módulo proyectivo

Suma directa de un módulo libre (matemáticas)

En matemáticas , particularmente en álgebra , la clase de módulos proyectivos amplía la clase de módulos libres (es decir, módulos con vectores base ) sobre un anillo , manteniendo algunas de las propiedades principales de los módulos libres. A continuación aparecen varias caracterizaciones equivalentes de estos módulos.

Todo módulo libre es un módulo proyectivo, pero lo contrario no se cumple en algunos anillos, como los anillos de Dedekind que no son dominios ideales principales . Sin embargo, cada módulo proyectivo es un módulo libre si el anillo es un dominio ideal principal como los números enteros , o un anillo polinómico (multivariado) sobre un campo (este es el teorema de Quillen-Suslin ).

Los módulos proyectivos se introdujeron por primera vez en 1956 en el influyente libro Homological Algebra de Henri Cartan y Samuel Eilenberg .

Definiciones

Propiedad de elevación

La definición teórica de categoría habitual es en términos de la propiedad de elevación que se traslada de módulos libres a proyectivos: un módulo P es proyectivo si y sólo si para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f  : N ↠ M y cada homomorfismo de módulo g  : P → M , existe un homomorfismo de módulo h  : P → N tal que f h = g . (No requerimos que el homomorfismo de elevación h sea único; esta no es una propiedad universal ).  

La ventaja de esta definición de "proyectivo" es que puede realizarse en categorías más generales que las categorías de módulos : no necesitamos una noción de "objeto libre". También puede dualizarse , dando lugar a módulos inyectivos . La propiedad de elevación también se puede reformular como cada morfismo de a factores a través de cada epimorfismo a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ . Así, por definición, los módulos proyectivos son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de módulos R.

Secuencias divididas exactamente

Un módulo P es proyectivo si y sólo si cada secuencia corta exacta de módulos de la forma

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

es una secuencia exacta dividida . Es decir, para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f  : B ↠ P existe un mapa de sección , es decir, un homomorfismo de módulo h  : P → B tal que f  h = id _P  . En ese caso, h ( P ) es una suma directa de B , h es un isomorfismo de P a h ( P ) y hf  es una proyección sobre la sumando h ( P ) . De manera equivalente,

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

Resumen directo de módulos gratuitos.

Un módulo P es proyectivo si y sólo si existe otro módulo Q tal que la suma directa de P y Q sea un módulo libre.

Exactitud

Un R -módulo P es proyectivo si y sólo si el funtor covariante Hom( P , -): R - Mod → Ab es un funtor exacto , donde R - Mod es la categoría de R -módulos izquierdos y Ab es la categoría de abeliano grupos . Cuando el anillo R es conmutativo , Ab se sustituye ventajosamente por R - Mod en la caracterización anterior. Este functor siempre es exacto a la izquierda , pero, cuando P es proyectivo, también es exacto a la derecha. Esto significa que P es proyectivo si y sólo si este funtor conserva epimorfismos (homomorfismos sobreyectivos), o si conserva colimits finitos .

base dual

Un módulo P es proyectivo si y sólo si existe un conjunto y un conjunto tal que para cada x en P , f _i ( x ) sólo es distinto de cero para un número finito de i , y . ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

Ejemplos y propiedades elementales.

Las siguientes propiedades de los módulos proyectivos se deducen rápidamente de cualquiera de las definiciones anteriores (equivalentes) de módulos proyectivos:

• Las sumas directas y las sumas directas de módulos proyectivos son proyectivas.
• Si e = e ² es un idempotente en el anillo R , entonces Re es un módulo izquierdo proyectivo sobre R.

Sea el producto directo de dos anillos y cuál es un anillo para las operaciones componentes. Sean y Entonces y son idempotentes, y pertenecen al centro de Los ideales bilaterales y son módulos proyectivos, ya que su suma directa (como R -módulos) es igual al R -módulo libre R . Sin embargo, si y no son triviales, entonces no son gratuitos como módulos sobre . Por ejemplo, es proyectivo pero no libre . ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2},}$ ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle Re_{1}}$ ${\displaystyle Re_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

Relación con otras propiedades teóricas de módulos

La relación de los módulos proyectivos con los módulos libres y planos se resume en el siguiente diagrama de propiedades del módulo:

Las implicaciones de izquierda a derecha son ciertas sobre cualquier anillo, aunque algunos autores definen módulos libres de torsión sólo sobre un dominio . Las implicaciones de derecha a izquierda son ciertas sobre los anillos que las etiquetan. Puede haber otros anillos en los que sean ciertas. Por ejemplo, la implicación denominada " anillo local o PID" también es cierta para anillos polinomiales (multivariados) sobre un campo : este es el teorema de Quillen-Suslin .

Módulos proyectivos versus libres

Cualquier módulo libre es proyectivo. Lo contrario es cierto en los siguientes casos:

• si R es un campo o un campo sesgado : cualquier módulo está libre en este caso.
• si el anillo R es un dominio ideal principal . Por ejemplo, esto se aplica a R = Z (los números enteros ), por lo que un grupo abeliano es proyectivo si y sólo si es un grupo abeliano libre . La razón es que cualquier submódulo de un módulo libre sobre un dominio ideal principal es gratuito.
• si el anillo R es un anillo local . Este hecho es la base de la intuición de "localmente libre = proyectivo". Este hecho es fácil de demostrar para módulos proyectivos generados de forma finita . En general se debe a Kaplansky (1958); véase el teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos .

Sin embargo, en general, los módulos proyectivos no tienen por qué ser libres:

• Sobre un producto directo de anillos R × S donde R y S son anillos distintos de cero , tanto R × 0 como 0 × S son módulos proyectivos no libres.
• En un dominio de Dedekind, un ideal no principal es siempre un módulo proyectivo que no es un módulo libre.
• Sobre un anillo de matriz M _n ( R ), el módulo natural R ⁿ es proyectivo pero no está libre cuando n > 1.
• Sobre un anillo semisimple , cada módulo es proyectivo, pero un ideal izquierdo (o derecho) propio distinto de cero no es un módulo libre. Por tanto, los únicos anillos semisimples para los que todos los proyectivos son libres son los anillos de división .

La diferencia entre módulos libres y proyectivos se mide, en cierto sentido, por el grupo algebraico de teoría K K ₀ ( R ); vea abajo.

Módulos proyectivos versus planos

Cada módulo proyectivo es plano . ^[1] En general, lo contrario no es cierto: el grupo abeliano Q es un módulo Z que es plano, pero no proyectivo. ^[2]

Por el contrario, un módulo plano finitamente relacionado es proyectivo. ^[3]

Govorov (1965) y Lazard (1969) demostraron que un módulo M es plano si y sólo si es un límite directo de módulos libres generados finitamente .

En general, la relación precisa entre planitud y proyectividad fue establecida por Raynaud y Gruson (1971) (ver también Drinfeld (2006) y Braunling, Groechenig y Wolfson (2016)), quienes demostraron que un módulo M es proyectivo si y solo si satisface las siguientes condiciones:

• M es plano,
• M es una suma directa de módulos generados contablemente ,
• M satisface una determinada condición de tipo Mittag-Leffler .

Esta caracterización se puede utilizar para mostrar que si es un mapa fielmente plano de anillos conmutativos y es un módulo, entonces es proyectivo si y sólo si es proyectivo. ^[4] En otras palabras, la propiedad de ser proyectivo satisface fielmente la descendencia plana . ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

La categoría de módulos proyectivos.

Los submódulos de módulos proyectivos no necesitan ser proyectivos; un anillo R para el cual cada submódulo de un módulo izquierdo proyectivo es proyectivo se llama hereditario izquierdo .

Los cocientes de módulos proyectivos tampoco necesitan ser proyectivos, por ejemplo Z / n es un cociente de Z , pero no libre de torsión , por lo tanto, no es plano y, por lo tanto, no es proyectivo.

La categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre un anillo es una categoría exacta . (Ver también teoría K algebraica ).

Resoluciones proyectivas

Dado un módulo, M , una resolución proyectiva de M es una secuencia infinita exacta de módulos

⋅⋅⋅ → P _n → ⋅⋅⋅ → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

con todos los P _i  s proyectivos. Cada módulo posee una resolución proyectiva. De hecho existe una resolución libre (resolución por módulos libres). La secuencia exacta de módulos proyectivos a veces puede abreviarse como P ( M ) → M → 0 o P _• → M → 0 . Un ejemplo clásico de resolución proyectiva lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular , que es una resolución libre del ideal generado por la secuencia.

La longitud de una resolución finita es el índice n tal que P _n es distinto de cero y Pi ₌ 0 para i mayor que n . Si M admite una resolución proyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones proyectivas finitas de M se denomina dimensión proyectiva y se denota pd ( M ). Si M no admite una resolución proyectiva finita, entonces por convención se dice que la dimensión proyectiva es infinita. Como ejemplo, considere un módulo M tal que pd( M ) = 0 . En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → P ₀ → M → 0 indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por tanto, M en sí es proyectiva.

Módulos proyectivos sobre anillos conmutativos.

Los módulos proyectivos sobre anillos conmutativos tienen buenas propiedades.

La localización de un módulo proyectivo es un módulo proyectivo sobre el anillo localizado. Un módulo proyectivo sobre un anillo local es gratuito. Por tanto, un módulo proyectivo es localmente libre (en el sentido de que su localización en cada ideal primo es libre sobre la localización correspondiente del anillo).

Lo contrario es cierto para los módulos generados finitamente sobre anillos noetherianos : un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano conmutativo es localmente libre si y sólo si es proyectivo.

Sin embargo, hay ejemplos de módulos generados de forma finita sobre un anillo no noetheriano que son localmente libres y no proyectivos. Por ejemplo, un anillo booleano tiene todas sus localizaciones isomorfas a F ₂ , el campo de dos elementos, por lo que cualquier módulo sobre un anillo booleano está localmente libre, pero hay algunos módulos no proyectivos sobre anillos booleanos. Un ejemplo es R / I donde R es un producto directo de un número contable de copias de F ₂ e I es la suma directa de un número contable de copias de F ₂ dentro de R . El módulo R R / I es localmente libre ya que R es booleano (y también se genera de forma finita como un módulo R , con un conjunto de tamaño 1), pero R / I no es proyectivo porque I no es un ideal principal. . (Si un módulo cociente R / I , para cualquier anillo conmutativo R e ideal I , es un módulo R proyectivo, entonces I es principal).

Sin embargo, es cierto que para módulos M presentados finitamente sobre un anillo conmutativo R (en particular si M es un módulo R finitamente generado y R es noetheriano), lo siguiente es equivalente. ^[5]

1. ${\displaystyle M}$es plano.
2. ${\displaystyle M}$es proyectivo.
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es libre como módulo para cada ideal máximo de R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es libre como módulo para cada ideal primo de R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. Existe la generación de la unidad ideal tal que es libre como módulo para cada i . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ ${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$es una gavilla localmente libre (donde está la gavilla asociada a M .) ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Además, si R es un dominio integral noetheriano , entonces, según el lema de Nakayama , estas condiciones son equivalentes a

• La dimensión del espacio vectorial es la misma para todos los ideales primos de R, donde está el campo residual en . ^[6] Es decir, M tiene rango constante (como se define a continuación). ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Sea A un anillo conmutativo. Si B es un álgebra A ( posiblemente no conmutativa) que es un módulo A proyectivo generado finitamente que contiene A como subanillo , entonces A es un factor directo de B. ^[7]

Rango

Sea P un módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo conmutativo R y X sea el espectro de R. El rango de P en un ideal primo en X es el rango del módulo libre . Es una función localmente constante en X. En particular, si X es conexo (es decir, si R no tiene más idempotentes que 0 y 1), entonces P tiene rango constante. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

Paquetes de vectores y módulos gratuitos localmente

Una motivación básica de la teoría es que los módulos proyectivos (al menos sobre ciertos anillos conmutativos) son análogos de los haces de vectores . Esto se puede hacer preciso para el anillo de funciones continuas con valores reales en un espacio compacto de Hausdorff , así como para el anillo de funciones suaves en una variedad suave (ver el teorema de Serre-Swan que dice que un módulo proyectivo generado finitamente sobre el espacio de funciones suaves en una variedad compacta es el espacio de secciones suaves de un paquete de vectores suave ).

Los paquetes de vectores son gratuitos a nivel local . Si existe alguna noción de "localización" que pueda trasladarse a los módulos, como la localización habitual de un anillo , se pueden definir módulos localmente libres, y los módulos proyectivos normalmente coinciden con los módulos localmente libres.

Módulos proyectivos sobre un anillo polinómico.

El teorema de Quillen-Suslin , que resuelve el problema de Serre, es otro resultado profundo : si K es un campo, o más generalmente un dominio ideal principal , y R = K [ X ₁ ,..., X _n ] es un anillo polinómico sobre K , entonces cada módulo proyectivo sobre R es libre. Este problema fue planteado por primera vez por Serre con K un campo (y los módulos generados de forma finita). Bass lo resolvió para módulos no generados de forma finita, ^[8] y Quillen y Suslin trataron de forma independiente y simultánea el caso de módulos generados de forma finita.

Dado que todo módulo proyectivo sobre un dominio ideal principal es libre, uno podría plantearse esta pregunta: si R es un anillo conmutativo tal que todo módulo R proyectivo (finamente generado) es libre, entonces todo R proyectivo (finitamente generado) es libre [ X ] -módulo libre? La respuesta es no . Se produce un contraejemplo con R igual al anillo local de la curva y ² = x ³ en el origen. Por tanto, el teorema de Quillen-Suslin nunca podría demostrarse mediante una simple inducción sobre el número de variables.

Ver también

• Cobertura proyectiva
• El lema de Schanuel
• Teorema de cancelación de graves
• Teoría de la representación modular

Notas

1. Hazewinkel; et al. (2004). "Corolario 5.4.5". Álgebras, anillos y módulos, parte 1. p. 131.
2. Hazewinkel; et al. (2004). "Observación después del Corolario 5.4.5". Álgebras, anillos y módulos, parte 1. págs.
3. Cohn 2003, Corolario 4.6.4 harvnb error: no target: CITEREFCohn2003 (help)
4. "Sección 10.95 (05A4): Propiedades descendentes de los módulos: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 3 de noviembre de 2022 .
5. Ejercicios 4.11 y 4.12 y Corolario 6.6 de David Eisenbud, Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Además, Milne 1980
6. Es decir, es el campo residual del anillo local . ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
7. Bourbaki, Algèbre conmutativo 1989, capítulo II, §5, ejercicio 4 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki,_Algèbre_commutative1989 (help)
8. Bajo, Hyman (1963). "Los grandes módulos proyectivos son gratuitos". Revista de Matemáticas de Illinois . 7 (1). Prensa de la Universidad de Duke. Corolario 4.5. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .

Referencias

• William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Álgebra: un enfoque a través de la teoría de módulos. Saltador. Sección 3.5.
• Iain T. Adamson (1972). Anillos y módulos elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Nicolas Bourbaki , Álgebra conmutativa, cap. II, §5
• Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), "Tate objetos en categorías exactas", Mosc. Matemáticas. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi : 10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, SEÑOR  3510209, S2CID  118374422
• Paul M. Cohn (2003). Más álgebra y aplicaciones . Saltador. ISBN 1-85233-667-6.
• Drinfeld, Vladimir (2006), "Paquetes de vectores de dimensión infinita en geometría algebraica: una introducción", en Pavel Etingof; Vladimir Retakh; IM Singer (eds.), La unidad de las matemáticas , Birkhäuser Boston, págs. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi :10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, señor  2181808
• Govorov, VE (1965), "Sobre módulos planos (ruso)", Siberian Math. J. , 6 : 300–304
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . Ciencia Springer . ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Kaplansky, Irving (1958), "Módulos proyectivos", Ann. de Matemáticas. , 2, 68 (2): 372–377, doi :10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, SEÑOR  0100017
• Lang, Serge (1993). Álgebra (3ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 0-201-55540-9.
• Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Milne, James (1980). Étale cohomología . Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 0-691-08238-3.
• Donald S. Passman (2004) Un curso de teoría de anillos , especialmente el capítulo 2 Módulos proyectivos, págs. 13-22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 . 
• Raynaud, Michel; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Techniques de "platification" d'un module", Invent. Matemáticas. , 13 : 1–89, Bibcode :1971InMat..13....1R, doi :10.1007/BF01390094, MR  0308104, S2CID  117528099
• Paulo Ribenboim (1969) Anillos y módulos , §1.6 Módulos proyectivos, págs. 19-24, Interscience Publishers .
• Charles Weibel , El libro K: una introducción a la teoría K algebraica

Otras lecturas

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfully-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings