Álgebra de Koszul

Proceso en matemáticas

En álgebra abstracta , un álgebra de Koszul es un álgebra graduada sobre la cual el campo base tiene una resolución libre graduada mínima lineal, es decir , existe una secuencia exacta : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow (R(-i))^{b_{i}}\rightarrow \cdots \rightarrow (R(-2))^{b_{2}}\rightarrow (R(-1))^{b_{1}}\rightarrow R\rightarrow k\rightarrow 0.}$

para algunos números enteros no negativos . Aquí está el álgebra graduada con la graduación desplazada hacia arriba por , es decir , y el exponente se refiere a la suma directa multiplicada por . Al elegir bases para los módulos libres en la resolución, las aplicaciones de cadena se dan mediante matrices, y la definición requiere que las entradas de la matriz sean cero o formas lineales. ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle R(-j)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R(-j)_{i}=R_{i-j}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Un ejemplo de álgebra de Koszul es un anillo polinómico sobre un cuerpo, para el cual el complejo de Koszul es la resolución libre graduada mínima del cuerpo base. Existen álgebras de Koszul cuyos cuerpos base tienen resoluciones libres graduadas mínimas infinitas, por ejemplo , . ${\displaystyle R=k[x,y]/(xy)}$

El concepto debe su nombre al matemático francés Jean-Louis Koszul .

Véase también

• Dualidad de Koszul
• Anillo de intersección completo

Referencias

• Fröberg, R. (1999), "Álgebras de Koszul", Avances en la teoría de anillos conmutativos (Fez, 1997) , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 205, Nueva York: Marcel Dekker, págs. 337–350, MR  1767430.
• Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno (2012), Óperas algebraicas (PDF) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 346, Heidelberg: Springer, doi :10.1007/978-3-642-30362-3, ISBN 978-3-642-30361-6, Sr.  2954392.
• Beilinson, Alexander; Ginzburg, Victor; Soergel, Wolfgang (1996), "Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación", Journal of the American Mathematical Society , 9 (2): 473–527, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00192-0 , MR  1322847.
• Mazorchuk, Volodymyr; Ovsienko, Serge; Stroppel, Catharina (2009), "Duales cuadráticos, functores duales de Koszul y aplicaciones", Transactions of the American Mathematical Society , 361 (3): 1129–1172, arXiv : math/0603475 , doi :10.1090/S0002-9947-08 -04539-X, SEÑOR  2457393.