Producto Massey

El producto de Massey es una generalización algebraica del fenómeno de los anillos borromeos .

En topología algebraica , el producto de Massey es una operación de cohomología de orden superior introducida en (Massey 1958), que generaliza el producto de copa . El producto Massey fue creado por William S. Massey , un topólogo algebraico estadounidense.

Producto triple Massey

Sean elementos del álgebra de cohomología de un álgebra graduada diferencial . Si , el producto de Massey es un subconjunto de , donde . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle ab=bc=0}$ ${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$ ${\displaystyle H^{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}$

El producto de Massey se define algebraicamente, elevando los elementos a clases de equivalencia de elementos de , tomando los productos de Massey de estos y luego bajando a la cohomología. Esto puede dar como resultado una clase de cohomología bien definida o puede resultar en indeterminación. ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Definir ser . La clase de cohomología de un elemento de se denotará por . El triple producto de Massey de tres clases de cohomología se define por ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle [u]}$

${\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}$

El producto de Massey de tres clases de cohomología no es un elemento de , sino un conjunto de elementos de , posiblemente vacíos y posiblemente que contengan más de un elemento. Si tiene grados , entonces el producto Massey tiene grados , provenientes del diferencial . ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle i+j+k-1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d}$

El producto de Massey no está vacío si los productos y son ambos exactos, en cuyo caso todos sus elementos están en el mismo elemento del grupo del cociente. ${\displaystyle uv}$ ${\displaystyle vw}$

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}$

Por lo tanto, el producto de Massey puede considerarse como una función definida sobre ternas de clases tales que el producto de las dos primeras o las dos últimas es cero, tomando valores en el grupo de cocientes anterior.

Más casualmente, si los dos productos por pares y ambos desaparecen en homología ( ), es decir, y para algunas cadenas y , entonces el producto triple desaparece "por dos razones diferentes": es el límite de y (ya que y porque los elementos de homología son ciclos). Las cadenas delimitadoras y tienen indeterminación, que desaparece cuando uno pasa a la homología, y dado que y tienen el mismo límite, restarlas (la convención de signos es manejar correctamente la clasificación) da un cociclo (el límite de la diferencia desaparece), y uno obtiene así un elemento bien definido de cohomología; este paso es análogo a definir la homotopía st o el grupo de homología en términos de indeterminación en homotopías nulas/homologías nulas de mapas/cadenas n -dimensionales. ${\displaystyle [u][v]}$ ${\displaystyle [v][w]}$ ${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$ ${\displaystyle uv=ds}$ ${\displaystyle vw=dt}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [u][v][w]}$ ${\displaystyle sw}$ ${\displaystyle ut}$ ${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$ ${\displaystyle [dw]=0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle sw}$ ${\displaystyle ut}$ ${\displaystyle n+1}$

Geométricamente, en la cohomología singular de una variedad, se puede interpretar el producto dualmente en términos de variedades delimitantes e intersecciones, siguiendo la dualidad de Poincaré : dual a cociclos son ciclos, a menudo representables como variedades cerradas (sin límite), dual a producto es intersección, y dual a la resta de los productos limitantes es pegar las dos variedades limitantes a lo largo del límite, obteniendo una variedad cerrada que representa la clase de homología dual del producto de Massey. En realidad, las clases de homología de variedades no siempre pueden representarse mediante variedades (un ciclo representativo puede tener singularidades), pero con esta advertencia la imagen dual es correcta.

Productos Massey de orden superior

De manera más general, el producto de Massey n veces de n elementos de se define como el conjunto de elementos de la forma ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$

${\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}$

para todas las soluciones de las ecuaciones

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$,

con y , donde denota . ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ ${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$

El producto de Massey de orden superior puede considerarse como el obstáculo para resolver el último sistema de ecuaciones para todos , en el sentido de que contiene la clase de cohomología 0 si y sólo si estas ecuaciones son resolubles. Este producto de Massey n veces es una operación de cohomología de orden, lo que significa que para que no esté vacía muchas operaciones de Massey de orden inferior tienen que contener 0 y, además, las clases de cohomología que representa difieren en términos que involucran operaciones de orden inferior. El producto Massey doble es simplemente el producto de copa habitual y es una operación de cohomología de primer orden, y el producto Massey triple es el mismo que el producto Massey triple definido anteriormente y es una operación de cohomología secundaria . ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n-1}$

J. Peter May  (1969) describió una generalización adicional llamada productos Matric Massey , que puede usarse para describir los diferenciales de la secuencia espectral de Eilenberg-Moore .

Aplicaciones

El complemento de los anillos borromeos tiene un producto Massey nada trivial.

El complemento de los anillos borromeos ^[1] da un ejemplo donde el producto triple de Massey está definido y es distinto de cero. Tenga en cuenta que la cohomología del complemento se puede calcular utilizando la dualidad de Alexander . Si u , v y w son 1-cocadenas duales a los 3 anillos, entonces el producto de dos cualesquiera es un múltiplo del número de enlace correspondiente y, por lo tanto, es cero, mientras que el producto de Massey de los tres elementos es distinto de cero, lo que muestra que los anillos borromeos están unidos. El álgebra refleja la geometría: los anillos están desvinculados por pares, lo que corresponde a los productos por pares (dobles) que desaparecen, pero en general están vinculados, lo que corresponde al producto triple que no desaparece.

Los enlaces brunnianos no triviales corresponden a productos Massey que no desaparecen.

De manera más general, los enlaces Brunnianos de n componentes (enlaces en los que cualquier subenlace de componente está desvinculado, pero el enlace general de n componentes está vinculado no trivialmente) corresponden a n productos Massey, y la desvinculación del subenlace de componente corresponde a la desaparición de los productos de Massey de n veces y la vinculación general de n componentes correspondiente a la no desaparición del producto de Massey de n veces. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Uehara y Massey (1957) utilizaron el triple producto de Massey para demostrar que el producto de Whitehead satisface la identidad de Jacobi .

Los productos de Massey de orden superior aparecen cuando se calcula la teoría K retorcida mediante la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (AHSS). En particular, si H es la clase de torsión 3, Atiyah y Segal (2006) demostraron que, racionalmente, los diferenciales de orden superior en el AHSS que actúan sobre una clase x están dados por el producto de Massey de p copias de H con una sola copia. de x . ${\displaystyle d_{2p+1}\ }$

Si una variedad es formal (en el sentido de Dennis Sullivan ), entonces todos los productos Massey en el espacio deben desaparecer; por tanto, una estrategia para demostrar que una variedad determinada no es formal es exhibir un producto de Massey no trivial. Aquí una variedad formal es aquella cuyo tipo de homotopía racional puede deducirse ("formalmente") a partir de un "modelo mínimo" de dimensión finita de su complejo de Rham . Deligne et al. (1975) demostraron que las variedades compactas de Kähler son formales.

Salvatore y Longoni (2005) utilizan un producto de Massey para mostrar que el tipo de homotopía del espacio de configuración de dos puntos en un espacio de lente depende de manera no trivial del tipo de homotopía simple del espacio de lente.

Ver también

• todo soporte

Referencias

1. Massey, William S. (1 de mayo de 1998). "Números de enlace de orden superior" (PDF) . Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 07 (3): 393–414. doi :10.1142/S0218216598000206. ISSN  0218-2165. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2021.

• Atiyah, Michael ; Segal, Graeme (2006), "Teoría K retorcida y cohomología", Inspirado por SS Chern , Nankai Tracts in Mathematics, vol. 11, Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishers, págs. 5–43, arXiv : math.KT/0510674 , doi :10.1142/9789812772688_0002, ISBN 978-981-270-061-2, SEÑOR  2307274, S2CID  119726615
• Deligne, Pierre ; Griffiths, Phillip ; Morgan, Juan ; Sullivan, Dennis (1975), "Teoría de la homotopía real de las variedades de Kähler", Inventiones Mathematicae , 29 (3): 245–274, Bibcode :1975InMat..29..245D, doi :10.1007/BF01389853, MR  0382702, S2CID  1357812
• Massey, William S. (1958), "Algunas operaciones de cohomología de orden superior", Simposio internacional de topología algebraica (Simposio internacional sobre topología algebraica) , Ciudad de México: Universidad Nacional Autónoma de México y UNESCO, págs. 145-154, MR  0098366
• May, J. Peter (1969), "Productos Matric Massey", Journal of Algebra , 12 (4): 533–568, doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 , MR  0238929
• McCleary, John (2001), Guía del usuario sobre secuencias espectrales , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 58 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, MR  1793722, Capítulo 8, "Productos Massey", págs. 302–304; "Productos Massey de orden superior", págs. 305–310; "Productos Matric Massey", págs. 311–312{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son invariantes de homotopía", Topología , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002, MR  2114713, S2CID  15874513
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "La identidad de Jacobi para los productos de Whitehead", Geometría algebraica y topología. Un simposio en honor a S. Lefschetz , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , págs. 361–377, MR  0091473

enlaces externos

• Él Wang (4 de octubre de 2012). «Producto Massey y sus aplicaciones» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2 de febrero de 2021.– contiene muchos ejemplos explícitos
• RR Bruner (2 de junio de 2009). "Un manual de secuencia espectral de Adams" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de enero de 2013.– Notas de Bruner
• Juan S (1 de agosto de 2012). "Productos Massey en la secuencia espectral de Adams". Intercambio de pila .– contiene referencias útiles para comprender cómo hacer estos cálculos
• Daniel Grady (25 de febrero de 2015). "Productos Massey y estructuras A ∞ {\displaystyle A_{\infty }}". Desbordamiento matemático .