Regularidad de Castelnuovo-Mumford

En geometría algebraica , la regularidad de Castelnuovo-Mumford de un haz coherente F sobre el espacio proyectivo es el entero más pequeño r tal que es r-regular , lo que significa que ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbf {P} ^{n},F(r-i))=0}$

cuando sea . La regularidad de un subesquema se define como la regularidad de su haz de ideales. La regularidad controla cuándo la función de Hilbert de la gavilla se convierte en polinomio; más precisamente, tenue es un polinomio en m cuando m es al menos la regularidad. El concepto de r -regularidad fue introducido por David Mumford  (1966, conferencia 14), quien atribuyó los siguientes resultados a Guido Castelnuovo  (1893): ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle H^{0}(\mathbf {P} ^{n},F(m))}$

• Una gavilla r -regular es s -regular para any . ${\displaystyle s\geq r}$
• Si una gavilla coherente es r -regular entonces se genera por sus secciones globales . ${\displaystyle F(r)}$

Módulos graduados

Existe una idea relacionada en álgebra conmutativa . Supongamos que es un anillo polinomial sobre un campo k y M es un módulo R graduado finitamente generado . Supongamos que M tiene una resolución libre graduada mínima ${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow F_{j}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$

y sea el máximo de los grados de los generadores de . Si r es un número entero tal que para todo j , entonces se dice que M es r -regular. La regularidad de M es la más pequeña de tales r . ${\displaystyle b_{j}}$ ${\displaystyle F_{j}}$ ${\displaystyle b_{j}-j\leq r}$

Estas dos nociones de regularidad coinciden cuando F es un haz coherente tal que no contiene puntos cerrados. Luego el módulo calificado ${\displaystyle \operatorname {Ass} (F)}$

${\displaystyle M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }H^{0}(\mathbf {P} ^{n},F(d))}$

se genera de forma finita y tiene la misma regularidad que F .

Ver también

• Esquema Hilbert
• esquema de cotización

Referencias

• Castelnuovo, Guido (1893), "Sui multiplicali di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica", Red. Circo. Estera. Palermo , 7 : 89–110, doi : 10.1007/BF03012436, JFM  25.1035.02
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, señor  1322960
• Eisenbud, David (2005), La geometría de las sizigias , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 229, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b137572, ISBN 978-0-387-22215-8, señor  2103875
• Mumford, David (1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-07993-6, SEÑOR  0209285