caso, para , no hay diferencial, por lo que hay un álgebra de Lie en la nariz, pero hay datos adicionales de un espacio vectorial en grados y un paréntesis más alto. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle l_{n+2}\colon \bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}.}$

Resulta que este grupo superior es, de hecho, un cociclo superior en la cohomología del álgebra de Lie . Más específicamente, si reescribimos como el álgebra de Lie y una representación del álgebra de Lie (dada por el mapa de estructura ), entonces hay una biyección de cuádruples ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})}$donde esta una -cociclo ${\displaystyle l_{n+2}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V}$ ${\displaystyle (n+2)}$

y las álgebras de dos términos con espacios vectoriales distintos de cero en grados y . ^{[4] pág. 42} Tenga en cuenta que esta situación es muy análoga a la relación entre la cohomología de grupo y la estructura de n-grupos con dos grupos de homotopía no triviales. Para el caso del término término -álgebras en grados y existe una relación similar entre los cociclos de álgebra de Lie y dichos corchetes superiores. Tras la primera inspección, no es un resultado obvio, pero queda claro después de observar el complejo de homología. ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})}$,

entonces el diferencial se vuelve trivial. Esto da un álgebra equivalente que luego puede analizarse como antes. ${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo en grados 0 y 1

Un ejemplo simple de álgebra de Lie-2 lo da el álgebra donde donde es el producto cruzado de vectores y es la representación trivial. Entonces, hay un corchete más alto dado por el producto escalar de vectores ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle l_{3}}$

${\displaystyle l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c).}$

Se puede comprobar que el diferencial de esta álgebra es siempre cero utilizando álgebra lineal básica ^{[4] pg 45} . ${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo de dimensión finita

Encontrar ejemplos simples para estudiar la naturaleza de las álgebras es un problema complejo. Por ejemplo, ^[5] dado un espacio vectorial graduado donde tiene la base dada por el vector y la base dada por los vectores , existe una estructura de álgebra dada por las siguientes reglas ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},}$

dónde . Tenga en cuenta que las primeras constantes son ${\displaystyle C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}}$

Como debería ser de grado , los axiomas implican eso . Hay otros ejemplos similares para álgebras de super ^[6] Lie. ^[7] Además, se han clasificado completamente las estructuras en espacios vectoriales graduados cuyo espacio vectorial subyacente es bidimensional. ^[3] ${\displaystyle l_{1}(w)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle l_{1}(w)=0}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Ver también

• Álgebra asociativa de homotopía
• Álgebra diferencial graduada
• formalismo BV
• Álgebra de mentira simple
• Homología de Hochschild
• Cuantización de deformación

Referencias

1. Lurie, Jacob . "Geometría algebraica derivada X: problemas de módulos formales" (PDF) . pag. 31, Teorema 2.0.2.
2. Pridham, Jonathan Paul (2012). "Deformaciones derivadas de esquemas". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 20 (3): 529–563. arXiv : 0908.1963 . doi :10.4310/CAG.2012.v20.n3.a4. SEÑOR  2974205.
3. Diario, Marilyn Elizabeth (14 de abril de 2004). L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} Estructuras en espacios de baja dimensión (Doctor). hdl :1840.16/5282.
4. Báez, John C .; Crans, Alissa S. (24 de enero de 2010). "Álgebra VI de dimensiones superiores: Álgebras de mentira 2". Teoría y Aplicaciones de Categorías . 12 : 492–528. arXiv : matemáticas/0307263 .
5. Diario, Marilyn; Lada, Tom (2005). "Un ejemplo de álgebra de dimensión finita L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} en la teoría de calibres". Homología, Homotopía y Aplicaciones . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n2.a4 . SEÑOR  2156308.
6. Fialowski, Alicia; Penkava, Michael (2002). "Ejemplos de álgebras del infinito y de Lie y sus deformaciones Versales". Publicaciones del Centro Banach . 55 : 27–42. arXiv : matemáticas/0102140 . doi :10.4064/bc55-0-2. SEÑOR  1911978. S2CID  14082754.
7. Fialowski, Alicia; Penkava, Michael (2005). "Álgebras de Lie fuertemente homotópicas de una dimensión par y dos impares". Revista de Álgebra . 283 (1): 125-148. arXiv : matemáticas/0308016 . doi :10.1016/j.jalgebra.2004.08.023. SEÑOR  2102075. S2CID  119142148.

Introducción

• Teoría de la deformación (notas de la clase): ofrece una excelente descripción general de las álgebras de Lie de homotopía y su relación con la teoría de la deformación y la cuantificación de la deformación.
• Lada, Tom; Stasheff, Jim (1993). "Introducción a las álgebras de sh Lie para físicos". Revista Internacional de Física Teórica . 32 (7): 1087-1104. arXiv : hep-th/9209099 . Código bibliográfico : 1993IJTP...32.1087L. doi :10.1007/BF00671791. S2CID  16456088.

En física

• Arvanitakis, Alex S. (2019). "La L∞-álgebra de la matriz S". arXiv : 1903.05643 [hep-th].
• Hohm, Olaf; Zwiebach, Barton (2017). "L∞ Álgebras y teoría de campos". Fortschr. Física . 65 (3–4): 1700014. arXiv : 1701.08824 . Código Bib : 2017 para Ph..6500014H. doi :10.1002/prop.201700014. S2CID  90628041.— Hacia la clasificación de campos clásicos invariantes de calibre perturbativos.

En deformación y teoría de cuerdas.

• Pridham, Jonathan P. (2015). "Deformaciones derivadas de pilas Artin". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 23 (3): 419–477. arXiv : 0805.3130 . doi :10.4310/CAG.2015.v23.n3.a1. SEÑOR  3310522. S2CID  14505074.
• Pridham, Jonathan P. (2010). "Unificación de teorías de deformación derivada". Avances en Matemáticas . 224 (3): 772–826. arXiv : 0705.0344 . doi : 10.1016/j.aim.2009.12.009 . SEÑOR  2628795. S2CID  14136532.
• Hu, Po; Kriz, Igor; Voronov, Alexander A. (2006). "Sobre la conjetura de cohomología de Hochschild de Kontsevich". Composición Matemática . 142 (1): 143–168. arXiv : matemáticas/0309369 . doi :10.1112/S0010437X05001521. SEÑOR  2197407. S2CID  15153116.

Ideas relacionadas

• Roberts, Justin; Willerton, Simón (2010). "Sobre los sistemas de peso Rozansky-Witten". Topología algebraica y geométrica . 10 (3): 1455-1519. arXiv : matemáticas/0602653 . doi :10.2140/agt.2010.10.1455. SEÑOR  2661534. S2CID  17829444.(Las álgebras de mentira se encuentran en la categoría derivada de haces coherentes).

enlaces externos

• "Seminario de aprendizaje sobre la teoría de la deformación". Instituto Max Planck de Matemáticas. 2018.Analiza la teoría de la deformación en el contexto de las álgebras. ${\displaystyle L_{\infty }}$