Torsión (álgebra)

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un elemento de torsión es un elemento de un módulo que da cero cuando se multiplica por algún divisor del anillo distinto de cero . El submódulo de torsión de un módulo es el submódulo formado por los elementos de torsión (en los casos en los que efectivamente este es un submódulo, como cuando el anillo es conmutativo ). Un módulo de torsión es un módulo formado íntegramente por elementos de torsión. Un módulo está libre de torsión si su único elemento de torsión es el elemento cero.

Esta terminología se usa más comúnmente para módulos sobre un dominio , es decir, cuando los elementos regulares del anillo son todos sus elementos distintos de cero.

Esta terminología se aplica a los grupos abelianos (con "módulo" y "submódulo" reemplazados por " grupo " y " subgrupo "). Esto lo permite el hecho de que los grupos abelianos son los módulos sobre el anillo de números enteros (de hecho, este es el origen de la terminología, que se introdujo para los grupos abelianos antes de generalizarse a los módulos).

En el caso de grupos que son no conmutativos, un elemento de torsión es un elemento de orden finito . A diferencia del caso conmutativo , los elementos de torsión no forman en general un subgrupo.

Definición

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R se llama elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo (un elemento que no es divisor de cero izquierdo ni derecho ) que aniquila m , es decir, r. m = 0. En un dominio integral (un anillo conmutativo sin divisores de cero), cada elemento distinto de cero es regular, por lo que un elemento de torsión de un módulo sobre un dominio integral es aniquilado por un elemento distinto de cero del dominio integral. Algunos autores utilizan esto como definición de elemento de torsión, pero esta definición no funciona bien con anillos más generales.

Un módulo M sobre un anillo R se llama módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. ^[1] Si el anillo R es conmutativo, entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M , llamado submódulo de torsión de M , a veces denominado T( M ). Si R no es conmutativo, T( M ) puede o no ser un submódulo. Se muestra en (Lam 2007) que R es un anillo mineral derecho si y solo si T ( M ) es un submódulo de M para todos los módulos R derechos . Dado que los dominios noetherianos derechos son minerales, esto cubre el caso en que R es un dominio noetheriano derecho (que podría no ser conmutativo).

De manera más general, sea M un módulo sobre un anillo R y S sea un subconjunto multiplicativamente cerrado de R. Un elemento m de M se llama S -elemento de torsión si existe un elemento s en S tal que s aniquila a m , es decir, s m = 0. En particular, se puede tomar por S el conjunto de elementos regulares del anillo R. y recuperar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G se llama elemento de torsión del grupo si tiene orden finito, es decir, si hay un entero positivo m tal que g ^m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo, y g ^m denota el producto de m copias de g . Un grupo se llama grupo de torsión (o periódico) si todos sus elementos son elementos de torsión, y ungrupo libre de torsión si su único elemento de torsión es el elemento identidad. Cualquiergrupo abelianopuede verse como un módulo sobre el anilloZde números enteros y, en este caso, las dos nociones de torsión coinciden.

Ejemplos

Sea M un módulo libre sobre cualquier anillo R. Entonces se deduce inmediatamente de las definiciones que M está libre de torsión (si el anillo R no es un dominio, entonces la torsión se considera con respecto al conjunto S de divisores distintos de cero de R ). En particular, cualquier grupo abeliano libre está libre de torsión y cualquier espacio vectorial sobre un campo K está libre de torsión cuando se lo ve como un módulo sobre K.
A diferencia del ejemplo 1, cualquier grupo finito (abeliano o no) es periódico y finitamente generado . El problema de Burnside , por el contrario, pregunta si un grupo periódico generado finitamente debe ser finito. La respuesta es "no" en general, incluso si el plazo es fijo.
Los elementos de torsión del grupo multiplicativo de un campo son sus raíces de unidad .
En el grupo modular , Γ obtenido del grupo SL(2, Z ) de matrices enteras de 2×2 con determinante unitario al factorizar su centro , cualquier elemento de torsión no trivial tiene orden dos y está conjugado con el elemento S o tiene orden tres y es conjugado con el elemento ST . En este caso, los elementos de torsión no forman un subgrupo, por ejemplo, S · ST = T , que tiene orden infinito.
El grupo abeliano Q / Z , formado por los números racionales módulo 1, es periódico, es decir, cada elemento tiene orden finito. De manera análoga, el módulo K ( t )/ K [ t ] sobre el anillo R = K [ t ] de polinomios en una variable es torsión pura. Ambos ejemplos se pueden generalizar de la siguiente manera: si R es un dominio integral y Q es su campo de fracciones , entonces Q / R es un módulo R de torsión .
El subgrupo de torsión de ( R / Z , +) es ( Q / Z , +) mientras que los grupos ( R , +) y ( Z , +) están libres de torsión. El cociente de un grupo abeliano libre de torsión por un subgrupo es libre de torsión exactamente cuando el subgrupo es un subgrupo puro .
Considere un operador lineal L que actúa sobre un espacio vectorial de dimensión finita V sobre el campo K. Si vemos a V como un módulo K [ L ] de forma natural, entonces (como resultado de muchas cosas, ya sea simplemente por dimensión finita o como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton ), V es una torsión K [ L ]-módulo.

Caso de un dominio ideal principal

Supongamos que R es un dominio ideal principal (conmutativo) y M es un módulo R finitamente generado . Luego, el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal da una descripción detallada del módulo M hasta el isomorfismo . En particular, afirma que

M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),

donde F es un R -módulo libre de rango finito (dependiendo sólo de M ) y T( M ) es el submódulo de torsión de M . Como corolario , cualquier módulo libre de torsión generado finitamente sobre R es gratuito. Este corolario no es válido para dominios conmutativos más generales, ni siquiera para R = K [ x , y ], el anillo de polinomios en dos variables. Para módulos generados de forma no finita, la descomposición directa anterior no es cierta. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano puede no ser una suma directa del mismo.

Torsión y localización.

Supongamos que R es un dominio conmutativo y M es un R -módulo. Sea Q el campo de fracciones del anillo R. Entonces se puede considerar el módulo Q

M_{Q}=M\otimes _ {R}Q,

obtenido de M por extensión de escalares . Dado que Q es un campo, un módulo sobre Q es un espacio vectorial, posiblemente de dimensión infinita. Existe un homomorfismo canónico de grupos abelianos de M a M _Q , y el núcleo de este homomorfismo es precisamente el submódulo de torsión T( M ). De manera más general, si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado del anillo R , entonces podemos considerar la localización del módulo R M ,

{\ Displaystyle M_ {S} = M \ otimes _ {R} R_ {S},}

que es un módulo sobre la localización R _S . Existe un mapa canónico de M a M _S , cuyo núcleo es precisamente el submódulo S -torsión de M . Así, el submódulo de torsión de M puede interpretarse como el conjunto de elementos que "desaparecen en la localización". La misma interpretación continúa siendo válida en el entorno no conmutativo para anillos que satisfacen la condición Ore , o más generalmente para cualquier conjunto de denominador derecho S y módulo R derecho M.

Torsión en álgebra homológica

El concepto de torsión juega un papel importante en el álgebra homológica . Si M y N son dos módulos sobre un dominio conmutativo R (por ejemplo, dos grupos abelianos, cuando R = Z ), los functores Tor producen una familia de R módulos Tor _i ( M , N ). La torsión S de un módulo R M es canónicamente isomorfa a Tor ^R₁ ( M , R _S / R ) por la secuencia exacta de Tor ^R_* : La secuencia exacta corta de módulos R produce una secuencia exacta y por lo tanto es el núcleo del mapa de localización de M . El símbolo $Tor$ que denota los functores refleja esta relación con la torsión algebraica. Este mismo resultado es válido para anillos no conmutativos y siempre que el conjunto S sea un conjunto de denominador recto . $0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0$ $0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}$ $\operatorname {Tor} _ {1}^{R}(M,R_{S}/R)$

Variedades abelianas

Los elementos de torsión de una variedad abeliana son puntos de torsión o, en una terminología más antigua, puntos de división . En curvas elípticas se pueden calcular en términos de polinomios de división .

Ver también

Referencias

^ Romano 2008, pag. 115, §4

Fuentes

Ernst Kunz, "Introducción al álgebra conmutativa y geometría algebraica", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , "Grupos abelianos infinitos", Universidad de Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Submódulo de torsión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Lam, Tsit Yuen (2007), Ejercicios en módulos y anillos , Libros de problemas de matemáticas, Nueva York: Springer, págs. xviii+412, doi :10.1007/978-0-387-48899-8, ISBN 978-0-387-98850-4, señor 2278849
Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, pág. 446, ISBN 978-0-387-72828-5.