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Álgebra graduada diferencial

En matemáticas , en particular en álgebra homológica , un álgebra diferencial graduada es un álgebra asociativa graduada con una estructura compleja de cadena agregada que respeta la estructura del álgebra .

Definición

Un álgebra graduada diferencial (o álgebra DG para abreviar) A es un álgebra graduada equipada con un mapa que tiene grado 1 (convención de complejo de cocadena) o grado −1 (convención de complejo de cadena) que satisface dos condiciones:

  1. .
    Esto dice que d da a A la estructura de un complejo de cadena o complejo de cocadena (según como el diferencial reduce o aumenta el grado).
  2. , donde es el grado de elementos homogéneos.
    Esto dice que la diferencial d respeta la regla graduada de Leibniz .

Una forma más sucinta de expresar la misma definición es decir que una DG-álgebra es un objeto monoide en la categoría monoidal de complejos de cadena . Un morfismo DG entre DG-álgebras es un homomorfismo de álgebra graduada que respeta la diferencial d .

Un álgebra aumentada graduada diferencial (también llamada álgebra DGA , álgebra DG aumentada o simplemente DGA ) es un álgebra DG equipada con un morfismo DG en el anillo fundamental (la terminología se debe a Henri Cartan ). [1]

Advertencia: algunas fuentes utilizan el término DGA para un DG-álgebra.

Ejemplos de álgebras DG

Álgebra tensorial

El álgebra tensorial es un álgebra DG con diferencial similar al complejo de Koszul . Para un espacio vectorial sobre un cuerpo existe un espacio vectorial graduado definido como

dónde .

Si es una base para que exista un diferencial en el álgebra tensorial definido componente por componente

enviando elementos base a

En particular tenemos y así

Complejo Koszul

Uno de los ejemplos fundamentales de un álgebra diferencial graduada, ampliamente utilizado en álgebra conmutativa y geometría algebraica , es el complejo de Koszul . Esto se debe a su amplia gama de aplicaciones, incluida la construcción de resoluciones planas de intersecciones completas y, desde una perspectiva derivada , dan el álgebra derivada que representa un lugar crítico derivado.

Álgebra de De-Rham

Las formas diferenciales en una variedad , junto con la derivación exterior y el producto exterior forman un álgebra DG. Tienen amplias aplicaciones, incluida la teoría de la deformación derivada. [2] Véase también cohomología de De Rham .

Cohomología singular

Otros datos sobre las álgebras DG

Véase también

Referencias

  1. ^ Cartan, Henri (1954). "Sobre los grupos de Eilenberg-Mac Lane H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)}". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 40 (6): 467–471. doi : 10.1073/pnas.40.6.467 . PMC  534072 . PMID  16589508.
  2. ^ Manetti, Marco. "Álgebras de Lie graduadas diferenciales y teoría de la deformación formal" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 16 de junio de 2013.
  3. ^ Cartan, Henri (1954-1955). "DGA-algèbres et DGA-módulos". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
  4. ^ Cartan, Henri (1954-1955). "Módulos DGA (suite), noción de construcción". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–11.