Resolución (álgebra)

En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , una resolución (o resolución izquierda ; dualmente una corresolución o resolución derecha ^[1] ) es una secuencia exacta de módulos (o, más generalmente, de objetos de una categoría abeliana ) que se utiliza para definir invariantes que caracterizan la estructura de un módulo u objeto específico de esta categoría. Cuando, como es habitual, las flechas están orientadas a la derecha, se supone que la secuencia es infinita hacia la izquierda para resoluciones (izquierdas), y hacia la derecha para resoluciones derechas. Sin embargo, una resolución finita es aquella en la que solo un número finito de objetos en la secuencia son distintos de cero ; generalmente se representa mediante una secuencia exacta finita en la que el objeto más a la izquierda (para resoluciones) o el objeto más a la derecha (para corresoluciones) es el objeto cero . ^[2]

En general, los objetos de la secuencia están restringidos a tener alguna propiedad P (por ejemplo, ser libres). Por lo tanto, se habla de una resolución P. En particular, cada módulo tiene resoluciones libres , resoluciones proyectivas y resoluciones planas , que son resoluciones izquierdas que consisten, respectivamente, en módulos libres , módulos proyectivos o módulos planos . De manera similar, cada módulo tiene resoluciones inyectivas , que son resoluciones derechas que consisten en módulos inyectivos .

Resoluciones de módulos

Definiciones

Dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de M es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de R -módulos

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Los homomorfismos d _i se denominan mapas de contorno. El mapa ε se denomina mapa de aumento . Para simplificar, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

La noción dual es la de una resolución correcta (o corresolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de R -módulos.

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

donde cada C ⁱ es un módulo R (es común usar superíndices en los objetos de la resolución y las aplicaciones entre ellos para indicar la naturaleza dual de dicha resolución). Para simplificar, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

Se dice que una (co)resolución es finita si solo un número finito de módulos involucrados son distintos de cero. La longitud de una resolución finita es el índice máximo n que etiqueta un módulo distinto de cero en la resolución finita.

Resoluciones libres, proyectivas, inyectivas y planas

En muchas circunstancias se imponen condiciones a los módulos E _i que resuelven el módulo dado M . Por ejemplo, una resolución libre de un módulo M es una resolución izquierda en la que todos los módulos E _i son R -módulos libres . Del mismo modo, las resoluciones proyectivas y planas son resoluciones izquierdas tales que todos los E _i son R -módulos proyectivos y planos , respectivamente. Las resoluciones inyectivas son resoluciones derechas cuyos C ⁱ son todos módulos inyectivos .

Cada módulo R posee una resolución izquierda libre. ^[3] A fortiori , cada módulo también admite resoluciones proyectivas y planas. La idea de la prueba es definir E ₀ como el módulo R libre generado por los elementos de M , y luego E ₁ como el módulo R libre generado por los elementos del núcleo de la función natural E ₀ → M etc. Dualmente, cada módulo R posee una resolución inyectiva. Las resoluciones proyectivas (y, más generalmente, las resoluciones planas) se pueden usar para calcular funtores Tor .

La resolución proyectiva de un módulo M es única hasta una homotopía de cadena , es decir, dadas dos resoluciones proyectivas P ₀ → M y P ₁ → M de M existe una homotopía de cadena entre ellas.

Las resoluciones se utilizan para definir dimensiones homológicas . La longitud mínima de una resolución proyectiva finita de un módulo M se llama su dimensión proyectiva y se denota pd( M ). Por ejemplo, un módulo tiene dimensión proyectiva cero si y solo si es un módulo proyectivo. Si M no admite una resolución proyectiva finita, entonces la dimensión proyectiva es infinita. Por ejemplo, para un anillo local conmutativo R , la dimensión proyectiva es finita si y solo si R es regular y en este caso coincide con la dimensión de Krull de R . Análogamente, la dimensión inyectiva id( M ) y la dimensión plana fd( M ) también se definen para módulos.

Las dimensiones inyectivas y proyectivas se utilizan en la categoría de R -módulos rectos para definir una dimensión homológica para R llamada dimensión global recta de R. De manera similar, la dimensión plana se utiliza para definir la dimensión global débil . El comportamiento de estas dimensiones refleja características del anillo. Por ejemplo, un anillo tiene dimensión global recta 0 si y solo si es un anillo semisimple , y un anillo tiene dimensión global débil 0 si y solo si es un anillo regular de von Neumann .

Módulos graduados y álgebras

Sea M un módulo graduado sobre un álgebra graduada , que se genera sobre un cuerpo por sus elementos de grado positivo. Entonces M tiene una resolución libre en la que los módulos libres E _i pueden graduarse de tal manera que d _i y ε sean aplicaciones lineales graduadas . Entre estas resoluciones libres graduadas, las resoluciones libres mínimas son aquellas para las que el número de elementos base de cada E _i es mínimo. El número de elementos base de cada E _i y sus grados son los mismos para todas las resoluciones libres mínimas de un módulo graduado.

Si I es un ideal homogéneo en un anillo de polinomios sobre un cuerpo, la regularidad de Castelnuovo-Mumford del conjunto algebraico proyectivo definido por I es el entero mínimo r tal que los grados de los elementos base de E _i en una resolución libre mínima de I son todos menores que ri .

Ejemplos

Un ejemplo clásico de resolución libre lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular en un anillo local o de una secuencia regular homogénea en un álgebra graduada generada finitamente sobre un cuerpo.

Sea X un espacio asférico , es decir, su cubierta universal E es contráctil . Entonces, todo complejo de cadena singular (o simplicial ) de E es una resolución libre del módulo Z no sólo sobre el anillo Z sino también sobre el anillo de grupo Z [ π ₁ ( X )].

Resoluciones en categorías abelianas

La definición de resoluciones de un objeto M en una categoría abeliana A es la misma que la anterior, pero E _i y C ⁱ son objetos en A , y todos los mapas involucrados son morfismos en A .

La noción análoga de módulos proyectivos e inyectivos son objetos proyectivos e inyectivos y, en consecuencia, resoluciones proyectivas e inyectivas. Sin embargo, tales resoluciones no necesitan existir en una categoría abeliana general A . Si cada objeto de A tiene una resolución proyectiva (resp. inyectiva), entonces se dice que A tiene suficientes proyectivos (resp. suficientes inyectivos ). Incluso si existen, a menudo es difícil trabajar con tales resoluciones. Por ejemplo, como se señaló anteriormente, cada R -módulo tiene una resolución inyectiva, pero esta resolución no es functorial , es decir, dado un homomorfismo M → M' , junto con resoluciones inyectivas

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

En general, no existe una forma funcional de obtener un mapa entre y . ${\displaystyle I_{*}}$ ${\displaystyle I'_{*}}$

Categorías abelianas sin resolución proyectiva en general

Una clase de ejemplos de categorías abelianas sin resoluciones proyectivas son las categorías de haces coherentes sobre un esquema . Por ejemplo, si es un espacio proyectivo, cualquier haz coherente sobre tiene una representación dada por una secuencia exacta ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

Los dos primeros términos no son proyectivos en general, ya que para . Pero ambos términos son localmente libres y localmente planos. Ambas clases de haces se pueden usar en su lugar para ciertos cálculos, reemplazando las resoluciones proyectivas para calcular algunos funtores derivados. ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$ ${\displaystyle s>0}$

Resolución acíclica

En muchos casos, uno no está realmente interesado en los objetos que aparecen en una resolución, sino en el comportamiento de la resolución con respecto a un funtor dado. Por lo tanto, en muchas situaciones, se utiliza la noción de resoluciones acíclicas : dado un funtor exacto por la izquierda F : A → B entre dos categorías abelianas, una resolución

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

de un objeto M de A se llama F -acíclico, si los funtores derivados R _i F ( E _n ) se desvanecen para todo i  > 0 y n  ≥ 0. Dualmente, una resolución izquierda es acíclica con respecto a un funtor exacto derecho si sus funtores derivados se desvanecen en los objetos de la resolución.

Por ejemplo, dado un R -módulo M , el producto tensorial    es un funtor exacto recto Mod ( R ) → Mod ( R ). Toda resolución plana es acíclica con respecto a este funtor. Una resolución plana es acíclica para el producto tensorial por cada M . De manera similar, las resoluciones que son acíclicas para todos los funtores Hom ( ⋅ , M ) son las resoluciones proyectivas y aquellas que son acíclicas para los funtores Hom ( M , ⋅ ) son las resoluciones inyectivas. ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

Cualquier resolución inyectiva (proyectiva) es F -acíclica para cualquier funtor exacto por la izquierda (exacto por la derecha, respectivamente).

La importancia de las resoluciones acíclicas radica en el hecho de que los funtores derivados R _i F (de un funtor exacto por izquierda, y asimismo L _i F de un funtor exacto por derecha) se pueden obtener de como la homología de F -resoluciones acíclicas: dada una resolución acíclica de un objeto M , tenemos ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

donde el lado derecho es el i -ésimo objeto de homología del complejo ${\displaystyle F(E_{*}).}$

Esta situación se aplica en muchas situaciones. Por ejemplo, para el haz constante R en una variedad diferenciable, M puede resolverse mediante los haces de formas diferenciales suaves : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

Las haces son haces finos , que se sabe que son acíclicos con respecto al funtor de sección global . Por lo tanto, la cohomología de haces , que es el funtor derivado del funtor de sección global Γ se calcula como ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$ ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

De manera similar, las resoluciones de Godement son acíclicas con respecto al functor de secciones globales.

Véase también

• Resolución estándar
• Teorema de Hilbert-Burch
• Teorema de sicigia de Hilbert
• Presentación gratuita
• Factorizaciones de matrices (álgebra)

Notas

1. Jacobson 2009, §6.5 utiliza la corresolución , aunque la resolución correcta es más común, como en Weibel 1994, Cap. 2
2. resolución proyectiva en el n Lab , resolución en el n Lab
3. Jacobson 2009, §6.5

Referencias

• Iain T. Adamson (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960, Zbl  0819.13001
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica II (Segunda ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.