Álgebra asociativa de homotopía

En matemáticas, un álgebra como la tiene multiplicación cuya asociatividad está bien definida. Esto significa que para cualquier número real tenemos ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c=0}$.

Pero, hay álgebras que no son necesariamente asociativas, es decir, si entonces ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b,c\in R}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c\neq 0}$

En general, existe una noción de álgebras, llamadas -álgebras, que aún tienen una propiedad en la multiplicación que todavía actúa como la primera relación, lo que significa que la asociatividad se cumple, pero solo hasta una homotopía , que es una forma de decir que después de una operación que "comprime" la información en el álgebra, la multiplicación es asociativa. Esto significa que, aunque obtenemos algo que se parece a la segunda ecuación, la de la desigualdad , en realidad obtenemos igualdad después de "comprimir" la información en el álgebra. ${\displaystyle A_{\infty }}$

El estudio de las -álgebras es un subconjunto del álgebra homotópica , donde hay una noción homotópica de álgebras asociativas a través de un álgebra graduada diferencial con una operación de multiplicación y una serie de homotopías superiores que dan el fallo de que la multiplicación sea asociativa. En términos generales, una -álgebra ^[1] es un espacio vectorial -graduado sobre un cuerpo con una serie de operaciones sobre las potencias tensoriales -ésimas de . El corresponde a un diferencial complejo en cadena , es la función de multiplicación, y las superiores son una medida del fallo de asociatividad de . Al observar el álgebra de cohomología subyacente , la función debería ser una función asociativa. Entonces, estas funciones superiores deberían interpretarse como homotopías superiores, donde es el fallo de para ser asociativo, es el fallo de para ser asociativo superior, y así sucesivamente. Su estructura fue descubierta originalmente por Jim Stasheff ^{[2] [3]} mientras estudiaba los espacios A∞ , pero luego se interpretó como una estructura puramente algebraica. Se trata de espacios dotados de funciones que son asociativas solo hasta la homotopía, y la estructura A∞ registra estas homotopías, homotopías de homotopías, etcétera. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle (A^{\bullet },m_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle H(A^{\bullet },m_{1})}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{3},m_{4},\ldots }$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle m_{3}}$

Son omnipresentes en la simetría especular homológica debido a su necesidad para definir la estructura de la categoría Fukaya de D-branas en una variedad de Calabi-Yau que solo tienen una estructura asociativa de homotopía.

Definición

Definición

Para un campo fijo, un -álgebra ^[1] es un espacio vectorial -graduado ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}}$

de tal manera que para el grado , existen aplicaciones -lineales ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle 2-d}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle m_{d}\colon (A^{\bullet })^{\otimes d}\to A^{\bullet }}$

que satisfacen una condición de coherencia:

${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}1\leq p\leq d\\0\leq q\leq d-p\end{matrix}}(-1)^{\alpha }m_{d-p+1}(a_{d},\ldots ,a_{p+q+1},m_{p}(a_{p+q},\ldots ,a_{q+1}),a_{q},\ldots ,a_{1})=0}$,

dónde . ${\displaystyle \alpha =(-1)^{{\text{deg}}(a_{1})+\cdots +\deg(a_{q})-q}}$

Comprender las condiciones de coherencia

Las condiciones de coherencia son fáciles de escribir para grados bajos ^{[1] págs. 583–584} .

d=1

Porque ésta es la condición que ${\displaystyle d=1}$

${\displaystyle m_{1}(m_{1}(a_{1}))=0}$,

ya que al dar y . Estas dos desigualdades fuerzan la condición de coherencia, por lo tanto, la única entrada de la misma es de . Por lo tanto, representa un diferencial. ${\displaystyle 1\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle 0\leq q\leq d-1}$ ${\displaystyle m_{d-p+1}=m_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}(a_{1})}$ ${\displaystyle m_{1}}$

d=2

Al descomponer la condición de coherencia para se obtiene el mapa de grados . En la suma están las desigualdades ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}1\leq p\leq 2\\0\leq q\leq 2-p\end{matrix}}}$

de índices que dan igual a . Al descomponer la suma de coherencia se obtiene la relación ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (1,0),(1,1),(2,0)}$

${\displaystyle m_{2}(a_{2},m_{1}(a_{1}))+(-1)^{\deg(a_{1})-1}m_{2}(m_{1}(a_{2}),a_{1})+m_{1}(m_{2}(a_{1},a_{2}))=0}$,

que cuando se reescribe con

${\displaystyle (-1)^{\deg a}m_{1}(a)=d(a)}$y ${\displaystyle (-1)^{\deg a_{1}}m_{2}(a_{2},a_{1})=a_{2}\cdot a_{1}}$

como el diferencial y la multiplicación, es

${\displaystyle d(a_{2}\cdot a_{1})=(-1)^{\deg(a_{1})}d(a_{2})\cdot a_{1}+a_{2}\cdot d(a_{1})}$,

que es la regla de Leibniz para álgebras diferenciales graduadas.

d=3

En este grado sale a la luz la estructura de asociatividad. Nótese que si entonces hay una estructura de álgebra graduada diferencial, que se vuelve transparente después de expandir la condición de coherencia y multiplicarla por un factor apropiado de , la condición de coherencia se lee algo como ${\displaystyle m_{3}=0}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(m_{2}(a\otimes b)\otimes c)-m_{2}(a\otimes m_{2}(b\otimes c))=&\pm m_{3}(m_{1}(a)\otimes b\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes m_{1}(b)\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes b\otimes m_{1}(c))\\&\pm m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c)).\end{aligned}}}$

Nótese que el lado izquierdo de la ecuación es el fracaso de ser un álgebra asociativa en la nariz. Una de las entradas para los primeros tres mapas son colímites ya que es la diferencial, por lo que en el álgebra de cohomología estos elementos se anularían ya que . Esto incluye el término final ya que también es un colímite, dando un elemento cero en el álgebra de cohomología. A partir de estas relaciones podemos interpretar el mapa como un fracaso para la asociatividad de , lo que significa que es asociativo solo hasta la homotopía. ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle (H^{*}(A^{\bullet },m_{1}),[m_{2}])}$ ${\displaystyle m_{1}(a)=m_{1}(b)=m_{1}(c)=0}$ ${\displaystyle m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c))}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

d=4 y términos de orden superior

Además, los términos de orden superior, para , las condiciones coherentes dan muchos términos diferentes que combinan una cadena de consecutivos en algunos e insertan ese término en un junto con el resto de los ' en los elementos . Al combinar los términos, hay una parte de la condición de coherencia que se lee de manera similar al lado derecho de , es decir, hay términos ${\displaystyle d\geq 4}$ ${\displaystyle a_{p+i},\ldots ,a_{p+1}}$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{d-p+1}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle d=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{2},m_{1}(a_{1}))\\&\pm \cdots \\&\pm m_{d}(m_{1}(a_{d}),a_{d-1},\ldots ,a_{1})\\&\pm m_{1}(m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{1})).\end{aligned}}}$

En grado los otros términos pueden escribirse como ${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{3}(m_{2}(a_{4},a_{3}),a_{2},a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},m_{2}(a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},a_{3},m_{2}(a_{2},a_{1}))\\&\pm m_{2}(m_{3}(a_{4},a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{2}(a_{4},m_{3}(a_{3},a_{2},a_{1})),\end{aligned}}}$

mostrando cómo interactúan los elementos en la imagen de y . Esto significa que la homotopía de los elementos, incluido uno que está en la imagen de menos la multiplicación de elementos donde uno es una entrada de homotopía, difiere por un límite. Para un orden superior , estos términos intermedios pueden verse como los mapas intermedios se comportan con respecto a los términos que provienen de la imagen de otro mapa de homotopía superior. ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle d>4}$ ${\displaystyle m_{2},\ldots ,m_{d-1}}$

Interpretación diagramática de axiomas

Existe un formalismo diagramático muy interesante de las álgebras, que se describe en Álgebra+Homotopía=Operad ^[4], que explica cómo pensar visualmente en estas homotopías superiores. Esta intuición se resume en la discusión anterior de manera algebraica, pero también resulta útil visualizarla.

Ejemplos

Álgebras asociativas

Toda álgebra asociativa tiene una estructura de -infinito al definir y para . Por lo tanto, las -álgebras generalizan las álgebras asociativas. ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{2}(a,b)=a\cdot b}$ ${\displaystyle m_{i}=0}$ ${\displaystyle i\neq 2}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Álgebras graduadas diferenciales

Toda álgebra graduada diferencial tiene una estructura canónica como un álgebra - ^[1] donde y es la función de multiplicación. Todas las demás funciones superiores son iguales a . Utilizando el teorema de estructura para modelos mínimos, existe una estructura canónica en el álgebra de cohomología graduada que conserva la estructura de cuasi-isomorfismo del álgebra graduada diferencial original. Un ejemplo común de tales dga proviene del álgebra de Koszul que surge de una secuencia regular . Este es un resultado importante porque ayuda a allanar el camino para la equivalencia de categorías de homotopía. ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{1}=d}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Ho}}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}}(A_{\infty }{\text{-alg}})}$

de álgebras y -álgebras diferenciales graduadas . ${\displaystyle A_{\infty }}$

Álgebras de cocadenas de espacios H

Uno de los ejemplos motivadores de -álgebras proviene del estudio de los H-espacios . Siempre que un espacio topológico es un H-espacio, su complejo de cadena singular asociado tiene una estructura de -álgebra canónica a partir de su estructura como H-espacio. ^[3] ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{*}(X)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Ejemplo con infinitos m no trivialesi

Consideremos el álgebra graduada sobre un cuerpo de característica donde está abarcado por los vectores de grado y está abarcado por el vector de grado . ^{[5] [6]} Incluso en este ejemplo simple hay una estructura no trivial que da diferenciales en todos los grados posibles. Esto se debe en parte al hecho de que hay un vector de grado, lo que da un espacio de vectores de grado de rango en . Defina la diferencial por ${\displaystyle V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (V^{\bullet })^{\otimes k}}$ ${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{0})=w\\m_{1}(v_{1})=w,\end{aligned}}}$

y para ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}}$

donde en cualquier mapa no enumerado anteriormente y . En grado , entonces para el mapa de multiplicación, tenemos Y en las relaciones anteriores damos ${\displaystyle m_{n}=0}$ ${\displaystyle s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(v_{1},v_{1})&=-v_{1}\\m_{2}(v_{1},v_{2})&=v_{1}\\m_{2}(v_{1},w)&=w.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle d=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}}$

Al relacionar estas ecuaciones con el fracaso de la asociatividad, existen términos distintos de cero. Por ejemplo, las condiciones de coherencia para darán un ejemplo no trivial en el que la asociatividad no se cumple. Nótese que en el álgebra de cohomología solo tenemos los términos de grado, ya que es eliminado por la diferencial . ${\displaystyle v_{1},v_{2},w}$ ${\displaystyle H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle m_{1}}$

Propiedades

Transferencia de A∞estructura

Una de las propiedades clave de las -álgebras es que su estructura puede transferirse a otros objetos algebraicos dadas las hipótesis correctas. Una interpretación temprana de esta propiedad fue la siguiente: dada una -álgebra y una equivalencia homotópica de complejos ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$

${\displaystyle f\colon B^{\bullet }\to A^{\bullet }}$,

entonces hay una estructura de -álgebra en heredada de y puede extenderse a un morfismo de -álgebras. Hay múltiples teoremas de este tipo con diferentes hipótesis sobre y , algunos de los cuales tienen resultados más sólidos, como la unicidad hasta la homotopía para la estructura en y la estrictez en el mapa . ^[7] ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$

Estructura

Modelos mínimos y teorema de Kadeishvili

Uno de los teoremas de estructura importantes para las álgebras es la existencia y unicidad de modelos mínimos , que se definen como álgebras donde la función diferencial es cero. Tomando el álgebra de cohomología de una álgebra a partir de la función diferencial , como un álgebra graduada, ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{1}=0}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle HA^{\bullet }={\frac {{\text{ker}}(m_{1})}{m_{1}(A^{\bullet })}}}$,

con mapa de multiplicación . Resulta que esta álgebra graduada puede entonces equiparse canónicamente con una estructura , ${\displaystyle [m_{2}]}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$,

que es único hasta los cuasi-isomorfismos de -álgebras. ^[8] De hecho, la afirmación es aún más fuerte: hay un -morfismo canónico ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )\to A^{\bullet }}$,

que eleva el mapa de identidad de . Nótese que estos productos superiores están dados por el producto Massey . ${\displaystyle A^{\bullet }}$

Motivación

Este teorema es muy importante para el estudio de las álgebras graduadas diferenciales porque se introdujeron originalmente para estudiar la teoría de homotopía de los anillos. Dado que la operación de cohomología mata la información de homotopía, y no todas las álgebras graduadas diferenciales son cuasi-isomorfas a su álgebra de cohomología, se pierde información al realizar esta operación. Pero, los modelos mínimos le permiten recuperar la clase de cuasi-isomorfismo mientras que todavía olvidan el diferencial. Existe un resultado análogo para las categorías A∞ de Maxim Kontsevich y Yan Soibelman , que da una estructura de categoría A∞ en la categoría de cohomología de la categoría dg que consiste en complejos de cocadena de haces coherentes en una variedad no singular sobre un campo de características y morfismos dados por el complejo total del bicomplejo de Cech del haz graduado diferencial ^{[1] pg 586-593} . En este caso, los morfismos de grado en la categoría vienen dados por . ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}^{\bullet }({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$

Aplicaciones

Existen varias aplicaciones de este teorema. En particular, dada una álgebra dg, como el álgebra de De Rham o el álgebra de cohomología de Hochschild , se las puede dotar de una estructura . ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(X),d,\wedge )}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Estructura Massey de DGA

Dada una álgebra graduada diferencial, su modelo mínimo como álgebra se construye utilizando los productos de Massey. Es decir, ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}}$

Resulta que cualquier estructura de -álgebra en está estrechamente relacionada con esta construcción. Dada otra estructura de -álgebra con funciones , existe la relación ^[9] ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{i}'}$

${\displaystyle m_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle +\Gamma }$,

dónde

${\displaystyle \Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}}(m_{j})}$.

Por lo tanto, todos estos enriquecimientos en el álgebra de cohomología están relacionados entre sí. ${\displaystyle A_{\infty }}$

Álgebras graduadas a partir de su álgebra ext.

Otro teorema de estructura es la reconstrucción de un álgebra a partir de su álgebra externa. Dada una álgebra graduada conectada

${\displaystyle A=k_{A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$,

Es canónicamente un álgebra asociativa. Existe un álgebra asociada, llamada álgebra Ext, definida como

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$,

donde la multiplicación está dada por el producto de Yoneda . Entonces, hay un -cuasi-isomorfismo entre y . Esta identificación es importante porque proporciona una manera de mostrar que todas las categorías derivadas son afines derivadas , lo que significa que son isomorfas a la categoría derivada de algún álgebra. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle (A,0,m_{2},0,\ldots )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$

Véase también

• Categoría A∞
• Asociaedro
• Conjetura de simetría especular
• Simetría especular homológica
• Álgebra de Lie de homotopía
• Geometría algebraica derivada

Referencias

1. Aspinwall, Paul (2009). Branas de Dirichlet y simetría especular . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0-8218-3848-8. OCLC  939927173.
2. Stasheff, Jim (4 de septiembre de 2018). "Estructuras L _∞ y A _∞ : entonces y ahora". arXiv : 1809.02526 [math.QA].
3. Stasheff, James Dillon (1963). "Asociatividad de homotopía de espacios H. II". Transacciones de la American Mathematical Society . 108 (2): 293–312. doi :10.2307/1993609. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993609.
4. Vallette, Bruno (15 de febrero de 2012). "Álgebra+Homotopía=Operad". arXiv : 1202.3245 [math.AT].
5. Allocca, Michael; Lada, Thomas. "Un ejemplo de álgebra A-infinita de dimensión finita" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 28 de septiembre de 2020.
6. Daily, Marilyn; Lada, Tom (2005). "Un ejemplo de álgebra $L_\infty$ de dimensión finita en la teoría de calibre". Homología, homotopía y aplicaciones . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n2.a4 . ISSN  1532-0073.
7. Burke, Jesse (26 de enero de 2018). "Transferencia de estructuras A-infinitas a resoluciones proyectivas". arXiv : 1801.08933 [math.KT].
8. Kadeishvili, Tornike (21 de abril de 2005). "Sobre la teoría de homología de los espacios de fibras". arXiv : math/0504437 .
9. Buijs, Urtzi; Moreno-Fernández, José Manuel; Murillo, Aniceto (2019-02-19). "Estructuras A-infinity y productos Massey". arXiv : 1801.03408 [matemáticas.AT].

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