torsión analítica

Invariante topológico de variedades que pueden distinguir variedades equivalentes a homotopía

En matemáticas, la torsión de Reidemeister (o torsión R , o torsión de Reidemeister-Franz ) es una invariante topológica de variedades introducida por Kurt Reidemeister (Reidemeister 1935) para 3 variedades y generalizada a dimensiones superiores por Wolfgang Franz  (1935) y Georges de Rham.  (1936). La torsión analítica (o torsión de Ray-Singer ) es una invariante de las variedades de Riemann definidas por Daniel B. Ray e Isadore M. Singer  (1971, 1973a, 1973b) como un análogo analítico de la torsión de Reidemeister. Jeff Cheeger  (1977, 1979) y Werner Müller  (1978) demostraron la conjetura de Ray y Singer de que la torsión de Reidemeister y la torsión analítica son iguales para variedades compactas de Riemann.

La torsión de Reidemeister fue el primer invariante en topología algebraica que podía distinguir entre variedades cerradas que son homotópicamente equivalentes pero no homeomórficas y, por lo tanto, puede verse como el nacimiento de la topología geométrica como un campo distinto. Se puede utilizar para clasificar los espacios de las lentes .

La torsión de Reidemeister está estrechamente relacionada con la torsión de Whitehead ; ver (Milnor 1966). También ha dado una motivación importante a la topología aritmética ; ver (Mazur). Para trabajos más recientes sobre torsión, consulte los libros (Turaev 2002) y (Nicolaescu 2002, 2003).

Definición de torsión analítica

Si M es una variedad de Riemann y E un paquete de vectores sobre M , entonces hay un operador laplaciano que actúa sobre las k -formas con valores en E . Si los valores propios en k -formas son λ _j entonces la función zeta ζ _k se define como

${\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}$

para s grande, y esto se extiende a todos los complejos s mediante continuación analítica . El determinante zeta regularizado del laplaciano que actúa sobre k -formas es

${\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}$

que es formalmente el producto de los valores propios positivos del laplaciano que actúan sobre k -formas. La torsión analítica T ( M , E ) se define como

${\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}$

Definición de torsión de Reidemeister

Sea un complejo CW finito conectado con grupo fundamental y cobertura universal , y sea una representación ortogonal de dimensión finita . Suponer que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}$

para todos n. Si fijamos una base celular para y una base ortogonal para , entonces es un complejo de cadena libre de base finita contráctil. Sea cualquier contracción en cadena de D _* , es decir, para todos . Obtenemos un isomorfismo con , . Definimos la torsión de Reidemeister. ${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}$ ${\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}$ ${\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,odd}\,D_{n}}$ ${\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}$

${\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}$

donde A es la matriz de con respecto a las bases dadas. La torsión de Reidemeister es independiente de la elección de la base celular , la base ortogonal y la contracción de la cadena . ${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle \rho (X;U)}$ ${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma _{*}}$

Sea una variedad compacta y suave y sea una representación unimodular. Tiene una triangulación suave. Para cualquier elección de volumen , obtenemos una invariante . Luego llamamos al número real positivo torsión de Reidemeister de la variedad con respecto a y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}$ ${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$

Una breve historia de la torsión de Reidemeister

La torsión de Reidemeister se utilizó por primera vez para clasificar combinatoriamente espacios de lentes tridimensionales en (Reidemeister 1935) por Reidemeister, y en espacios de dimensiones superiores por Franz. La clasificación incluye ejemplos de variedades tridimensionales equivalentes a homotopía que no son homeomorfas ; en ese momento (1935) la clasificación solo llegaba hasta el homeomorfismo PL , pero más tarde, EJ Brody (1960) demostró que en realidad se trataba de una clasificación hasta el homeomorfismo .

JHC Whitehead definió la "torsión" de una equivalencia de homotopía entre complejos finitos. Ésta es una generalización directa del concepto de Reidemeister, Franz y de Rham; pero es una invariante más delicada. La torsión de Whitehead proporciona una herramienta clave para el estudio de variedades combinatorias o diferenciables con un grupo fundamental no trivial y está estrechamente relacionada con el concepto de "tipo de homotopía simple", ver (Milnor 1966)

En 1960, Milnor descubrió la relación de dualidad de invariantes de torsión de variedades y demostró que el polinomio de nudos de Alexander (retorcido) es la torsión de Reidemeister de su complemento de nudo en . (Milnor 1962) Para cada q la dualidad de Poincaré induce ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle P_{o}}$

${\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}$

y luego obtenemos

${\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}$

En ellos juega un papel central la representación del grupo fundamental del complemento de nudos. Da la relación entre la teoría de nudos y los invariantes de torsión.

Teorema de Cheeger-Müller

Sea una variedad de Riemann compacta orientable de dimensión n y una representación del grupo fundamental de en un espacio vectorial real de dimensión N. Entonces podemos definir el complejo de de Rham ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}$

y el adjunto formal y debido a la planitud de . Como es habitual, también obtenemos el Hodge Laplaciano en formas p ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle E_{q}}$

${\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}$

Suponiendo que , el laplaciano es entonces un operador elíptico positivo semipositivo simétrico con espectro puntual puro ${\displaystyle \partial M=0}$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}$

Como antes, podemos definir una función zeta asociada con el laplaciano por ${\displaystyle \Delta _{q}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}$

${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}$

¿Dónde está la proyección de sobre el espacio del núcleo del Laplaciano ? Además, Seeley (1967) demostró que se extiende a una función meromorfa de la cual es holomorfa en . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}$ ${\displaystyle \Delta _{q}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}$ ${\displaystyle s\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle s=0}$

Como en el caso de una representación ortogonal, definimos la torsión analítica por ${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}$

${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}$

En 1971 DB Ray e IM Singer conjeturaron que para cualquier representación unitaria . Esta conjetura de Ray-Singer fue finalmente demostrada, de forma independiente, por Cheeger (1977, 1979) y Müller (1978). Ambos enfoques se centran en el logaritmo de las torsiones y sus trazas. Esto es más fácil para variedades de dimensiones impares que en el caso de dimensiones pares, lo que implica dificultades técnicas adicionales. Este teorema de Cheeger-Müller (que las dos nociones de torsión son equivalentes), junto con el teorema de Atiyah-Patodi-Singer , proporcionaron más tarde la base para la teoría de la perturbación de Chern-Simons . ${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}$ ${\displaystyle \rho }$

Posteriormente, JM Bismut y Weiping Zhang dieron una prueba del teorema de Cheeger-Müller para representaciones arbitrarias. Su prueba utiliza la deformación de Witten.

Referencias

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