Grupo abeliano sin torsión

Grupo abeliano sin elementos de torsión no triviales

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo abeliano libre de torsión es un grupo abeliano que no tiene elementos de torsión no triviales ; es decir, un grupo en el que la operación de grupo es conmutativa y el elemento identidad es el único elemento con orden finito .

Si bien los grupos abelianos generados finitamente están completamente clasificados, no se sabe mucho sobre los grupos abelianos generados infinitamente, incluso en el caso contable sin torsión. ^[1]

Definiciones

Se dice que un grupo abeliano está libre de torsión si ningún elemento distinto de la identidad es de orden finito . ^{[2] [3] [4]} Explícitamente, para cualquiera , el único elemento para el cual es . ${\displaystyle \langle G,+,0\rangle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle nx=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Un ejemplo natural de un grupo libre de torsión es , ya que solo el número entero 0 se puede sumar a sí mismo un número finito de veces para llegar a 0. De manera más general, el grupo abeliano libre está libre de torsión para cualquier . Un paso importante en la prueba de la clasificación de grupos abelianos generados finitamente es que cada grupo libre de torsión es isomorfo a a . ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

Un ejemplo contable generado no finitamente lo da el grupo aditivo del anillo polinomial (el grupo abeliano libre de rango contable). ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Ejemplos más complicados son el grupo aditivo del campo racional , o sus subgrupos como (números racionales cuyo denominador es una potencia de ). Aún así , grupos de mayor rango dan ejemplos más complicados . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]}$ ${\displaystyle p}$

Grupos de rango 1

Rango

El rango de un grupo abeliano es la dimensión del espacio vectorial . De manera equivalente, es la cardinalidad máxima de un subconjunto linealmente independiente (sobre) de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$

Si no tiene torsión, entonces se inyecta . Por tanto, los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son exactamente subgrupos del grupo aditivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Clasificación

Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 se han clasificado por completo. Para hacerlo se asocia a un grupo un subconjunto de números primos, de la siguiente manera: se elige cualquiera , para un primo decimos que si y sólo si para cada . Esto no depende de la elección de ya que para otro existe tal que . Baer demostró ^{[5] [6]} que es una invariante de isomorfismo completo para grupos abelianos libres de torsión de rango 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in p^{k}A}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle ny=mx}$ ${\displaystyle \tau (A)}$

Problema de clasificación en general.

La dureza de un problema de clasificación para un determinado tipo de estructuras en un conjunto contable se puede cuantificar utilizando la teoría de modelos y la teoría descriptiva de conjuntos . En este sentido se ha demostrado que el problema de clasificación de grupos abelianos contables libres de torsión es lo más difícil posible. ^[7]

Notas

1. Véase, por ejemplo, la introducción a Thomas, Simon (2003), "El problema de clasificación de grupos abelianos sin torsión de rango finito", J. Am. Matemáticas. Soc. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Zbl  1021.03043
2. Fraleigh (1976, pág.78)
3. Lang (2002, pág.42)
4. Hungerford (1974, pág.78)
5. Reinhold Baer (1937). "Grupos abelianos sin elementos de orden finito". Revista de Matemáticas de Duke . 3 (1): 68-122. doi :10.1215/S0012-7094-37-00308-9.
6. Phillip A. Griffith (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-30870-7.Capítulo VII.
7. Paolini, Gianluca; Sela, Saharon (2021). "Los grupos abelianos sin torsión son Borel completos". arXiv : 2102.12371 [matemáticas.LO].

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Hungerford, Thomas W. (1974), Álgebra , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9.
• Lang, Serge (2002), Álgebra (3.ª ed. revisada), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-X.
• McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN  68-15225