En álgebra , un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que cero es el único elemento aniquilado por un elemento regular (distinto del divisor de cero ) del anillo. En otras palabras, un módulo es libre de torsión si su submódulo de torsión contiene solo el elemento cero.
En dominios integrales los elementos regulares del anillo son sus elementos no nulos, por lo que en este caso un módulo libre de torsión es aquel en el que cero es el único elemento aniquilado por algún elemento no nulo del anillo. Algunos autores trabajan sólo sobre dominios integrales y utilizan esta condición como la definición de un módulo libre de torsión, pero esto no funciona bien sobre anillos más generales, ya que si el anillo contiene divisores de cero entonces el único módulo que satisface esta condición es el módulo cero .
Sobre un anillo conmutativo R con anillo de cociente total K , un módulo M es libre de torsión si y solo si Tor 1 ( K / R , M ) se anula. Por lo tanto, los módulos planos , y en particular los módulos libres y proyectivos , son libres de torsión, pero la inversa no tiene por qué ser cierta. Un ejemplo de un módulo libre de torsión que no es plano es el ideal ( x , y ) del anillo polinomial k [ x , y ] sobre un cuerpo k , interpretado como un módulo sobre k [ x , y ].
Cualquier módulo sin torsión sobre un dominio es un módulo libre de torsión, pero lo inverso no es cierto, ya que Q es un módulo Z libre de torsión que no es sin torsión.
En un dominio integral noetheriano , los módulos libres de torsión son aquellos módulos cuyo único primo asociado es cero. De manera más general, en un anillo conmutativo noetheriano, los módulos libres de torsión son aquellos módulos cuyos primos asociados están todos contenidos en los primos asociados del anillo.
Sobre un dominio integralmente cerrado noetheriano , cualquier módulo libre de torsión generado finitamente tiene un submódulo libre tal que el cociente por él es isomorfo a un ideal del anillo.
En un dominio de Dedekind , un módulo finitamente generado es libre de torsión si y solo si es proyectivo, pero en general no es libre. Cualquier módulo de este tipo es isomorfo a la suma de un módulo libre finitamente generado y un ideal, y la clase del ideal está determinada únicamente por el módulo.
Sobre un dominio ideal principal , los módulos finitamente generados están libres de torsión si y sólo si son libres.
Sobre un dominio integral, cada módulo M tiene una cubierta libre de torsión F → M de un módulo libre de torsión F sobre M , con las propiedades de que cualquier otro módulo libre de torsión que se aplique sobre M se factoriza a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo de F . Una cubierta libre de torsión de M de este tipo es única salvo isomorfismo. Las cubiertas libres de torsión están estrechamente relacionadas con las cubiertas planas .
Un haz cuasicoherente F sobre un esquema X es un haz de -módulos tales que para cualquier subesquema afín abierto U = Spec( R ) la restricción F | U está asociada a algún módulo M sobre R . Se dice que el haz F está libre de torsión si todos esos módulos M están libres de torsión sobre sus respectivos anillos. Alternativamente, F está libre de torsión si y solo si no tiene secciones de torsión locales. [1]
